用不同的方法证明勾股定理-多种方法证勾股定理

我站在那个正方形广场的角落里，脚下是铺满碎石的地面，四周站着几个哥们儿，空气里带着一点泥土的腥气和刚烤好的面包香。今天的话题不是课本上那些死板的符号，而是大块头，是勾股定理，咱们得掰碎了揉碎了讲。 起初，我想拿一个最笨但最能直接套用的办法——割补法。想象一下，你手里有一块直角三角形，两边分别是 3 和 4，斜边就是 5。目前给你一把尺子，把这块三角形放在一张大正方形纸片上，让它的直角顶点正对着正方形的中心。
这时候，你会发现，要是把这个三角形沿着两条直角边剪下来，再补到对面的空缺里去，竟然拼成了一个更大的正方形！
这个新拼出来的正方形，边长正好是 5。它的面积如何算呢？一边长 5，面积就是二十五。但这二十五，既包含了那个四边的直角三角形，也包含了中间那个空出来的角。中间那个角是个直角，面积就是二点五。两边各有一个三角形，每个底乘高都是三乘四，那就是四十五。
故此，二十五减去三十五，就得剩下二点五。
这多出来的二点五，实际上就是中间那个小正方形的面积。
哎，小正方形边长是多少呢？原来就是 5 减去 3，等于 2。平方就是 2 点五。
对，这就证出来了，3 加 4 等于 5，这勾股数就是如此凑出来的。 这方式别看直观，但有点像是在做加法。咱们换个思路，试试皮克定理，看看它能不能帮咱们算出这个三角形绕原点旋转一周的周长，顺便验证一下面积公式。 要是我画个草图，坐标系里有个直角三角形，顶点分别是 (0,0), (3,0), (0,4)。斜边就在 (0,0) 和 (3,4) 之间。把这斜边放在坐标轴上，从原点顺时针转到 x 轴是 0 度，再转到 y 轴是 90 度，之后是 180 度，直到回到 270 度，最终转到 360 度又回到 x 轴。
这时候，斜边转过的总角度是 270 度，也就是 3 分之 2 个圆周。皮克定理告诉我们，这个图形绕原点转了一圈的面积，等于鞋带公式算的鞋面面积乘以这个旋转的圈数。鞋带公式算出来面积是 6，旋转一圈就是 6 倍。
故此它的面积是 6。
那斜边上的高呢？面积除以底边长，6 除以 3 等于 2。
这跟刚刚算出来的直角边 3 和 4 对应的斜边上的高彻底吻合，这也印证了勾股定理里关于直角三角形特殊角的结论。 还有，咱们能够玩个游戏，用欧几里得的手套袜逻辑。假设这个直角三角形的两条直角边分别是 $a$ 和 $b$，斜边是 $c$。定义一个函数 $f(a, b)$ 为勾股数：把 $a$ 和 $b$ 变成 $(a+k, b+k)$ 的形式，直到拿到直角三角形。
看看能不能找到一种规律，让 $f(a, b)$ 的结局一直非负的。 我们能够先从一个最好办的例子启动，比如 $a=3, b=4$。根据定义，$(3-1, 4+3)$ 是 $(2, 7)$，不是直角三角形。再试一个：$(3+1, 4-1)$ 是 $(4, 3)$，也不是。
看来得换个方向。
既然勾股定理是真理，那我们找勾股数实际上就是找一种变换，让 $(a, b)$ 知足 $a^2 + b^2 = c^2$。在这个变换下，要是 $a > 0$，那 $f(a, b)$ 的结局自然也是正数。
要是 $a$ 和 $b$ 都是负数，那结局也是负数，这就没法用了。
故此，只要我们在找到一组勾股数时，规定其中一个数是正的，另一个数能够是负数要么正数，这样 $f(a, b)$ 就是合法的勾股数了。
这看起来有点绕，但确实证明白从任意一点出发，经过某种数学变换，总能到达一个“非负”的基点。 最终，咱们得聊聊这个定理在现实生活中的应用，让它不那么抽象。
比方说，我帮一个哥们儿算一下他家的屋顶面积。屋顶是一个等腰直角三角形，底边长 10 米，高也是 10 米。
那它的面积就是 $10 times 10 div 2$，等于 50 平方米。目前，要是要把屋顶铺上木地板，木地板也是直角三角形，底边 10 米，高 5 米。它的面积是 $10 times 5 div 2$，等于 25 平方米。剩下的空档就是斜边上的梯形，上底 5 米，下底 10 米，高 10 米。面积是 $(5+10) times 10 div 2$，等于 75 平方米。50 加 25 等于 75，正好等于梯形面积。
这说明啥？说明我们在分割梯形时，只要把斜边分点（垂足）当作公共顶点，面积计算就吻合了。 再看另一个例子，比如老铁家屋顶的坡度难题。老铁说，他的屋顶是等腰直角三角形，底边 12 米，高 12 米，坡度是 45 度。
那面积就是 $12 times 12 div 2$，等于 72 平方米。
要是把屋顶分成了两个小三角形，底边 6 米，高 6 米，一个是 $(6, 6)$，一个是 $(12, 6)$。面积分别是 18 和 36。加起来正好是 54 平方米。剩下的是个梯形，上底 6 米，下底 12 米，高 12 米。面积是 $(6+12) times 12 div 2$，等于 96 平方米。54 加 96 等于 150。
什么的，这是不对的，应当等于 72。啊，我刚刚算错了。应当是底边 6, 6, 12 的三角形，面积是 $6 times 6 div 2 = 18$。另一个是底边 6, 12, 12 的三角形，面积是 $6 times 12 div 2 = 36$。18 加 36 等于 54。梯形面积 $(6+12) times 12 div 2 = 96$。54 加 96 是 150，还是不对。
哦，我明白了，这次是把斜边分成了两段，一段是 3 米，一段是 9 米？不对，那是 3-4-5 的勾股数。
这次是 6-8-10 的勾股数。
要是是 6-8-10 的直角三角形，底 12，高 12，那斜边就是 $sqrt{12^2 + 12^2} = 12sqrt{2}$，这不是整数了。
那还是用 3-4-5 的勾股数算吧。还是用刚刚那个有效的例子比较好。 总而言之，勾股定理这东西，真挺有意思的。它不只是纸上的公式，它在割补法里藏着一招，在皮克定理里藏着旋转的奥秘，在手套袜变换里藏着正负的哲学，在现实生活的屋顶和台阶上更是呼之欲出。
你看，3 加 4 等于 5，这事儿就如此好办，就如此纯粹，就如此管用。别看过程有点曲折，有点绕，但那些数据一加一减，一个个对上了，最终剩下的那个小斜边，就是真理的化身。
不用那些教科书式地讲“起初”，也不用“其次”，咱们就顺着感觉，一块一块地聊，就把这事儿给聊明白了。