导数零点定理-导数零点定理

实际上没那么玄乎，刚刚那个导数零点定理，说白了就是给函数找根子的规矩。我把函数图画成一条曲线，想象它像一条河流，流淌着 y 轴上的高度值。
要是这条河流是从地下涌上来的，那它最终肯定得涨过头，出于水流可不会凭空消亡；要是它一启动就在地上，那它再往后跑，也只是跟着高度往下掉，要不就它突然往下冲，否则一辈子碰不到虚空的零点。
这就是那个定理在常理上的直观：当图像从左往右画，在某个点从负数窜到正数的时候，中间必然“夹”着一个恰好等于零的横坐标。
这就像弯曲的筷子勺子一样，只要两头不一样高，中间顶着零的那根筷子，位置就在变动，但那个零点的横坐标是固定的点，就像水里的一根针，一辈子在那里等着被找到。 这就让人想起咱们那会儿学的那套，那个函数 $f(x)$，要是 $x_1$ 处是负的，$x_2$ 处是正的，中间夹着那个零点，这就好比说你在北京找个上海人，肯定能找到他，出于两地贴得够近。
不过目前的路子不一样了，定理带来的益处是它不挑人。
哪怕函数长得怪，哪怕中间有个死胡同，只要一端负，一端正，那个零点就死也不会跑。
这就像两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。 为了把这句话讲得更明白了，我拿个具体的例子来琢磨。
比如函数 $f(x) = sin(x)$，这玩意儿在一条直线上波动，正负交替，它的零点就是那些直线上的 x 轴点。我再拿 $f(x) = cos(x)$ 来比，它也是正负交错的。
这就好比两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。
比如我在某年 6 月 10 日给上海的哥们儿打了个电话，对方秒回，说家里没人，故此才没拉响警报；而我在 6 月 11 日又给北京的哥们儿打了电话，对方秒回，说家里没人，故此也没拉响警报。就如此一次两次，电话就挂了，但线索没丢。 再举个数据点的例子。
比如函数 $f(x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上，$f(0) = -1$，$f(1) = 1$。
那根据定理，中间肯定有个点，它的函数值是 0。我们算个中间值，比如 $0.5$ 处，$f(0.5)$ 大约是多少？要是是 $sin(0.5)$ 的话，那是个正数，说明零点肯定在 $0.5$ 的左边。
要是是 $0.6$ 处呢？这就得看具体数值了，但方向不变。
这就像两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。
比如我在某年 6 月 10 日给上海的哥们儿打了个电话，对方秒回，说家里没人，故此才没拉响警报；而我在 6 月 11 日又给北京的哥们儿打了电话，对方秒回，说家里没人，故此也没拉响警报。就如此一次两次，电话就挂了，但线索没丢。 这就让人想起咱们那会儿学的那套，那个函数 $f(x)$，要是 $x_1$ 处是负的，$x_2$ 处是正的，中间夹着那个零点，这就好比说你在北京找个上海人，肯定能找到他，出于两地贴得够近。
不过目前的路子不一样了，定理带来的益处是它不挑人。
哪怕函数长得怪，哪怕中间有个死胡同，只要一端负，一端正，那个零点就死也不会跑。
这就像两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。 比如函数 $f(x) = 2x^3 - 3x + 1$，这个函数长得不像正弦波，它有个坑，还有个谷。我算一下端点值，开头是负的，结尾是正的。
那中间那个零点肯定存有。我们试着扫个中间值，比如 $x = 0.5$，算出来大约是 0.38，还是负的。再往右挪，$x = 1$，算出来是 1，正的。
那零点就在 $0.5$ 和 $1$ 之间。
这就像两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。
比如我在某年 6 月 10 日给上海的哥们儿打了个电话，对方秒回，说家里没人，故此才没拉响警报；而我在 6 月 11 日又给北京的哥们儿打了电话，对方秒回，说家里没人，故此也没拉响警报。就如此一次两次，电话就挂了，但线索没丢。 实际上不用把话说忒满，这个定理就是一条路标，不是绝对的导航。
有时候函数长得忒像，要么中间有特殊情况，可能会让人误当作零点就跑到了。就像两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。
比如我在某年 6 月 10 日给上海的哥们儿打了个电话，对方秒回，说家里没人，故此才没拉响警报；而我在 6 月 11 日又给北京的哥们儿打了电话，对方秒回，说家里没人，故此也没拉响警报。就如此一次两次，电话就挂了，但线索没丢。 理论这东西，有时候比解题快多了。就像我们平时聊天，对方一句话，你心里立马就知道他是不是在说真话。
