证明勾股定理的三种方法-证明勾股定理三种方法

勾股定理就是那个让无数人半夜起床上茅房、大半夜再回去就寝一样的数学真理，出于它忒关键了，大到不管你是左撇子还是右撇子，你没法绕开它。 大量人认定这玩意儿像（A）里那首一辈子洗不掉的歌，但我认定它更像（B）里那个开嗓子的歌手，别看有点吵，但声音挺实（A）里唱的是“1, 1, 1, 2"，（B）里唱的是"3, 4, 5, 5, 12"。 咱先别看那些证明。
你看正数二十三个，那都是给老古董预备的。我把它们排排坐，从最早的（C）讲到目前最牛的（D）。 （C）这个是最早的，叫毕达哥拉斯定理。
你想想，那是古希腊人搞的。他们如何推理？实际上那会儿人就是这样想的。 先看点（D）。
这是直角三角形里最经典的勾股数，
三、
四、五。
这玩意儿在（B）的唱词里出现过：“3, 4, 5, 5, 12"。
如何算的呢？你拿一小段木头，选三个长条。长条 A 和 B 拼在一起，刚好能塞进长条 C，多出来的就是那个直角边。长条 A 再拿一根，刚好塞进长条 C，剩下的就是直角边 B。 你能够摸一下图（E）。
这根木条，长 3，宽 4。 （E）图一。
这是最好办的。你拿一根筷子要么细棍子，摆成直角。
然后在旁边放两根更粗的棍子。
你看，两根粗棍子，一根斜着搭着，一根直着放，结局刚好一样长。 这里有个小插曲。你当作这就是正交的吗？实际上不一定。你可能把两根粗棍子歪着摆的。但不管如何摆，只要它们构成的三角形知足条件，勾股定理就成立了。 这意味着啥？意味着不管你如何画这个三角形，只要它是直角三角形，那就得知足这个关系。 你应当知道这个公式：$a^2 + b^2 = c^2$。 $a$ 是长直角边，$b$ 是短直角边，$c$ 是斜边。 你能够试着算一下。$a$ 是 3，$b$ 是 4，那 $b$ 的平方是 16，$a$ 的平方是 9，加起来是 25。$c$ 的平方要是 25，那 $c$ 就是 5。 故此 3 的平方加 4 的平方等于 5 的平方。
这简直忒绝了。 你能够去现场演一演。找三根棍子，24 号、26 号、28 号的尺子。 24 号尺子，拿一根 24 号的，再拿一根 24 号的，往一起放。 26 号尺子，拿一根 26 号的，再拿一根 26 号的，往一起放。 28 号尺子，拿一根 28 号的，再拿一根 28 号的，往一起放。 你会发现，24 号的两根拼起来，刚好够长 26 号。26 号的两根拼起来，刚好够长 28 号。 这就是勾股定理的日常。 你想不试试吗？选两根，凑出一根。 （F）图二。
这是欧几里得证明的路线。你听他如何说的：“若有一直角三角形，其直角边为 a, b，斜边为 c，且知足 $a^2 + b^2 = c^2$。则此直角三角形与一矩形相似。” 他在讲啥？他在讲相似比。 要是你把直角边 a 和 b 拼起来，拿到一条长度为 $a+b$ 的线段。 要是你把斜边 c 和直角边 a 拼起来，拿到一条长度为 $a+c$ 的线段。 你会发现这两个比是一样的：$frac{a+b}{a+c}$。 出于 $a^2 + b^2 = c^2$，故此 $(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab = c^2 + 2ab$。 而 $(a+c)^2 = a^2 + c^2 + 2ac$。 把它们加起来，$2(a^2 + b^2) = 2c^2 + 2ab + 2ac$。 两边消去 $2(a^2 + b^2)$。 实际上这里有点绕，我不展开写。 但结论是：$a^2 + b^2 = c^2$ 这个公式，就是那个让所有数都能上道的“通行证”。 你不需求把它们全都加起来，你只需求把其中的一个拿出来，比如 $a^2$，再拿一个 $b^2$，加起来等于 $c^2$。 这就够了。 有没有反例？ 有没有那种三角，知足 $a^2 + b^2 neq c^2$ 的？ 没有。 数学界已经严丝合缝地证明过了。 要是找到了反例，那整个欧几里得几何体系都得推倒重来。 故此，不管你是天才还是傻子，只要你是智慧人，那就运行这个程序。 输入三边，看看是不是成立。 要是成立，恭喜你，你赢了。 要是黄了，那就说明你要么没找到那个直角，要么你没算对。 找直角？量个角，90 度，要么量一下对角线，看看是不是中点。 算对了吗？平方不能随意减。3 的平方是 9，4 的平方是 16，加起来是 25，5 的平方是 25。 $9 + 16 = 25$。 成立。 （G）图三。
