长正合列定理-长正合列定理

长正合列定理，说白了就是咱们说的“最大公约数”，告诉咱们两组数能凑出多少公倍数。
那会儿上学的时候，课本里讲这个定理，说是“降为最小公倍数”，听着挺高大上，但实际用处就是告诉你两个数能整出多少个共同倍数。
比如 6 和 8，它们的最大公约数是 2，最小公倍数得是 24。
那 24 里面藏着多少组互质对呢？这就得算一算了。
你想想，24 拆成因数相乘，总共有 3 个因数：1、2、3、4、6、8、12、24。但这跟互质没关系。互质的意思，就是它们的最大公约数得是 1，也就是它们不能与此同时被任何大于 1 的数整除。 实际上推导这个定理的核心逻辑，就是看一个数能整除另一个数的次数。
比如 6 和 8，6 能整除 8 吗？不中，8 不能被 2 整除，故此次数是 0。8 能整除 6 吗？也不中，6 里没 8。
那它们的最小公倍数如何算？这时候得把两个数的“最大公约数”和“最小公倍数”凑在一起。公式记下来吧，实际上也是如此来的：最小公倍数等于两个数的乘积除以它们的最大公约数。
比如 6 和 8，乘积是 48，最大公约数是 2，48 除以 2 等于 24，这就是最小公倍数。 那互质数的最大公约数到底是多少？这得回到它们能整除的次数来。
要是两个数的最大公约数是 $d$，那它们之间起码能形成 $d$ 次整除。一旦 $d$ 大于 1，比如是 3，那这两个数肯定都能被 3 整除，那它们就不是互质的了。
故此，互质的最大公约数只能是 1。
这个“1"是个无解的数，出于它和任何大于 1 的数都不互质，它自己跟自己也是互质的，但跟别的数不中。 回到 6 和 8 的例子，算出来最小公倍数是 24。
那 24 里面包含多少个互质对呢？这就好办了，24 的总因数个数是 3 个：1、2、3、4、6、8、12、24。其中哪些是互质的呢？1 和任何数都互质，故此 1 和 1 算一对；2 和 3 互质；3 和 4 互质；6 和 5 互质（别看 5 不在列表里）；6 和 7 互质；8 和 9 互质；12 和 13 互质；24 和 25 互质。
这一列举下去，你会发现互质对的数量实际上是 $2^k$ 的形式，也就是 $2^2=4$ 对。 这就把长正合列定理给弄懂了。
实际上它是最大公约数的一种特殊情况。当两个数互质的时候，它们的最大公约数就是 1，最小公倍数就是它们的乘积。长正合列定理就是在讲：两个数互质的话，它们的最小公倍数等于它们的乘积。
这实际上就是说，当它们没有公因数的时候，它们能组合出多少组互质对。 举个更生活点的例子。假设你在给一个 24 平方厘米的长方形贴瓷砖，那它只能贴 6 块要么 8 块，不能贴 4 块。出于 6 和 8 的乘积是 48，正好是总面积。
那要是长方形面积是 48 平方厘米呢？这时候长和宽互质吗？比如长 6 宽 8，它们互质吗？彻底不中，能被 2 整除。长 8 宽 6，也一样。
那要是长和宽互质呢？比如长 4 宽 6，它们互质吗？互质，那它们的乘积是 24，那它们能贴几块呢？这时候长和宽互质，根据长正合列定理，它们的最小公倍数是 48，也就是能贴 48 平方厘米的瓷砖，要么说能贴 4 块（假设每块 12 平方厘米）。
什么的，这里仿佛有点绕。 不对，重新理一下。长正合列定理的核心在于互质。
要是两个数互质，比如 3 和 4，它们的最小公倍数是 12。
那 12 里面能组成多少个互质对呢？3 和 4 互质，算一对；1 和 3 互质，算一对；1 和 4 互质，算一对；3 和 4 互质，算一对。总共是 4 对互质对。
要是两个数不互质，比如 6 和 8，它们的最小公倍数是 24。
那 24 里面能组成多少个互质对呢？算出来是 4 对。咦？仿佛是一样的数量？ 再换一组数试试。
比如 12 和 18。它们的最小公倍数是 36。
那 36 能组成多少个互质对呢？3 和 4 互质；3 和 5 互质；3 和 7 互质；3 和 11 互质；3 和 13 互质；3 和 15 互质；3 和 17 互质；3 和 19 互质；3 和 23 互质。
这列举有点多，但数量肯定是 $2^k$。
那 12 和 18 的乘积是 216，它们的最小公倍数是 36，那 36 里面包含多少个互质对呢？ 实际上我不纠结 12 和 18 具体如何算，关键是理解定理的本质：互质的最大公约数是 1。当两个数互质时，它们的最小公倍数就是它们的乘积。
这就像两个数要是不能被任何大于 1 的数与此同时整除，它们就能彻底独立地组合成无限大的公倍数。长正合列定理就是这个定理的最高频应用，它把互质的概念具体化了，告诉咱们：互质的最大公约数就是 1，互质的最小公倍数就是它们的乘积。
这个结论贼直接，也极实际上用。