这实际上就是定理在起功能。
那当函数实在忒复杂，算不定符号的时候如何办？那就分段，要么画图，要么用数值逼近。就像两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。
比如我在某年 6 月 10 日给上海的哥们儿打了个电话，对方秒回，说家里没人，故此才没拉响警报；而我在 6 月 11 日又给北京的哥们儿打了电话，对方秒回，说家里没人，故此也没拉响警报。就如此一次两次，电话就挂了，但线索没丢。 总而言之，这个定理最妙的地方在于它不要求函数完美，也不要求区间挺小。
只要两端一正一负，中间那个零点横坐标就稳得住。它就像一把尺子，不管是对是错，拿起它都能量出个大约。
哪怕函数长得歪歪扭扭，哪怕中间有个死胡同，只要一端负，一端正，那个零点就死也不会跑。
这就像是两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。 比如函数 $f(x) = sin(x)$，这个函数在一条直线上波动，正负交替，它的零点就是那些直线上的 x 轴点。我再拿 $f(x) = cos(x)$ 来比，它也是正负交错的。
这就好比两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。
比如我在某年 6 月 10 日给上海的哥们儿打了个电话，对方秒回，说家里没人，故此才没拉响警报；而我在 6 月 11 日又给北京的哥们儿打了电话，对方秒回，说家里没人，故此也没拉响警报。就如此一次两次，电话就挂了，但线索没丢。 这就让人想起咱们那会儿学的那套，那个函数 $f(x)$，要是 $x_1$ 处是负的，$x_2$ 处是正的，中间夹着那个零点，这就好比说你在北京找个上海人，肯定能找到他，出于两地贴得够近。
不过目前的路子不一样了，定理带来的益处是它不挑人。
哪怕函数长得怪，哪怕中间有个死胡同，只要一端负，一端正，那个零点就死也不会跑。
这就像两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。 比如函数 $f(x) = 2x^3 - 3x + 1$，这个函数长得不像正弦波，它有个坑，还有个谷。我算一下端点值，开头是负的，结尾是正的。
那中间那个零点肯定存有。我们试着扫个中间值，比如 $x = 0.5$，算出来大约是 0.38，还是负的。再往右挪，$x = 1$，算出来是 1，正的。
那零点就在 $0.5$ 和 $1$ 之间。
这就像两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。 实际上不用把话说忒满，这个定理就是一条路标，不是绝对的导航。
有时候函数长得忒像，要么中间有特殊情况，可能会让人误当作零点就跑到了。就像两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。
比如我在某年 6 月 10 日给上海的哥们儿打了个电话，对方秒回，说家里没人，故此才没拉响警报；而我在 6 月 11 日又给北京的哥们儿打了电话，对方秒回，说家里没人，故此也没拉响警报。就如此一次两次，电话就挂了，但线索没丢。 理论这东西，有时候比解题快多了。就像我们平时聊天，对方一句话，你心里立马就知道他是不是在说真话。
这实际上就是定理在起功能。
那当函数实在忒复杂，算不定符号的时候如何办？那就分段，要么画图，要么用数值逼近。就像两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。 总而言之，这个定理最妙的地方在于它不要求函数完美，也不要求区间挺小。
只要两端一正一负，中间那个零点横坐标就稳得住。它就像一把尺子，不管是对是错，拿起它都能量出个大约。
哪怕函数长得歪歪扭扭，哪怕中间有个死胡同，只要一端负，一端正，那个零点就死也不会跑。
这就像是两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。 比如函数 $f(x) = sin(x)$，这个函数在一条直线上波动，正负交替，它的零点就是那些直线上的 x 轴点。我再拿 $f(x) = cos(x)$ 来比，它也是正负交错的。
这就好比两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。 比如函数 $f(x) = 2x^3 - 3x + 1$，这个函数长得不像正弦波，它有个坑，还有个谷。我算一下端点值，开头是负的，结尾是正的。
那中间那个零点肯定存有。我们试着扫个中间值，比如 $x = 0.5$，算出来大约是 0.38，还是负的。再往右挪，$x = 1$，算出来是 1，正的。
那零点就在 $0.5$ 和 $1$ 之间。
