三角形的所有定理-三角形所有定理

三角形的骨头和肌肉 三角形这东西，放在几何书里那是“骨架”，可一旦盖在桌子上，它瞬间就变成了一种贼高效的“肌肉”。 你拿个尺子去量量，会发现它一辈子挺不直。
这个特性就是它最显性的“骨骼”。无数条边头碰头，三条边就锁死了它的形状。
这就是为啥它叫三角形，不再是一般/平平的“三边”，而是“三草间”的别名。 想象一下，你去野餐，大家围成一个圆圈坐成一圈。
要是其中一个人被请去开会走开，剩下的七个人肯定能拼成个六边形。
要是把其中一个人换成年纪不大的孩子，剩下的五个人就拼不那会儿。但要是你把其中一个人换成个像橡树一样又高又壮的大人，哪怕剩下四个人，也能稳稳地拼成一个等腰三角形，只要那个大人充足高，充足粗。 这就意味着，三角形的稳定性是无敌的。就算你拿个锤子用力砸它，要么给它施加庞大的压力，只要它没有断裂，它的形状就绝不会变。
这是它作为“骨头”的本质。它不像四边形那样，轻轻一推，角会变，边就弯；但三角形一旦定了，你就得尊重它。 再看它的“肌肉”，就是它的角度和边长。
这个奇妙的关系，被我们叫做“三角形全等判定”。 咱们先说“边”，也就是它的胳膊和腿有多长。当三条边各自长度确定后，这个三角形的样子就彻底定型了。
要是我把其中两条边长不变，只是把第三条边拉长一点，你会发现，原本那个尖尖的角被撑开了，整个三角形就“站立”起来了。
要是再把新算出来的第三边，再往回缩一点，那个角又折叠回去了。 这就好比你在画画，要是你先把底边画好，再画两条长度一样的边，最终把这两条边对齐拼合，你会发现它们只能紧紧地靠在一起，形成一个完美的等边三角形。
哪怕你画的时候心里还想着“再画一条大的”，只要那条边确实画得够长，它就不能把另外两条边“挤”在一起；反之，要是画得忒短，另外两条边就会“顶”上去，把它的顶点顶出一个尖角来。 这种关系也适用于“角”，也就是它的头。
要是你把三条边围起来，其中两边长不变，把第三条边固定住，只要固定了第三条边，另外两条边就被强行挤在了一起。
这时候，你除了一个顶点角还是那个角以外，剩下的两个角务必相等。 再来看个具体的例子。假设你画了一个三角形，底边是 20 米，左边的腰是 20 米，右边的腰是 30 米。
这时候，它的形状就定死了。
要是你不把它画出来，光凭这三个数字，你就知道它大约是个啥样子了。你能够拿一支铅笔，在黑板上画两条 20 米的线段，然后在它们的末端各引出一条 30 米的线段，只要把这两条 30 米的线段“对折”，你会发现它们能完美重合。 这说明啥呢？说明这个三角形的角度关系是绝对的。在这个例子中，顶角实际上是 120 度的样子（两边相等，底角各为 30 度）。
要是有人告诉你，这个三角形实际上顶角是 150 度，那他要么没画对图，要么他压根不知道啥叫“三角形全等”。 这里有个反例，是个贼反直觉的现象。大量人当作，要是我把两个直角三角形拼在一起，只要直角边一样长，斜边就一定能拼成一样的三角形。但在三角形世界里，这不一定成立。 举个例子。假设你有一个直角三角形，直角边分别是 3 和 4，斜边就是 5。
然后你把它绕着直角顶点转个圈，再叠到另一个直角三角形上。
这时候，两个直角边长肯定一样，但要是你把斜边反过来放，放在下面，你会发现斜边并没有重合，而是空着两条边，中间还缺了一条线。 这如何解释？出于三角形全等判定里，有一个讲究“顺序”。
那个缺失的边，叫“第三边”。对于第一个三角形，第三边是斜边；对于第二个三角形，要是第三边放在下面，那它就成了斜边。
要是第三边放在上面，那它就变成了直角边。
故此，拼不拼拿到取决于你放哪条边。 这就意味着，三角形不是那种“互不干扰”的个体，它是一个整个的整体。它的每一个属性，都和另外两个属性有着不可替代的关联。 最终，咱们再聊聊“面积”。别看教科书会讲公式，但三角形最直观的理解是把它切成两半。算两个直角三角形的面积，实际上挺好办：底乘高除以 2。 比如，画个直角三角形，底是 10 米，高是 60 米。面积就是 $10 times 60 div 2 = 300$ 平方米。 要是你不把它切成两半，而是用一个底边为 10 米、高为 60 米的平行四边形来套住它，你会发现刚好能填满。出于这个平行四边形的面积就是底乘高。 故此，三角形不只是是三条线的好办拼凑，它是一套严密的逻辑系统。它的骨头让它稳定，它的肌肉让它角度固定，它的动力让面积可算。
只要理解了这三点，你就掌握了最基础的几何世界。