四平方和定理-四平方和定理

四平方和定理这事儿，实际上挺“非正规”的。别被“第一个，第二个，第三个”那种数学味儿给劝退，它真不是那种把过程弄得严丝合缝的教科书。咱们把它当成一种过家家游戏，要么一种讲给大人听的睡前故事，倒是挺有意思。 就在五百年前，高斯给这事儿定个名，接着他兄弟魏尔斯特拉斯把它写进《泛函分析讲义》里。但这事儿啊，目前看就像是在玩一个没有标准答案的谜题。
比如你要猜一个数，务必能写成四个整数的平方加起来。
这图景听起来就挺荒诞，毕竟集合论里早就说了，整数集本身就是不可数的。
那四个整数的平方加起来，如何可能凑成像 $pi$ 要么 $sqrt{2}$ 这种无理数呢？这就是个悖论。
不过别急，这玩意儿目前还在被研究呢。
比如欧拉当年搞过四平方和恒等式，他就被拿这个事儿吊打过几次，据说当时有人用微积分算出了精确结局，而高斯等人还在用纯代数法硬啃。
不过话说回来，高斯的脑子是真好用，毕竟他还得接着研究这个。 说到例子，咱们得找个实在的。
比如 $13^2 = 169$。
这数字能写成几个整数的平方吗？来试个吧：$13times13$ 减了 $13$ 等于 $156$，再减 $36$ 等于 $120$，再减 $25$ 等于 $95$，再减 $16$ 等于 $79$……哎呀，这就卡壳了。
看来 $13$ 确实不中。
那 $13^2 + 13^2 + 13^2 + 13^2 = 2187$，这个能写成平方和吗？能！$52^2 + 3^2 + 2^2 + 1^2 = 10967$？不对，再算点。$33$ 的平方是 $1089$，加 $1089$ 是 $2178$，加 $18$ 等于 $2196$，加 $18$ 等于 $2214$，不对。
什么的，$13^2 + 13^2 + 13^2 + 13^2 = 4 times 169 = 676 = 26^2 = 6^4$。
你看，四个 $13$ 的平方，加起来等于 $6$ 的平方，也就是 $6$ 的四次方。
这确实是个完美的例子。再比如 $1^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2 = 1 + 1 + 4 + 4 = 10$，这是个偶数。
如何就凑不出奇数了呢？出于平方要么奇要么偶，四个平方加起来的和模 $2$ 只能剩 $0$。
故此奇数确实是个死胡同。 这定理到底意味着啥？它告诉咱们，任何正整数都能表示成四个整数的平方和。但这事儿啊，长得跟俄罗斯套娃似的。$n$ 是正整数，真能写成四个平方和。
那 $n$ 减 $1$ 呢？要是 $n-1$ 不是彻底平方数，那它还能写成两个平方和吗？这玩意儿目前还没解完。
不过大家已经达成共识了，一个数要是非要把两个平方和拆开来，那它肯定得是奇数。
为啥？出于偶数减掉一个平方数，剩下的肯定是奇数；奇数减掉一个平方数，剩下的还是奇数。
故此，要是务必拆成两个平方和，那原数务必是奇数。但这事儿，高斯自己都弄不明白，魏尔斯特拉斯也没办法。 最终还得说说实用价值。
这玩意儿在古时候挺有用。
比如算账，要么记账本，要么玩掷骰子。
要是想算出掷 $n$ 次骰子出现的最大可能数，要么最小可能数，这定理立马就能派上用场。
比如掷骰子一共 36 次，那最大值就是 $169$，最小值就是 $1$。
这俩数字一出现，整张摊子都掀了。可要是想算 $n = 1001$ 的时候，该算多大数？得用这个定理。
这比直接乘除加除要快多了。自然，这也是个双刃剑。
要是哪位想用这个定理来作弊，那可就悬了。
比如你抛两枚硬币，飞轮没转，结局是个整数，那你是不是就赢了？这玩意儿要是被用了，整个数学界都得乱套。 总而言之，这个定理就是个有趣的小老头，它生在代数里，长在集合论里，最终又回到了数论的最底层。它没有名字，没有证明，就连没有定义。它就是个公理，大家都默认它是对的，只是没人能把它彻底讲透。它就像是一件藏在柜子里的宝贝，大家都在摸毛，哪位也没能把它拆开。