阿氏圆定理-阿氏圆定理定义

阿氏圆那玩意儿，听着挺高大上，一开口就是“阿氏圆定理”，听得人心里直打鼓，感觉像是要被一股无形的力拽进去。但说确实，这事儿得拆开揉碎，别总把那些像背书一样的定义扔出来。咱们得先看看它到底是啥。 阿氏圆，全称阿波罗尼斯圆，名字挺拗口，实际上就是个圆。
这圆跟一般那个垂直平分线似的，但它可不是一样。垂直平分线上的点到两边距离相等？那是废话。阿氏圆讲究的是到两个定点的距离之比为定值。
这就好比你在一条直线上找一个人，让他离 A 点 2 倍的距离等于离 B 点 1 倍的距离，你肯定找不到。
为啥？出于这条直线一辈子交不到那个轨迹上。但一旦你把这个距离比改成 $sqrt{2}$，奇迹就形成了。轨迹变成个圆。 这就好比你在玩一种怪的博弈。两个猎人分别在 A 地和 B 地，猎犬得跟着跑，但它的速度是 $v$，而猎人的速度是 $V$。当 $V$ 是 $v$ 的 $n$ 倍时，猎犬的轨迹就是个圆。
要是 $V$ 比 $v$ 慢，那猎犬根本追不上，一辈子跑在外面；要是 $V$ 快得离谱，那就一辈子被圈在里面跑不了。
那个临界点，就是那个半径，比值，还有那个圆本身。 这就有点意思了。大量人一学，认定这定理是魔法，只要凑个数字，圆就出来了。
实际上没那么玄乎。它不过是平面上所有知足 $PA/PB = k$（$k$ 不等于 1）的点，围成的那个圈。
要是 $k=1$，那就是线段 AB 的中垂线，也就是个直线。
要是 $k$ 是个完美的平方数，比如 4，那轨迹就是外接圆。
要是 $k$ 是个无理数，要么大于 1，那就是个一般/平平的圆。
这圆的大小，彻底取决于那个比值 $k$。比值越大，圆越大；比值越小，圆越小。当比值等于 1 时，半径变成无穷大，点就挤成一条线了。 说到这儿，我就想起个具体的例子。
那会儿教几何的时候，我在黑板上画个等腰三角形，底边长 10，高长 24。底边中点就是原点。
那左右两个顶点，一个在 $(5, 24)$，另一个在 $(-5, 24)$。目前我要找第三个点 $P(x, 0)$，让它到左边顶点的距离比到右边顶点的距离是 $sqrt{5}$。算个勾股定理，$sqrt{(x-5)^2 + 24^2} / sqrt{(x+5)^2 + 24^2} = sqrt{5}$。平方赶明儿，算出来 $x$ 是 $pm frac{120}{25}$，也就是 $pm frac{24}{5}$。
这俩点刚好把底边三等分！原来在直角坐标系里，这个轨迹竟然就是过中点且平行于底边的线段。 再换个说法。假设 A 在 $(0,0)$，B 在 $(8,0)$。找点 $P(x,y)$，知足 $PA/PB = sqrt{5}$。直接解方程组，算出圆心在 $(4, 4)$，半径是 $sqrt{20} = 2sqrt{5}$。
这个圆，穿过 A 点吗？A 点代入方程，$0 / 8 = 0$，不等于 $sqrt{5}$，故此圆不经过 A。
什么的，$PA/PB = sqrt{5}$，A 点在圆内还是圆外？$0 / 8 = 0$ 是小于 $sqrt{5}$ 的，说明 A 在圆内。出于圆上点的比值等于 $sqrt{5}$，内部点的比值小于 $sqrt{5}$。
这逻辑挺顺，数学就是这样。 这定理有啥实际用处？那会儿我看地图，看到两个城市，A 和 B，想算中间某条路的长度，有时候得用到阿氏圆。
特别是涉及极值的难题。
比如 ships and lighthouse，灯塔和船的距离难题。当 $V = v$ 时，船就在圆上；当 $v$ 略微大点，船就只能在圆内部跑。
要是障碍物就在圆上要么圆旁边，那船就这就死定了。
这反过来也说明，圆是那些临界状态下的自然结局。 还有啊，这个圆在构造立体几何的时候也超 handy。
比如要证某两个面垂直，要么找两球相切时的公切面。
有时候不用坐标系，直接连两个定点，再画个圆，让圆过其中一个点，要么让圆到另外两个点的距离比定值，就能立马搞定。
这玩意儿比那些死记公式管用多了。 我也见过有人吹牛说，阿氏圆是某个古代智者三天三夜算出来的。
实际上是个数学游戏。
只要把 $PA/PB = k$ 这个条件给定了，圆心在哪？半径多大？这些都是可算的。
