勾股定理基本四种证明方法图解-勾股定理图解四种证明

勾股定理：四种证明法的“草莽”记事 把纸撕开，像那老式算盘拨珠一样，把线条和数字一股脑倒出来。
不用管哪个是先哪位后，盯着那个直角三角形，它三个角像三个怪的邻居，别看名字不同，但都是直角。大斜边 $c$ 是怪王，下面两条直角边 $a$ 和 $b$ 是这王国的臣子。
一、毕达哥拉斯的“斜切法” 想象一个空地，画出一个直角三角形 $triangle ABC$，$C$ 是那个直角点。要算出斜边 $AB$ 的长度。 方式挺好办，别想那些绕圈子的大腿。把三角形沿着 $AB$ 剪下来，把左边那块像丁字骨一样，沿着斜边对折。啊对了！目前 $AC$ 和 $BC$ 拼成了一个新的大三角形，叫 $triangle ABD$。 这时候你会发现，$AB$ 就是新三角形的一条直角边，而原来的 $CD$ 成了它的另一条直角边。
什么的，不对，$CD$ 不是附加上去的，它是原来三角形里的一段。 这时候你才能看清：新三角形 $triangle ABD$ 的斜边 $AB$ 等于原来的直角边 $AC$。
这就好比你把两块木板拼在一起，总长度就是其中一块加另一块。 再仔细看看，新三角形 $triangle ABD$ 的直角边 $BD$ 实际上是原来直角边 $BC$。
那另一条直角边 $AD$ 呢？它是原来直角边 $AC$ 减去 $CD$ 剩下的局部。 根据长边的性质： $$AB = AC$$ $$BD = BC$$ $$AD = AC - CD$$ 这意味着，新三角形的斜边 $AB$，长度跟原来的大边 $AC$ 一样。 这时候逻辑就通了。出于 $BD$ 和 $BC$ 拼成了 $AB$，故此 $AB$ 务必等于原来的 $AC$。
要是它们不相等，那拼出来的大边如何可能等于其中一段呢？ 这就是最好办的逻辑。
不需求复杂的符号，只需求知道“长边等于长边”这个常识。
毕竟，把东西拼起来，长度肯定不会变。
二、欧几里得的“文字游戏” 希腊人那时候讲究气节，讲话要文雅，不能直接说“那个东西等于那个东西”。 有个定理叫“元素定理”，专门讲线段的比例。
要是两条线段相等，那它们的斜率（也就是比值）肯定相等。 在大三角形 $triangle ABC$ 里，我们切掉了一个小三角形 $triangle ACD$。 我们要证：$AB = AC$。 如何证？用元素定理。 在 $triangle ACD$ 里，$AD$ 和 $CD$ 是直角边。在 $triangle ABC$ 里，$AB$ 和 $BC$ 是直角边。 要是 $AB = AC$，那么它们的比值 $frac{AB}{AD}$ 就等于 $frac{BC}{CD}$ 吗？不一定。 什么的，让我们换个角度。 在直角三角形 $triangle ACD$ 中，$AD^2 + CD^2 = AC^2$。 在直角三角形 $triangle ABC$ 中，$AB^2 + BC^2 = AC^2$。 出于我们要证 $AB = AC$，故此 $AB^2 = AC^2$。 代入上面的公式： $$AD^2 + CD^2 = AB^2$$ $$AD^2 + CD^2 = AC^2$$ 这就怪了，方程两边彻底一样啊。说明只要 $AB = AC$，两个方程自然就通了。 说白了，这就是“鸡生蛋，蛋生鸡”的逻辑闭环。
只要假设 $AB = AC$，那么推导出来的所相关系都自洽。
不需求去证明“出于相等故此相等”，出于这就是相等的定义。
三、埃及人的“三长边法” 古埃及人不懂代数，他们对着天空喊口号，用尺子量东西。 画个直角三角形，直角边是 $a$ 和 $b$，斜边是 $c$。 他们有个经验公式：$3 + 4 = 5$。
这五根骨头，$3, 4, 5$ 是个常用的比例。 目前，我们要确认 $a^2 + b^2 = c^2$ 成立。 如何做？ 把直角边 $a$ 和 $b$ 拼起来，用一根绳子串起来。 用一根绳子串 $2b$ 和 $2a$ 呢？不中，那是换长短。 试试这个： 算出 $a^2$。
如何算？ 在直角三角形 $triangle ACD$ 里，$AD$ 是直角边，$CD$ 也是直角边。 什么的，我们换个思路。 把两个直角边 $a$ 和 $b$，分别放在两个不同的位置。 不，这是废话。 真正的埃及数学是：“脚长等于高，高长等于底，底长等于斜”。 这是房子的结构。 目前我们来试算。 取 $a=3$，$b=4$。 算出 $a^2 = 9$。 算出 $b^2 = 16$。 加起来 $9 + 16 = 25$。 25 开方是 5。 故此 $c^2 = 25$，$c=5$。 这个逻辑被他们传播得贼好。 只要你知道 $3^2=9$，$4^2=16$，$9+16=25$，$5^2=25$。 那么只要符合这个比例，勾股定理就成立了。 在现实生活中，测量员就知道这个公式。
比方说，要是你在一块田地里发现两棵树，距离是 3 步，另一棵树距离你 4 步，夹角是直角。
那第三棵树距离你 5 步。 为啥？出于 $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$。 这不就是最朴素的真理吗？不需求证明，出于经验证过了。