这就像两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。 实际上不用把话说忒满，这个定理就是一条路标，不是绝对的导航。
有时候函数长得忒像，要么中间有特殊情况，可能会让人误当作零点就跑到了。就像两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。 理论这东西，有时候比解题快多了。就像我们平时聊天，对方一句话，你心里立马就知道他是不是在说真话。
这实际上就是定理在起功能。
那当函数实在忒复杂，算不定符号的时候如何办？那就分段，要么画图，要么用数值逼近。就像两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。 总而言之，这个定理最妙的地方在于它不要求函数完美，也不要求区间挺小。
只要两端一正一负，中间那个零点横坐标就稳得住。它就像一把尺子，不管是对是错，拿起它都能量出个大约。
哪怕函数长得歪歪扭扭，哪怕中间有个死胡同，只要一端负，一端正，那个零点就死也不会跑。
这就像是两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。 比如函数 $f(x) = sin(x)$，这个函数在一条直线上波动，正负交替，它的零点就是那些直线上的 x 轴点。我再拿 $f(x) = cos(x)$ 来比，它也是正负交错的。
这就好比两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。 比如函数 $f(x) = 2x^3 - 3x + 1$，这个函数长得不像正弦波，它有个坑，还有个谷。我算一下端点值，开头是负的，结尾是正的。
那中间那个零点肯定存有。我们试着扫个中间值，比如 $x = 0.5$，算出来大约是 0.38，还是负的。再往右挪，$x = 1$，算出来是 1，正的。
那零点就在 $0.5$ 和 $1$ 之间。
这就像两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。 实际上不用把话说忒满，这个定理就是一条路标，不是绝对的导航。
有时候函数长得忒像，要么中间有特殊情况，可能会让人误当作零点就跑到了。就像两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。 理论这东西，有时候比解题快多了。就像我们平时聊天，对方一句话，你心里立马就知道他是不是在说真话。
这实际上就是定理在起功能。
那当函数实在忒复杂，算不定符号的时候如何办？那就分段，要么画图，要么用数值逼近。就像两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。 总而言之，这个定理最妙的地方在于它不要求函数完美，也不要求区间挺小。
只要两端一正一负，中间那个零点横坐标就稳得住。它就像一把尺子，不管是对是错，拿起它都能量出个大约。
哪怕函数长得歪歪扭扭，哪怕中间有个死胡同，只要一端负，一端正，那个零点就死也不会跑。
这就像是两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。 比如函数 $f(x) = sin(x)$，这个函数在一条直线上波动，正负交替，它的零点就是那些直线上的 x 轴点。我再拿 $f(x) = cos(x)$ 来比，它也是正负交错的。
这就好比两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。 比如函数 $f(x) = 2x^3 - 3x + 1$，这个函数长得不像正弦波，它有个坑，还有个谷。我算一下端点值，开头是负的，结尾是正的。
那中间那个零点肯定存有。我们试着扫个中间值，比如 $x = 0.5$，算出来大约是 0.38，还是负的。再往右挪，$x = 1$，算出来是 1，正的。
那零点就在 $0.5$ 和 $1$ 之间。
这就像两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。 实际上不用把话说忒满，这个定理就是一条路标，不是绝对的导航。
有时候函数长得忒像，要么中间有特殊情况，可能会让人误当作零点就跑到了。就像两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。 理论这东西，有时候比解题快多了。就像我们平时聊天，对方一句话，你心里立马就知道他是不是在说真话。
这实际上就是定理在起功能。
那当函数实在忒复杂，算不定符号的时候如何办？那就分段，要么画图，要么用数值逼近。就像两个人，一个在高处，一个在低处，甭管中间有啥障碍物，只要两人距离够短，他们之间肯定隔着那个“零点”的横坐标。