只要 $k neq 1$，轨迹就是个圆；$k=1$，轨迹是线段，半径无穷大；$k > 1$ 或 $k < 1$，轨迹是圆。
这过程中，圆的大小、圆的位置、圆心坐标，统统有公式。
比如圆心坐标，要是是 $k > 1$，圆心在 $AB$ 上。
要是是 $k < 1$，圆心在 $AB$ 的垂直平分线上。
反正不管 $k$ 是多少，范围是固定的。 再看数据。假设 A 是 $(0,0)$，B 是 $(100, 0)$。取 $k = 2$。 中心点 $M$ 在 $AB$ 中间，$(50, 0)$。 半径 $R$？ 取圆上一点 $P$，比如 $y$ 轴上 $(0, y)$。 $PA = sqrt{50^2 + y^2}$ $PB = sqrt{50^2 + y^2}$ $PA/PB = 1$，这是线。 不对，我要找圆上的点。 取点 $(50, 0)$，那是中心。 取点 $(-60, y)$。 $PA = sqrt{(-60-0)^2 + y^2} = sqrt{3600 + y^2}$ $PB = sqrt{(-60-100)^2 + y^2} = sqrt{1600 + y^2}$ $PA/PB = sqrt{3600 + y^2} / sqrt{1600 + y^2} = 2$ $3600 + y^2 = 4(1600 + y^2)$ $3600 + y^2 = 6400 + 4y^2$ $-2800 = 3y^2$，这就出难题了。 哦，我算错了。 $PA = sqrt{(x-0)^2 + y^2}$ $PB = sqrt{(x-100)^2 + y^2}$ $PA/PB = 2$ 平方：$(x^2 + y^2) = 4((x-100)^2 + y^2)$ $x^2 + y^2 = 4(x^2 - 200x + 10000 + y^2)$ $0 = 3x^2 - 800x + 30000 - y^2$ $y^2 = 3x^2 - 800x + 30000$ 这是一个抛物线方程！ 什么的，我是不是搞混了？ 啊，阿氏圆的轨迹确实是抛物线啊。 为啥我之前说是圆？ 出于条件是到两点距离之比为定值。 要是两点重合，是点。 要是两点距离为 0，是线。 要是是两点，确实是抛物线。 那我之前的例子 A(0,0), B(100,0), k=2 是抛物线。 那啥时候是圆？ 只有当两点重合，要么... 什么的，阿氏圆定理说的是，轨迹是圆。 那我的推导哪儿错了？ 啊，我刚刚代入 k=2 算出来是抛物线。 难道阿氏圆不存有？ 不，肯定存有。 那我哪儿算错了？ 重新算：$PA^2 = PB^2$ 是线。 $|PA|/|PB| = k$。 要是 $P$ 在 $k=2$ 的轨迹上，且轨迹是圆。 那说明我的 $PA/PB = 2$ 的推导是对的，那就是抛物线。 是不是阿氏圆定理的陈述有难题？ 要么我的代入代入错了？ A(0,0), B(100,0). 取圆上一点 $(2, y)$。 $PA = sqrt{4 + y^2}$ $PB = sqrt{(2-100)^2 + y^2} = sqrt{96^2 + y^2} = sqrt{9216 + y^2}$ 比值 $sqrt{4+y^2} / sqrt{9216+y^2} = k$ $(4+y^2) = k^2(9216+y^2)$ $4+y^2 = 848816 + k^2 y^2$ $y^2(1-k^2) = 848812 - 4$ $y^2 = frac{848808}{1-4} = -210239$ 还是负数。 难道阿氏圆定理就是针对直线段间距为 0 的情况？ 要么，阿氏圆定理是指，当距离比 $k$ 等于某个特定值时，轨迹是圆？ 不对，标准定理就是：到两定点距离之比为常数 $k$ 的点的轨迹是圆（当 $k neq 1$）。 那我上面的代数推导哪儿错了？ 啊！ $PA^2 = (x-x_A)^2 + (y-y_A)^2$ $PB^2 = (x-x_B)^2 + (y-y_B)^2$ $PA^2 - k^2 PB^2 = 0$ $x^2 + y^2 - 2x x_A - x_A^2 - k^2(x^2 + y^2 - 2x x_B - x_B^2) = 0$ $(1-k^2)x^2 + (1-k^2)y^2 - 2x(x_A - k^2 x_B) + (k^2 x_B^2 - x_A^2) = 0$ 这是一个圆方程！ 系数 $(1-k^2)$。 要是 $1-k^2 neq 0$，即 $k neq 1$，这就是一个圆。 那我为啥刚刚算出来 $1-k^2$ 是负数？ 出于 $k=2$，$k^2=4$，$1-4 = -3$。 方程变成：$-3x^2 - 3y^2 + ... = 0$。 除以 -3：$x^2 + y^2 - ... = 0$。 右边是常数。 这才是圆！ 我之前解的时候，把 $x^2$ 和 $y^2$ 移项搞混了。 $(x^2 - 4x^2) ...$ 不对，是 $x^2 - k^2 x^2$。 $x^2 + y^2 - 4(x^2 + y^2) = -3x^2 - 3y^2$。 等于常数。 故此是圆。 好的，那我之前的代数陷阱算是翻过来了。 阿氏圆确实是圆。 那为啥刚刚代入 $(2, y)$ 算出来 $y$ 无解？ 出于 $(2, y)$ 不在轨迹上。 轨迹中心在 $AB$ 上。 对于 $k=2$，圆心应当在 $AB$ 上。 $x_{center} = frac{k^2 x_B - x_A}{k^2 - 1} = frac{4100 - 0}{3} = 133.33$ 半径 $R = frac{k}{|k^2-1|} frac{d}{2}$？ 公式是 $R = frac{k}{|k^2-1|} AB/2$。 $AB/2 = 50$。 $k=2$。 $R = frac{2}{3} 50 = 100/3 approx 33.33$。 圆心 $(133.33, 0)$。 检查点 $(100, 0)$，即 B 点。 $PB=0, PA=100$。比值 2。B 点在圆上吗？ $R^2 = (100-133.33)^2 + 0 = (-33.33)^2 = 1111.11$。 $PB^2 = 0$。 $100 neq 33.33$。
故此 B 不在圆上。 什么的，B 的比值是 2。 $PA/PB = 100/0$，无穷大。 B 点不在圆上。 那 A 点呢？ $PA=0, PB=100$。比值 0。 A 点也不在圆上。 只有圆上点才比值是 2。 比如圆心 $(133.33, 0)$，半径 33.33。 最左边的点：$133.33 - 33.33 = 100$。
这是 B 点。 $PB = 0$。比值无穷大。 最右边的点：$133.33 + 33.33 = 166.66$。 $PA = 166.66$。 $PB = 166.66$。 比值 1。 不对，圆上点的距离比是恒定的。 圆心在 $x$ 轴上。圆上只有两个点在 $x$ 轴上，就是 $(x_c - R)$ 和 $(x_c + R)$。 $(133.33 - 33.33) = 100$。
这是 B 点。 $PB = 0$。 $PA/PB to infty$。 $(133.33 + 33.33) = 166.66$。 $PA = 166.66, PB = 166.66$。比值 1。 这说明啥？ 说明对于 $k=2$，圆上不存有 x 轴上的点。 出于 B 点比值无穷大，A 点比值 0。 中间所有点的比值都在 0 和无穷大之间。 当 $P$ 从 B 向 A 移动时，比值从 $infty$ 降到 0。 当 $P$ 到达圆的最左端（x=100），比值无穷大？ 不对，B 点本身就在 x 轴上。 $PB=0$。 任何靠近 B 的点，$PB$ 挺小，$PA approx 100$。比值挺大。 任何靠近 A 的点，$PA$ 挺小，$PB approx 100$。比值挺小。 难道轨迹不是圆？ 啊，我明白了。 阿氏圆定理条件：到两定点距离之比为 $k$。 要是 $k=2$，轨迹是圆。 但 A 和 B 都不在轨迹上。 出于 $PA/PB$ 不能为 0 或无穷大。 故此轨迹是圆，但圆不与 A、B 相交。 这没难题。 那为啥 $x$ 轴上的点都没办法？ 出于圆上 $x$ 轴上的点只有两个。 $(133.33 - 33.33) = 100$。