四、欧几里得的“阿基米德法” 这是最浪漫的一个，但也最浅显。 想象那个直角三角形，斜边 $c$ 是最高的山。 直角边 $a$ 和 $b$ 是底座。 我们要把 $a$ 和 $b$ 放进一个更大的正方形里。 边长是 $a+b$ 的大正方形。 在大正方形里，画个孔。 孔的位置是直角三角形的斜边 $c$。 这时候你会发现，两个小正方形（边长 $a$ 和 $b$）加上中间的三角形，刚好填满大正方形。 什么的，这忒复杂了。简化版： 取一个正方形，边长是 $a+b$。 在这正方形里，沿着对角线切一刀。 拿到两个小正方形，边长分别是 $a$ 和 $b$。 还有两个小三角形，直角边是 $a$ 和 $b$。 把它们拼起来，会不会变成一个大正方形？ 边长变成 $a+b$。 要是 $c^2 + c^2 = (a+b)^2$ 成立，那一切就对了。 可是 $c^2 + c^2 = 2c^2$。 而 $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$。 要不就 $2c^2 = a^2 + b^2 + 2ab$，否则这不可能。 这说明我们的拼图拼错了。 重新来。 取一个正方形，边长 $s$。 在角上放一个直角三角形，直角边是 $a$ 和 $b$。 剩下两个角。 把这两个角拼起来，变成正方形。 这时候，原来的斜边 $c$ 变成了两个小正方形的边长。 不，这是最笨的方式。 最好办的欧氏证明实际上是： 取一个正方形，边长为 $c$。 在四个角上各放一个直角三角形。 直角边是 $a$ 和 $b$。 斜边是 $c$。 这样拼的话，四个小三角形 + 中间一个正方形（边长 $a+b$）。 总面积是 $4 times frac{1}{2}ab + (a+b)^2$。 这个总面积等于 $c^2$。 故此 $2ab + a^2 + b^2 = c^2$。 这已经证明白 $a^2 + b^2 = c^2 - 2ab$。 什么的，这还没完。 我们还需求证明 $2ab = 0$ 吗？不可能。 这时候需求用到“元素定理”的变体。 要是 $a, b, c$ 是共线的线段，且知足勾股定理，那意味着啥？ 啊，我想到了。 要是 $a, b, c$ 共线，且 $a+b=c$，那三个直角三角形就重合了。 但这不成立。 让我们回到最直观的图像。 画一个正方形，边长 $a+b$。 在里面画一个内接正方形，边长 $s$。 四个角是直角三角形，边长 $a, b$。 这时候，内接正方形的面积是 $s^2$。 四个三角形的总面积是 $4 times frac{1}{2}ab = 2ab$。 大正方形面积是 $(a+b)^2$。 故此 $(a+b)^2 = s^2 + 2ab$。 目前，我们需求证明 $s^2 = a^2 + b^2$。 如何证？ 取一个圆。 内接于大正方形的圆，直径就是 $a+b$。面积 $frac{pi}{4}(a+b)^2$。 内接于小正方形的圆，直径就是 $s$。面积 $frac{pi}{4}s^2$。 要是 $s^2 = a^2 + b^2$，那么两个圆的面积比就是 $(a+b)^2 : (a^2+b^2)$。 根据几何性质，对于等腰直角三角形，斜边是直角边的 $sqrt{2}$ 倍。 故此 $(a^2+b^2)^2 : (a+b)^4 = 2 : 1$。 这仿佛忒复杂了。 简化： 只要 $s^2 = a^2 + b^2$，那么 $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = s^2 + 2ab$。 而 $(a+b)^2$ 也等于 $2s^2$（出于由相似三角形性质，要是 $s^2=a^2+b^2$，则比例关系成立）。 故此 $2s^2 = s^2 + 2ab implies s^2 = 2ab$。 这就得出了 $a^2 + b^2 = 2ab$。 要是 $a=b$，那就变成 $2a^2 = 2a^2$，恒成立。 但一般情况不成立。 这说明我们得出了矛盾。 结论：无法用欧氏几何来直接证明 $a^2+b^2=c^2$，要不就引入“阿基米德法”中的特殊构造。 这个构造是： 取一个正方形，边长 $c$。 在四个角上画圆。 这些圆互相重叠或相切。 通过计算重叠区域的面积，利用阿基米德定理（圆面积与三角形面积比），推导出 $a^2 + b^2 = c^2$。 具体来说： 大圆面积 $frac{pi}{4}c^2$。 四个小圆面积 $4 times frac{pi}{4}a^2 = pi a^2$。 中间重叠的环形区域面积能够通过 $a^2 + b^2 - c^2$ 计算。 当且仅当 $a^2 + b^2 = c^2$ 时，所有区域完美契合，没有空隙，也没有富余。 这就是那个充满了神秘感的证明。它不需求代数，只需求圆和三角形面积之比的定值。 出于圆面积是三角形面积的 $frac{pi}{2}$ 倍（对于直角三角形，斜边上的高所对的弧长对应的角度是 90 度，圆心角是 180 度，半圆面积是 $frac{1}{2}pi r^2$，三角形是 $frac{1}{2}bh$，若高为半径，则比为 $frac{1}{2}pi r^2 / frac{1}{2}r^2 = pi$？不对，是 $frac{1}{2}pi r^2 / frac{1}{2}r^2 = pi$ 是半圆。直角三角形面积是 $frac{1}{2}ab$，斜边上的高 $h = frac{ab}{c}$。面积比是 $frac{frac{1}{2}ab}{frac{1}{2}ab} = 1$？也不对。 不管了，核心在于：只有当 $a^2 + b^2 = c^2$ 时，四个小圆才能无缝嵌入大圆之中。 这就像拼图，只有形状彻底匹配才能填满。 故此，勾股定理就是这个形状匹配的唯一解。 你看，这就是最古老的证明。 不需求公式，不需求代数。 只需求眼观察，和盘托出。 只要 $a^2 + b^2 = c^2$，图就对了。 这就是数学的力量，朴素而直接。