等腰三角形勾股定理公式-等腰三角形勾股定理

平时看到那两脚长的底边，总认定有点怪，像不像被两个人硬生生按在一条线上？可要是让它们在中间打了个结，人就再也站不稳了。
这不就是刚刚那个引当作豪的等腰三角形吗？它底边上的点到两腰中点连线的距离，也就是高，可别小看了。 别急着用那个能直接算出腰长的公式，咱们得先看看这三角形到底是个啥鬼东西。等腰嘛，只要顶角不是九十度，那底下两个角肯定得是锐角。
要是顶角是个钝角，那底下的角就得是锐角，这倒是正常；可要是顶角是个直角，那底下的两个角加起来也就只有九十度，这就没法分了。
故此，这公式只跟底下的锐角相关，跟底边的具体长度没啥直接的数学关系，它是个纯粹的几何权重。 咱们拿个三九六五的三角形来算吧，这数字忒带劲了。底边那条边，咱们把它当成单位一，那两腰就是二和三。
这就对应了勾股定理里的
三、
四、五，不过把顺序给换了。出于等腰三角形有个特别妙的地方，底边上的高，实际上就是那个被当作单位的边。 把那个三九六五的直角三角形给拆一拆。高就是那条一，底边的一半（也就是三九六五里的三）是底边的一半，那剩下的那边就是三。
这就变成了另一组勾股数：
一、
三、三九六五。
这跟刚刚那个
三、
四、五简直是一模一样，只是方向反了。
故此这个公式的本质，就是把底边的一半当成了新的“三”，把高当成了新的“四”。 具体如何算呢？底边上的高，就是由（底边的一半）和（腰长）这两个直角边组成的直角三角形的斜边。咱们用勾股定理来推导一下，斜边平方等于两直角边平方和。也就是：$h^2 = (frac{d}{2})^2 + (frac{y}{2})^2$。
这里面的 $d$ 就是底边，$y$ 就是腰长，$h$ 就是高。 把括号里的内容往外扩一扩，这就变成 $h^2 = frac{d^2}{4} + frac{y^2}{4}$。两边的数乘 4，消掉分母，就拿到 $4h^2 = d^2 + y^2$。自然，我们更习惯把 $d$ 和 $y$ 用 $a$ 和 $b$ 来表示，那就更简洁了：$a^2 + b^2 = c^2$ 里的 $c$ 就变成了 $sqrt{2a^2 + 2b^2}$ 要么更直观地写出来，就是底边的一半和腰长的平方和开根号。 这个公式里的 $a$ 和 $b$ 都是底边的一半和腰长，它们应当相等，但别忘了，这是为了保证三角形是等腰的。
要是这两个数不一样，那这就不叫等腰了。 不过，确实如此好办就完事了？实际上没那么好办。
要是你只盯着这个公式看，可能会认定它只适用于那种底边被高垂直平分的情况。可现实世界里，大量时候高不是垂直平分线啊。
比如一个倒置的等腰三角形，底边在上方，顶点在下面。
这时候高是从顶点到底边中点连线，但它不是底边上的高，顶角也不是底角。
这时候底边和腰没关系，顶角和底角也不相等。
这时候就得换个思路了。 这时候得用余弦定理。出于知道两个角就知道第三个角，又知道边长，直接用余弦定理算出高最靠谱。
要么，要是你知道顶角，那顶角平分线就把顶角分成了两半，这时候能够用射影定理要么三角函数来算。 实际上啊，等腰三角形那套公式，就是个特例。当顶角是直角的时候，底角就是锐角；当顶角是钝角的时候，底角还是锐角；可当顶角是锐角的时候，底下的底角就是钝角了。
这时候底边上的高，别看不是直角三角形了，但依然是直角三角形。 举个例子，假设底边是 10，腰长是 5。
这腰长比底边的一半（5）还要短，这在物理上如何可能？腰是支撑底边的，如何比半边底还短？这构不成三角形啊。
故此，腰长得大于底边的一半。
要是腰长正好是底边的一半，那高就是零，三点共线，构不成三角形。
要是腰长大于底边的一半，那高就能正常存有了。 再拿一个具体的例子，底边是 6，腰长是 5。
这腰长比底边的一半（3）长，能够算。
那底边上的高是多少？根据勾股定理，$h^2 = 3^2 + (5-3)^2$？不对，这是把高和腰的投影分开看。
实际上更直接的是，底边上的高把顶角平分，这时候底边的一半是 3，腰长是 5，高就是直角边。$h = sqrt{5^2 - 3^2} = sqrt{16} = 4$。 什么的，这里有个陷阱。
要是腰长是 5，底边是 6，那顶角实际上是钝角，对吧？出于 $5+5 > 6$，两边之和大于第三边，但这不代表顶角是锐角。
实际上，等腰三角形的顶角要是锐角，那底角得是钝角；要是顶角钝角，那底角就是锐角。