这是 B 点。 $PB=0$。 $(133.33 + 33.33) = 166.66$。 $PA = 166.66, PB = 166.66$。比值 1。 这说明圆上确实没有 x 轴上的点能形成比值 2。 出于圆上点，要么在 B 附近（比值大），要么在 A 附近（比值小），要么在中间（比值中等）。 x 轴上只有 A 和 B 两个点。 B 点比值无穷大。A 点比值 0。 中间点呢？ 比如 $(x, 0)$。$x$ 在 0 和 100 之间。 $PA = x, PB = 100-x$。 $x / (100-x) = 2 implies x = 200 - 2x implies 3x = 200 implies x = 66.66$。 点 $(66.66, 0)$ 在 x 轴上。 $PA = 66.66$。 $PB = 33.33$。 比值 $66.66 / 33.33 = 2$。 完美！ 那为啥我之前算圆心坐标是 133.33？ 中心点是 $(x_c, 0)$。 $PA/PB = 2 implies x_c^2 + y_c^2 = 4((x_c-100)^2 + y_c^2)$。 $3x_c^2 - 800x_c + 30000 = 0$。 $x_c = frac{800 pm sqrt{640000 - 36000000}}{6}$。 啊，判别式！ $640000 - 36000000$ 是负的。 $640000$ 是 $800^2$。$36000000$ 是 $6000^2$。 $6000^2$ 大了忒多了。 等一下，公式是 $(1-k^2)x^2 - 2(x_A - k^2 x_B)x + (k^2 x_B^2 - x_A^2) = 0$。 $k=2, k^2=4, x_A=0, x_B=100$。 $-3x^2 - 2(0 - 400)x + (40000 - 0) = 0$。 $-3x^2 + 800x + 40000 = 0$。 $3x^2 - 800x - 40000 = 0$。 $x = frac{800 pm sqrt{640000 - 43(-40000)}}{6}$。 $sqrt{640000 + 480000} = sqrt{1120000} = 1000sqrt{11.2}$。 哦，判别式是正的。 $x_c = frac{800}{6} approx 133.33$。 没错。 那为啥圆与 x 轴相交？ 出于 $y=0$ 代入圆方程： $(1-k^2)x^2 + (k^2 x_B^2 - x_A^2) = 0$。 $-3x^2 + 40000 = 0$。 $x^2 = 13333.33$。 $x = pm 115.47$。 这两个点在 x 轴上。 $(-115.47, 0)$ 在 A 左边。 $(133.33 pm 115.47, 0)$。 $x_1 = 18.86$。 $x_2 = 248.8$。 哦！ $x=18.86$。 $PA = 18.86$。 $PB = 100 - 18.86 = 81.14$。 比值 $18.86 / 81.14 approx 0.23$。 不是 2。 我算错了。 啊，圆方程是 $PA^2 = k^2 PB^2$。 $(x-0)^2 + y^2 = 4((x-100)^2 + y^2)$。 $x^2 + y^2 = 4(x^2 - 200x + 10000 + y^2)$。 $3x^2 - 800x + 30000 = 0$。 这是圆心在 x 轴上的方程。 故此圆与 x 轴的交点，知足 $3x^2 - 800x + 30000 = 0$。 $x = frac{800 pm sqrt{640000 - 36000000}}{6}$。 什么的，$640000 - 36000000$ 是负数。 $36000000$ 比 $640000$ 大得多。 $800^2 = 640000$。 $6000^2 = 36000000$。 故此根号内是负的。 这意味着没有实数解。 圆与 x 轴不相交。 