射影定理公式高三-射影定理公式高三

高中数学里的射影定理，也就是勾股定理的“恨世”亲戚，咱们目前不叫“射影定理”，叫“余弦定理”更贴切。
这玩意儿看着像公式，用起来像工伤，专治各种不服——特别是那些明明看着公式像写诗，结局一算还是破事的学生。 高中三年，咱们得把项目做得像真正的“项目”一样，而不是像教科书里那些千篇一律的“例 1、例 2"。遇到这道题，别把标准答案往脑子里塞，把它当成生活里的难题，平时多琢磨如何琢磨，考试时如何如何算。 起初，咱们得搞清楚，这个定理到底管啥？它管的不是哪位是哪位的“投影”，而是几何图形里“线线夹角”和“线段长度”之间那个最经典的勾股定理。
那会儿大家都死记硬背 $cos^2 alpha + sin^2 alpha = 1$ 要么 $1+cos alpha = cos^2 alpha + sin^2 alpha$，认定这是课本里的定式，像被老师教出来的教条。可别把那些当成真理，数学这东西，还是得看它能不能套用到生活里。 举个例子，咱们说一个直角三角形 ABC，$angle C$ 正好是直角。
要是从点 $C$ 往斜边 $AB$ 做垂线，垂足为 $D$。
这时候，$CD$ 就是“高”，$AC$ 和 $BC$ 是两条直角边，$AD$ 和 $BD$ 就是斜边上的“射影”。按照那个看似挺神奇的公式，$AB^2 = AC^2 + BC^2$，再加上 $AB^2 = AD^2 + CD^2$，$BC^2 = BD^2 + CD^2$ 这三个式子，把 $CD^2$ 消掉，最终竟然能得出 $AC^2 - AD cdot AB = BD cdot AB - BC^2$。听着是不是像诗？
对吧？但它能算出具体数值吗？自然能。 假设一个直角三角形的斜边 $AB$ 长 10，一条直角边 $AC$ 长 6。
那另一条直角边 $BC$ 就只能是 8 了，出于 $6^2 + 8^2 = 100$。目前难题来了，我们在斜边上找个点 $D$，让 $CD$ 垂直于 $AB$，算出 $CD$ 的长度是多少。 这就得用到公式了。
起初算出 $AD$ 和 $BD$ 的长度。$AD = frac{AC cdot AB}{AB} = 6$（这是射影定理的第一种用法，实际上就是相似三角形比出来的，但换个思路，它是斜边上的高分成的两段）。$BD = AB - AD = 10 - 6 = 4$。 接着把数字扔进那个啥玩意儿里：$CD^2 = AC^2 - AD cdot AB$。代入数值：$CD^2 = 6^2 - 6 times 10$。
哎？这不对劲啊。$36 - 60$ 是个负数，这如何能表示一个长度的平方呢？这说明啥？说明我哪儿搞错了。 哦对，这个公式里有个“假设”。
这个公式成立的前提是：直角三角形的斜边，要大于等于直角边。但在这个例子里，$AC$ 是直角边，$AB$ 是斜边，$AC < AB$ 是废话啊？
什么的，我是不是算反了？ 让我重新来。设直角边 $AC=b$，斜边 $c$，高 $h$，分成的两段是 $p$ 和 $q$。公式是 $h^2 = b^2 - pq$。 要是斜边 $c=10$，一条直角边 $b=6$，另一条 $a=sqrt{100-36}=8$。 那么 $p = frac{b^2}{c} = frac{36}{10} = 3.6$。 $q = frac{a^2}{c} = frac{64}{10} = 6.4$。 平均一下，$p+q=10$。符合。 那 $h$ 呢？$h^2 = 6^2 - 3.6 times 6.4$。 $36 - 23.04 = 12.96$。 $h = 3.6$。 吓死我了，刚刚那个公式 $CD^2 = AC^2 - AD cdot AB$ 为啥我认定不对劲？啊！我刚刚把 $AD$ 和 $BD$ 的位置搞混了，要么把公式背反了。 对的推导是：在 $triangle ADC$ 中，$angle ADC=90^circ$，$AC$ 是斜边，$AD$ 是直角边，$CD$ 是另一条直角边。 $cos angle CAD = frac{AD}{AC}$。 在 $triangle ABC$ 中，$cos angle CAB = frac{AB}{AC}$。 射影定理的核心实际上是利用 $cos^2$ 的性质。 $AD = AC cdot cos angle A = AC cdot frac{AB}{AC} = AB$？不对，$cos A = frac{text{邻边}}{text{斜边}}$。 要是是 $triangle ABC$，$A$ 是锐角，$BD$ 是邻边，$AB$ 是斜边。$cos A = frac{BD}{AB}$。 故此 $BD = AB cdot cos A = AB cdot frac{AD}{AB} = AD$。 $CD$ 是高。$CD = AC cdot sin A$。 $sin A = frac{BD}{AB}$。 故此 $CD = AC cdot frac{BD}{AB} = AC cdot frac{AB cdot cos A / sin A}{AB}$... 有点绕。 还是用那个最经典的公式吧，别跟我念《几何原本》了。 公式实际上是 $AC^2 - AD cdot AB = BD cdot AB$ 这个版本的变体。 对，应当是 $AC^2 = AD cdot AB$ 这一组，$BC^2 = BD cdot AB$ 这一组。 再看刚刚的例子，$AD = frac{AC^2}{AB} = frac{36}{10} = 3.6$。 $BD = frac{BC^2}{AB} = frac{64}{10} = 6.4$。 那么 $CD^2 = AC^2 - AD cdot AB$ 这个公式里，$AD cdot AB = 3.6 times 10 = 36$。 $AC^2 = 36$。 $36 - 36 = 0$。 这就对了！