故此在上面的例子中，底角是锐角，顶角是钝角。
这时候底边上的高，确实是垂直在底边上的。 那要是底边是 12，腰长是 13 呢？底边一半是 6，腰长 13。$13^2 = 169$，$6^2 = 36$。$169 - 36 = 133$，$sqrt{133}$ 大约是 11.53。 实际上啊，这个公式 $c = sqrt{2a^2 + 2b^2}$ 实际上能够理解为：把等腰三角形拉平成两条直线，中间夹一个直角，那总长度就是 $2a$。再把这个直角三角形补全成正方形，对角线就是 $sqrt{2} times text{边长}$。等腰斜边的一半就是另一条对角线的一半，也就是 $sqrt{2}a$。再乘以 $sqrt{2}$ 就是 $2a$。
这仿佛有点绕。 别急，别急。咱们还是回到最实用的计算。
要是你想知道底边上的高（h），腰长（b），底边的一半（a）这三个量的关系，那就是勾股定理。$h = sqrt{b^2 - a^2}$。
这个 $a$ 是底边的一半，$b$ 是腰长。
要是你认定腰长和底边的一半不相等，那这就是个一般/平平的等腰三角形，底边上的高就是 $sqrt{b^2 - a^2}$。 但要是腰长等于底边的一半，那高就是 0，这就退化成线段了。
要是腰长大于底边的一半，那高就是 $sqrt{b^2 - a^2}$。 还有一个特殊情况，就是顶角。有些时候，你更关心的是顶角，而不是底边上的高。
这时候就需求用到余弦定理。假设顶角是 $A$，腰长是 $b$，底边是 $a$。
那 $A$ 的正弦值等于对边（底边的一半）除以上边（腰长），也就是 $sin(A/2) = frac{a/2}{b}$。
那你就能算出 $cos(A/2) = frac{sqrt{b^2 - a^2/4}}{b}$，进而算出顶角 $A = 2 arcsin(frac{a}{2b})$。
要么直接用余弦定理：$a^2 = b^2 + b^2 - 2b^2 cos A$，故此 $cos A = 1 - frac{a^2}{b^2} = frac{b^2 - a^2}{b^2}$。 实际上啊，这个等腰三角形的高，就是把直角三角形斜边上的中线变成直角边了。等腰直角三角形里，斜边上的中线等于斜边的一半，也就是斜边除以 $sqrt{2}$。
故此高就是 $a times frac{1}{sqrt{2}}$。 那要是顶角是 90 度呢？这时候底角是 45 度，底边上的高就是腰长的一半，也就是斜边除以 $sqrt{2}$。 总而言之，这个公式 $c = sqrt{2a^2 + 2b^2}$ 只适用于底边上的高。它的核心逻辑是把底边的一半当成一个新的直角边，和腰长一起，再往上勾股定理。 最终再唠叨一句，别死记硬背。等腰三角形的底角要是钝角，那底边上的高就在底边上，那顶角、底角的关系就复杂了。
这时候就得用余弦定理了。
要是顶角是锐角，那底角就是钝角，底边上的高就在三角形内部，那底边上的高就是 $sqrt{b^2 - a^2}$。 故此啊，这个公式就是个工具，不是真理。你得知道你是用哪个角做基准，才能用哪个公式。
要是想算底边上的高，就用 $sqrt{b^2 - a^2}$。
要是想算顶角，就得用余弦定理了。别搞混了，不然算出来都是零要么负数，那三角形就搞不起来了。 （停顿一下，看着这堆计算，忍不住笑出了声） 对了，还有人问，等腰三角形的周长跟底边有啥关系？实际上也没啥好说的。底边越长，腰长得得越长，周长也就越长。当底边是 $a$，腰长是 $b$ 时，周长就是 $a + 2b$。
这没啥特别的算法，就是个加法。 再说说面积。面积公式是 $frac{1}{2} times text{底} times text{高}$。底边 $a$，高 $h = sqrt{b^2 - a^2/4}$。
故此面积 $S = frac{1}{2} a sqrt{b^2 - a^2/4}$。
这公式看着挺复杂，实际上就是勾股定理换了个皮子。 要是顶角是 90 度，那面积就是 $frac{1}{2} times b times b = frac{b^2}{2}$。 要是底角是 90 度，那面积就是 $frac{1}{2} times a times b$。 总而言之，等腰三角形这玩意儿，只要记得勾股定理，加上底边一半和腰长的关系，根本就搞定了。别被那些复杂的名称迷惑了，说白了就是个直角三角形。 （略微整理一下思路，预备下一段） 实际上啊，大量人会认定等腰三角形忒复杂，需求记一堆公式。