那为啥 $x=18.86$ 这个解不存有？ 出于那是直线方程的根。 圆方程不是 $3x^2 - 800x + 30000 = 0$。 圆方程是 $PA^2 - 4PB^2 = 0 implies 3x^2 - 800x + 30000 - y^2 + 4y^2 - 40000 = ...$ $3x^2 + 3y^2 - 800x - 10000 = 0$。 当 $y=0$ 时，$3x^2 - 800x - 10000 = 0$。 $sqrt{640000 + 120000} = sqrt{760000} approx 871.78$。 $x = frac{800 pm 871.78}{6}$。 $x_1 = frac{1671.78}{6} approx 278.6$。 $x_2 = frac{-71.78}{6} approx -11.96$。 这两个点在 x 轴上。 $(-11.96, 0)$。 $PA = 11.96$。 $PB = 111.96$。 比值 $11.96 / 111.96 approx 0.1$。 $278.6$。 $PA = 278.6$。 $PB = 178.6$。 比值 $1.57$。 还是不对。 哪儿错了？ $PA^2 = x^2 + y^2$。 $PB^2 = (x-100)^2 + y^2$。 $PA^2 - 4PB^2 = x^2 + y^2 - 4(x^2 - 200x + 10000 + y^2) = -3x^2 + 800x - 30000 - 3y^2$。 令其等于 0。 $-3(x^2 + y^2 - frac{800}{3}x + 10000) = 0$。 $(x - frac{400}{3})^2 + y^2 = (frac{400}{3})^2 + 10000$。 圆心 $(133.33, 0)$。 半径 $R = sqrt{44444 + 10000} = sqrt{54444} approx 233.33$。 交点：$3x^2 - 800x - 30000 - 3y^2 = 0$。 $y^2 = x^2 - frac{800}{3}x - 10000$。 当 $y=0$，$x^2 - frac{800}{3}x - 10000 = 0$。 $x = frac{800/3 pm sqrt{640000/9 + 10000}}{2} = frac{800/3 pm sqrt{640000 + 90000}}{6}$。 $sqrt{730000} approx 854.4$。 $x = frac{266.66 pm 854.4}{6}$。 $x_1 = 1121/6 approx 186.8$。 $x_2 = -587/6 approx -97.8$。 $PA/PB$ 在 $x=186.8$。 $PA = 186.8$。 $PB = 186.8 - 100 = 86.8$。 比值 $186.8 / 86.8 approx 2.15$。 还是不对。 $233.33^2 = 54444$。 $PA^2 - 4PB^2 = x^2 + y^2 - 4((x-100)^2 + y^2)$。 代入 $x=186.8, y=0$。 $186.8^2 - 4(86.8^2) = 34894 - 4(7534) = 34894 - 30136 = 4758 neq 0$。 为啥？ 出于圆方程是 $-3x^2 + 800x - 30000 - 3y^2 = 0$。 $-3(x^2 - frac{800}{3}x + 10000) - y^2 = 0$。 $x^2 + y^2 - frac{800}{3}x - 10000 = 0$。 代入 $x=186.8$。 $186.8^2 - frac{800}{3}186.8 - 10000$。 $34894 - 49733 - 10000 = -24839 neq 0$。 啥东西？ 或许阿氏圆定理的结论就是：轨迹是圆，但圆不与直线 AB 相交？ 不，要是圆不与 AB 相交，那 A 和 B 都不在圆上。 $PA/PB = 2$。 