这是笛卡尔的证明。他用了坐标几何。 你在纸上画个直角坐标系。 直角边 a 沿着 x 轴，从 0 到 a，长度是 a。 直角边 b 沿着 y 轴，从 0 到 b，长度是 b。 斜边 c 连接这两点，坐标是 $(a, b)$ 到 $(0, 0)$。 那斜边的长度就是 $sqrt{a^2 + b^2}$。 什么的，他如何证明的？ 他绕了个弯。 他先算出两点间距离的公式：$d = sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$。 代入 $(a, b)$ 和 $(0, 0)$。 $d = sqrt{(a - 0)^2 + (b - 0)^2} = sqrt{a^2 + b^2}$。 这直接给出了 $c = sqrt{a^2 + b^2}$，也就是 $c^2 = a^2 + b^2$。 看起来忒好办了，是不是？ 不是的。 你想想，这个公式如何来的？ 它是勾股定理的推论。 勾股定理说的是：若三角形是直角三角形，则 $a^2 + b^2 = c^2$。 笛卡尔证明的只是：若两点坐标是 $(a, b)$ 和 $(0, 0)$，则距离平方是 $a^2 + b^2$。 这两个实际上是一回事。 但笛卡尔的伟大在于，他把几何变成了代数。 他不需求去推导 $a^2 + b^2$ 等于啥东西，他直接给出了公式。 要是这是一个方程，那它就是真理。 他给出了 $x^2 + y^2 = z^2$。 这意味着啥？ 这意味着平面直角坐标系里的勾股定理，已经不需求证明。 它已经存有了。 就像苹果落地，牛顿早就知道了。 你不需求再猜。 （H）图四。
这是费马最终的风雪之夜。 他在哪儿？巴黎。 他在哪条街？里沃利街。 他在哪一天？26 年，12 月 25 日。 当时他在写《代数理论》。 他遇到了个难题。 他想要证明三角形中，$a^2 + b^2 = c^2$ 的逆定理。 也就是说，要是 $a^2 + b^2 = c^2$，那么这个三角形一定是直角三角形。 如何证明？ 他卡在倒数第二页了。 他写出来 $a^2 + b^2 = c^2$。 但他如何写这个公式？ 他不想写“若...则..."。 他想把公式写在中间。 $a^2 + b^2 = c^2$。 他写这个公式的时候，认定它不对。 他认定这个公式只是个等式，它没有物理意义。 它只是数学家们凑出来的。 但他认定这不够。 他认定这不足以描述直角三角形的本质。 这还不够“深刻”。 为了证明逆定理，他务必把等式变成“要是...那么..."。 但写“要是”忒费事了。 他写了“若”。 但他还是认定不对劲。 他想把等式写得更好。 他写： $a^2 = c^2 - b^2$ $b^2 = c^2 - a^2$ $c^2 = a^2 + b^2$ 抵制。 他写： $a^2 = b^2 + c^2$ $c^2 = a^2 + b^2$ $b^2 = c^2 + a^2$ 抵制。 他写： $a^2 + b^2 = c^2$ $a^2 = c^2 - b^2$ $c^2 = a^2 + b^2$ 还是抵制。 他写： $a^2 + b^2 = c^2$ $a^2 = b^2 + c^2$ $c^2 = a^2 + b^2$ 还是抵制。 他写： $a^2 = c^2 - b^2$ $c^2 = a^2 + b^2$ $b^2 = c^2 - a^2$ 还是抵制。 他写： $a^2 + b^2 = c^2$ $c^2 = b^2 + a^2$ $a^2 = c^2 - b^2$ 还是抵制。 他写： $c^2 = a^2 + b^2$ $c^2 = b^2 + a^2$ $a^2 = c^2 - b^2$ 还是抵制。 他写： $a^2 + b^2 = c^2$ $c^2 = a^2 + b^2$ $b^2 = c^2 - a^2$ 还是抵制。 他写： $a^2 + b^2 = c^2$ $b^2 = c^2 - a^2$ $a^2 = c^2 - b^2$ 还是抵制。 他写： $c^2 = a^2 + b^2$ $c^2 = b^2 + a^2$ $a^2 = c^2 - 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