导数介值定理证明-介值定理导数证明

导数介值定理实际上就个好办的直觉，就是函数值到底能“跳”那会儿吗？这事儿真不靠谱。我们拿个 $f(x)$ 的函数干个实验，看看它能不能跨越某个区间里的数。自然，前提是函数得在那段区间里是连续不断的，别像折线那样直接断开了，要么像锯齿那样忽高忽低没规律。
要是连续的光滑曲线，那它要么全在区间下面，要么全在区间上面，唯独没法在边缘上“摸”到中间的值。 这就好比你在平地上走，膝盖要是没伤到，那你的身高变化是线性的，但该在膝盖以上的时候，你就绝对没法凭空多长出来，要不就你从膝盖里长出新肉，这不符合常理。
同理，导数介值定理说的就是一致性。
要是函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，那么它在这个区间上的图像 $y = f(x)$ 是一条平滑的线，不能起又没落脚点的阶梯。假设 $c$ 是区间里的某个值，假设 $f(a)$ 比 $c$ 小，那 $f(x)$ 想从 $f(a)$ 跑到 $f(b)$，中间有没有可能恰好擦着 $c$ 的边线通过？答案是否定的，这就是定理要证的事实，也就是函数值不可能“漏”。 我们来算几个具体的例子，看看这“不可能”到底体目前哪儿。假设我们要找一个函数，它在区间 $[0, 1]$ 里是连续的，且 $f(0) = 0$，$f(1) = 1$。
那我们要找中间某个数，比如 $x = 0.5$，让 $f(0.5)$ 等于 $0.5$？这挺自然，出于函数从 0 走到 1，中间肯定经过 0.5。但有没有可能，函数在中间某个点 $x_0$ 的值是 0.3，然后突然跳到 0.4，再跳到 0.7，中间跳过了 0.6？这就违反了连续的定义。出于连续的意思是，要是你慢慢走，不会突然跳个高格。 举个反例，要是函数是 $f(x) = x^3 - 2x$，定义在 $[0, 2]$ 上。$f(0) = 0$，$f(2) = -2$。
显然函数值从 0 变到了负数，中间肯定经过负数范围，比如 -1。但要是你非要让它经过 5 呢？$f(x)$ 在这个区间里最大也就 8（在 $x=sqrt{2}$ 处），最小是 -2（在 $x=1$ 处）。
那有没有可能函数在 $x=1$ 处是 5？不中，出于 $f(1) = -1$，离 5 差了 6 块。
这个函数别看连续，但它把区间分成了两局部：一局部是 $[-2, 0]$，一局部是 $[0, 8]$。它从 0 往下走，到 -2，然后找个地方弹一下到 8，中间没碰到 5，也没碰到 -1。 实际上这个定理的证明思路贼好办，就是利用反证法。假设 $f$ 连续，但在区间 $[a, b]$ 上不存有任何 $c$，使得 $f(c)$ 等于某个给定的 $y$。
这就意味着，对于所有的 $x$，$f(x)$ 要么一辈子小于 $y$，要么一辈子大于 $y$，绝对不准既小于又大于。
这听起来真怪，出于函数值不能无限接近却一辈子差一点。
这就好比我想穿过一个隧道，隧道里只有 0 和 1，但我想穿过 0.5。
要是隧道的口是平滑的，我进去后只能比 0.5 大，要么比 0.5 小，但我没法“摸”到 0.5，出于一旦我摸到了，我就得要么变成 0.49，要么变成 0.51，但这违背了“隧道内部只有 0 或 1"的前提。 再来看一个更直观的几何画面。画一张坐标系图，横轴是 $x$，纵轴是 $y$。画一条从 $(a, f(a))$ 连到 $(b, f(b))$ 的平滑曲线。假设这条曲线想穿过点 $(c, y)$。出于曲线是直的要么弯的，但平滑的，故此它是没有“自相交”难题的，也就是不会像数字那样在 $1.5$ 和 $2.5$ 之间跳来跳去，而是单调不减要么单调不增的。
要是函数单调不减，从 $f(a)$ 启动往 $f(b)$ 走，那它扫过的整个区间就是 $[f(a), f(b)]$（假设单调增）。
要是 $y$ 在这个区间之外，那函数确实没经过 $y$。
要是 $y$ 在区间内，那函数自然经过 $y$。 这就把连续性和介值性绑在一起了。
要是函数不是连续的，比如有个尖点，像 $y = |x|$，在 $x=0$ 处是尖峰，导数不存有。
那就能够构造一个函数在 $x=0$ 处是 0，在 $x=1$ 处是 1，中间在 $x=0.5$ 处突然变成 2。
这时候 $f(0)=0$, $f(1)=1$, $f(0.5)=2$。
要是 $c=1.5$，那 $f(c)$ 能够是任意值，比如 2.5。
这里确实存有 $c$ 使得 $f(c) = c$，就连存有 $f(c) = 0.5$ 这样的点。但导数介值定理不适用，出于函数在 $x=0$ 处的导数不存有，要么说“导数行为”出了难题。 回到证明本身，实际上核心就一句话：要是 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，那 $f$ 的值域就是一个区间，设这个区间为 $[m, M]$。
要是我们要找 $c$ 使得 $f(c) = y$，只要 $y$ 在 $[m, M]$ 之间，答案就存有。
为啥？出于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 都在这个区间里（根据介值性假设要么定义），而连续函数把端点的值连起来，中间的每一个值都被覆盖。
这就好比你在一个口袋里装东西，你拿一个袋子，袋口张着，里面装着沙子、石子，你最启动拿走一个瓜子，你最终拿走一个西瓜，那你中间肯定拿过每样东西。出于函数是连续的，没有口袋关上的时候，要么东西掉出来的时候，它是平滑过渡的。 这就引出了那个看似残酷的结论：要是函数是连续的，那么它就不能跳过任何值。
这听起来有点反常识，出于我们平时写函数公式时，确实极少会看到中间跳过的情况，出于那忒违背直觉了。但数学世界里，有时候“不可能”就是常态。导数介值定理告诉我们，只要函数不崩，不断，不折，那么它的值域就是连通的，没有空隙。 最终总结一下，这个定理在分析学里是个基石。它保证了要是我们把区间缩得越来越小，靠近某个点 $x_0$，我们就能看到函数在 $x_0$ 附近的变化是连续的，不会突然消亡。
这也解释了为啥导数在 $x_0$ 处存有，出于要是导数不存有，函数画出来的线就会在 $x_0$ 处有一个尖角，要么像那个绝对值函数那样，害得函数值无法穿过某些数目，要不就我们准函数变成非连续的。
故此，导数介值定理实际上就是函数连续性的一个强力保障，它确保了函数值域是一个整个的区间，中间半点空隙都没有。