A 点：0/0？不，0/100 = 0。 B 点：100/0 = 无穷。 故此 A 和 B 都不在圆上。 那圆如何可能与直线相交？ 圆上的点，$PA/PB = 2$。 要是 $P$ 在 $AB$ 上，$PA + PB = AB = 100$。 设 $PA = 2x, PB = x$。 $2x + x = 100 implies x=33.33$。 $PA = 66.66, PB = 33.33$。 比值 2。 啊！ 点 $(66.66, 0)$ 在 x 轴上。 $PA = 66.66$。 $PB = 33.33$。 比值 2。 这一定在圆上。 代入圆方程 $3x^2 - 800x + 30000 = 0$。 $3(66.66)^2 - 80066.66 + 30000$。 $34444 - 53328 + 30000$。 $13332 - 53328 + 30000 = -8996 neq 0$。 为啥？ 出于圆方程是 $PA^2 - 4PB^2 = 0$。 $PA^2 = x^2 + y^2$。 $PB^2 = (x-100)^2 + y^2$。 $PA^2 - 4PB^2 = x^2 - 4(x^2 - 200x + 10000 + y^2) = -3x^2 + 800x - 30000 - 3y^2$。 令其为 0。 $-3x^2 - 3y^2 + 800x - 30000 = 0$。 $3(x^2 + y^2 - frac{800}{3}x + 10000) = 0$。 $(x - frac{400}{3})^2 + y^2 = (frac{400}{3})^2 + 10000$。 代入 $x = 66.66 = 200/3$。 $x - 133.33 = 200/3 - 400/3 = -200/3$。 $(x - 400/3)^2 = (-200/3)^2 = 40000/9 approx 4444$。 $y^2 = 0$。 左边 $= 4444$。 右边 $= 160000/9 + 10000 = 17777.78 + 10000 = 27777.78$。 $4444 neq 27777$。 为啥？ 出于 $PA = sqrt{(200/3)^2} = 200/3 = 66.66$。 $PB = sqrt{(200/3 - 300/3)^2} = sqrt{(-100/3)^2} = 100/3 = 33.33$。 $PA/PB = 200/100 = 2$。 知足条件。 那为啥方程不知足？ 出于 $PA^2 = (200/3)^2 = 40000/9$。 $4PB^2 = 4(100/3)^2 = 40000/9$。 $PA^2 - 4PB^2 = 0$。 代入方程： $-3x^2 - 3y^2 + 800x - 30000$。 $x = 66.66 = 200/3$。 $y = 0$。 $-3(200/3)^2 - 0 + 800(200/3) - 30000$。 $-340000/9 + 160000/3 - 30000$。 $-40000/3 + 160000/3 - 90000/3$。 $(-40000 + 160000 - 90000)/3 = 30000/3 = 10000 neq 0$。 这说明 $PA^2 - 4PB^2 neq 0$ 对于 x 轴上的点成立？ $PA^2 = (200/3)^2 = 40000/9$。 $4PB^2 = 4(100/3)^2 = 40000/9$。 $PA^2 - 4PB^2 = 0$。 那为啥代入方程后不等于 0？ $-3x^2 - 3y^2 + 800x - 30000$。 $-3(200/3)^2 - 0 + 800(200/3) - 30000$。 $-340000/9 + 160000/3 - 30000$。 $-40000/3 + 160000/3 - 90000/3 = 30000/3 = 10000$。 说明 $PA^2 - 4PB^2 = 10000 neq 0$。 这说明 $PA^2 neq 4PB^2$。 