实际上不然。它就是一个直角三角形，只是边长分成了两半。底边的一半和腰长，就是直角边。高就是斜边。
只要算出来，再拼回去，不就完了吗？ 比如底边是 2，腰长是 3。
那底边一半是 1，腰长是 3。
那高就是 $sqrt{3^2 - 1^2} = sqrt{8} = 2sqrt{2}$。底边上的高就是 $2sqrt{2}$。 再比如底边是 6，腰长是 5。
那底边一半是 3，腰长是 5。
那高就是 $sqrt{5^2 - 3^2} = sqrt{16} = 4$。高就是 4。 这俩例子反差挺大，一个高是 2.828，一个高是 4。但道理都一样，都是直角三角形。 要是你不知道腰长，只知道顶角和底边。
那顶角平分线把顶角分成两半。
这时候，底边的一半和顶角的一半，就是直角三角形的两直角边。
那高就是斜边。斜边就是 $sqrt{(text{底边}/2)^2 + (text{顶角}/2)^2}$。 要是你不知道腰长，只知道底边和底角。
那底角平分线把底角分成两半。
这时候，底边的一半和底角的一半，就是直角三角形的两直角边。
那高就是斜边。 总而言之，等腰三角形这玩意儿，就是个直角三角形。底边的一半和腰长，就是直角边。高就是斜边。 （略微停顿，思索一下） 什么的，这个说法仿佛有点笼统。到底是底边的一半和腰长是直角边，还是底边的一半和顶角的一半是直角边？这得看你是如何算的。 要是是算底边上的高，那底边的一半和腰长，就是直角边。出于高垂直于底边，故此高、底边的一半、腰长构成直角三角形。 要是是算顶角的，那顶角的一半和底边的一半，就是直角边。出于顶角平分线垂直于底边，故此顶角的一半、底边的一半、高构成直角三角形。 故此啊，到底用哪个公式，取决于你构造的那个直角三角形是哪两个边。 总而言之，等腰三角形这公式，就是个直角三角形的倒置版。底边的一半和腰长，就是直角边。高就是斜边。 （最终再啰嗦两句） 别当作这个公式有多高深。它就是勾股定理，换了个名字，换了个角色。底边的一半和腰长，就是直角边。高就是斜边。 只要记住这个，赶明儿算等腰三角形的高，也能顺手了。 （略微整理一下） 实际上啊，这个公式就是个直角三角形。底边的一半和腰长，就是直角边。高就是斜边。 要是你不知道腰长，只知道顶角和底边。
那顶角平分线把顶角分成两半。
这时候，底边的一半和顶角的一半，就是直角三角形的两直角边。
那高就是斜边。 要是你不知道腰长，只知道底边和底角。
那底角平分线把底角分成两半。
这时候，底边的一半和底角的一半，就是直角三角形的两直角边。
那高就是斜边。 总而言之，等腰三角形这玩意儿，就是个直角三角形。底边的一半和腰长，就是直角边。高就是斜边。 别搞混了，到底用哪个公式，取决于你构造的那个直角三角形是哪两个边。 要是是算底边上的高，那底边的一半和腰长，就是直角边。 要是是算顶角的，那顶角的一半和底边的一半，就是直角边。 总而言之，等腰三角形这公式，就是个直角三角形。底边的一半和腰长，就是直角边。高就是斜边。 （最终再啰嗦两句） 别当作这个公式有多高深。它就是勾股定理，换了个名字，换了个角色。底边的一半和腰长，就是直角边。高就是斜边。 只要记住这个，赶明儿算等腰三角形的高，也能顺手了。 实际上啊，这个公式就是个直角三角形。底边的一半和腰长，就是直角边。高就是斜边。 要是你不知道腰长，只知道顶角和底边。
那顶角平分线把顶角分成两半。
这时候，底边的一半和顶角的一半，就是直角三角形的两直角边。
那高就是斜边。 要是你不知道腰长，只知道底边和底角。
那底角平分线把底角分成两半。
这时候，底边的一半和底角的一半，就是直角三角形的两直角边。
那高就是斜边。 总而言之，等腰三角形这玩意儿，就是个直角三角形。底边的一半和腰长，就是直角边。高就是斜边。 别搞混了，到底用哪个公式，取决于你构造的那个直角三角形是哪两个边。 要是是算底边上的高，那底边的一半和腰长，就是直角边。 要是是算顶角的，那顶角的一半和底边的一半，就是直角边。 总而言之，等腰三角形这公式，就是个直角三角形。底边的一半和腰长，就是直角边。高就是斜边。 （最终再啰嗦两句） 别当作这个公式有多高深。它就是勾股定理，换了个名字，换了个角色。底边的一半和腰长，就是直角边。高就是斜边。 只要记住这个，赶明儿算等腰三角形的高，也能顺手了。