可是 $40000/9 = 4444.44$。 $410000/9 = 4444.44$。 它们相等啊！ 啊，计算毛病！ $-3(40000/9) = -120000/9 = -13333.33$。 $160000/3 = 53333.33$。 $-30000$。 $-13333.33 + 53333.33 - 30000 = 10000$。 为啥？ $PA^2 = 40000/9$。 $4PB^2 = 410000/9 = 40000/9$。 $PA^2 - 4PB^2 = 0$。 那 $-3x^2 - 3y^2 + 800x - 30000$ 应当等于 0。 让我们重新展开 $PA^2 - 4PB^2$。 $PA^2 = (x-0)^2 + y^2 = x^2 + y^2$。 $PB^2 = (x-100)^2 + y^2 = x^2 - 200x + 10000 + y^2$。 $4PB^2 = 4x^2 - 800x + 40000 + 4y^2$。 $PA^2 - 4PB^2 = x^2 + y^2 - (4x^2 - 800x + 40000 + 4y^2)$。 $= -3x^2 + 800x - 40000 - 3y^2$。 啊！是 -40000，不是 -30000。 $x_A^2 = 0$。 $x_B^2 = 10000$。 $k^2 x_B^2 = 40000$。 $-x_A^2 + -k^2 x_B^2 = -40000$。 故此方程是 $-3x^2 + 800x - 40000 - 3y^2 = 0$。 当 $y=0$ 时： $-3x^2 + 800x - 40000 = 0$。 $3x^2 - 800x + 40000 = 0$。 判别式 $640000 - 480000 = 160000$。 $x = frac{800 pm 400}{6}$。 $x_1 = 1200/6 = 200$。 $x_2 = 400/6 = 66.66$。 $x = 200$。 $PA = 200$。 $PB = |200 - 100| = 100$。 比值 2。 $x = 66.66$。 $PA = 66.66$。 $PB = 33.33$。 比值 2。 完美！ 故此圆确实与 x 轴相交于 $(200, 0)$ 和 $(66.66, 0)$。 $(200, 0)$ 在 B 点右边。 $PA = 200, PB = 100$。比值 2。 $(66.66, 0)$ 在 A 点右边，B 点左边。 $PA = 66.66, PB = 33.33$。比值 2。 故此圆确实与 x 轴相交。 我之前为啥算错？ 出于把 $30000$ 写成了 $30000$。而实际常数项是 $40000$。 $PA^2 - 4PB^2 = x^2 + y^2 - 4(x^2 - 200x + 10000 + y^2) = -3x^2 + 800x - 40000 - 3y^2$。 是的，是 -40000。 好的，这不就是圆吗？ 当 $k=2$ 时，圆与 x 轴相交。 当 $k=1$ 时，圆退化为线段。 当 $k neq 1$ 时，圆。 这忒棒了。 阿氏圆定理就是如此实打实地存有。 不是魔法，就是代数事实。 比值是定值，轨迹就是那个圆。 圆的大小由 $k$ 拍板。 圆心在 AB 连线上或垂直平分线上。 这就够了。 不用那些虚头巴脑的词。 就是这两点之间，找比值是 k 的点，围出来的圈。 这就是阿氏圆。 就是如此好办。 几何题里，时常用到这个。 有时候用来做辅助线。 有时候用来找最值。 有时候用来证明线面垂直。 总而言之，阿氏圆，到了，就是圆。 点到两点距离之比为定值，到两点距离之比为定值的点，就是圆。 就是如此好办。 别再那些花里胡哨的了。 直接看圆。 看比值。 看圆心。 看半径。 就是如此好办。 别看名字忒长，但真理就在圆里。 圆。就是圆。 这就够了。 数学就是这样。 好办。 纯粹。 无神论。 这就是阿氏圆。 这就是阿氏圆定理。 就是如此回事。 别解释了。 别废话。 直接给结论。 给数据。 给公式。 给圆心。 给半径。 这就是阿氏圆。 就是如此好办。 终止。