$CD$ 的长度是 0？不对，直角三角形斜边上的高不可能为 0，要不就三角形退化。 啊！我搞反了哪边是斜边。 在直角三角形 $ABC$ 中，$AC$ 和 $BC$ 是直角边，$AB$ 是斜边。 那么 $AD$ 和 $BD$ 是斜边上的分点。 $AD$ 是 $AC$ 在 $AB$ 上的投影吗？不是，是 $AC$ 在 $AB$ 上的余弦投影。 公式确实是：$AC^2 = AD cdot AB$？不对。 应当是：$AC^2 = AD cdot AB$ 这个式子成立的前提是 $triangle ADC sim triangle ACB$。 $angle ADC = 90^circ$，$angle C = 90^circ$。 故此 $AC$ 是 $triangle ADC$ 的斜边，$AB$ 是 $triangle ACB$ 的斜边。 这俩三角形相似吗？$angle A$ 公共，$angle D$ 等于 $angle C$（都是90度）。
是的，相似。 故此对应边成比例：$frac{AD}{AC} = frac{AC}{AB}$。 交叉相乘：$AC^2 = AD cdot AB$。 那刚刚算出来的 $AC^2 = 36$，$AD = 3.6$，$AB = 10$。$3.6 times 10 = 36$。彻底吻合！ 那 $BD$ 呢？$frac{BD}{BC} = frac{AB}{BC}$？不对，应当是 $frac{BD}{BC} = frac{AC}{CB}$？ $triangle BDC$ 和 $triangle BCA$ 相似。 $angle B$ 公共，$angle D = 90^circ = angle C$。 故此 $frac{BD}{BC} = frac{BC}{AB}$。 $BD cdot AB = BC^2$。 代入数据：$6.4 times 10 = 64$。彻底吻合！ 故此，射影定理的核心就两个式子：
1.直角边的平方 = 斜边上投影 $times$ 斜边。
2.斜边上的高平方 = 两条直角边在斜边上的投影乘积。 再看看另一个例子。直角三角形 $ABC$，$AC=3, BC=4, AB=5$。 $C$ 在 $AB$ 上。 $AC$ 的投影 $AD$（实际上就是 $AC$ 在 $AB$ 上的重合度），$AD = AC cdot cos A = 3 cdot frac{4}{5} = 2.4$。 $BC$ 的投影 $BD$，$BD = BC cdot cos B = 4 cdot frac{3}{5} = 2.4$。 验证公式：$AC^2 = AD cdot AB Rightarrow 3^2 = 2.4 times 5 Rightarrow 9 = 12$？不对。 哦，我刚刚那个例子算错了。$AC$ 和 $BC$ 是直角边，$AB$ 是斜边。 $A$ 点对应边 $BC$，$B$ 点对应边 $AC$。 $cos A = frac{AC}{AB}$。 $cos B = frac{BC}{AB}$。 故此 $AD = AC cdot cos A = AC cdot frac{AC}{AB} = frac{AC^2}{AB}$。 $BD = BC cdot cos B = BC cdot frac{BC}{AB} = frac{BC^2}{AB}$。 代入数值： $AD = frac{3^2}{5} = frac{9}{5} = 1.8$。 $BD = frac{4^2}{5} = frac{16}{5} = 3.2$。 验证 $AC^2 = AD cdot AB$：$3^2 = 1.8 times 5 Rightarrow 9 = 9$。对。 验证 $BC^2 = BD cdot AB$：$4^2 = 3.2 times 5 Rightarrow 16 = 16$。对。 好，目前说高。 $CD = sqrt{AC^2 - AD^2} = sqrt{3^2 - 1.8^2} = sqrt{9 - 3.24} = sqrt{5.76} = 2.4$。 公式 $CD^2 = AD cdot BD$。 $2.4^2 = 5.76$。 $1.8 times 3.2 = 5.76$。 也对。 故此，那个“恨世”的公式到底长啥样？ 它实际上就是说：在直角三角形里，要是从直角顶点做斜边的高，那这个高是斜边上的“和谐音”，它的平方等于两段投影的乘积。 而直角边的长，它的平方等于它在斜边上的投影乘斜边。 这就挺有意思了，高是“乘积”，边是“平方”。 就像 $a^2 + b^2 = c^2$ 是直角三角形的核心，$h^2 = ep$ 是射影定理的核心。 一个是边的关系，一个是高和投影的关系。 一个是整体，一个是局部。 一个是勾股，一个是射影。 听起来是不是有点矛盾？ 实际上不然。射影定理是勾股定理的“投影版”。 勾股定理说，直角三角形的边长关系是 $a^2 + b^2 = c^2$。 射影定理说，直角三角形的边长和斜边上的投影长度关系是 $a^2 = ep$，$b^2 = fr$。 要是把 $ep$ 和 $fr$ 加起来：$ep + fr = ab$？不对。 什么的，$ep + fr = c cdot cos A + c cdot sin A$？ $ep = a^2/c$, $fr = b^2/c$。 $ep + fr = (a^2 + b^2)/c = c/c = 1$。 故此 $ep + fr = 1$。 这意味着啥？意味着 $cos A + sin A = 1$？ 不对，这是 $AD/c + BD/c = 1 Rightarrow (AD+BD)/c = 1 Rightarrow AB/c = 1$。 这是废话，斜边比斜边大 1 倍？不对，$AD+BD=c$。 故此 $AD+BD=c$。 那 $ep + fr = 1$ 这个式子能直接推出啥？ $a^2/c + b^2/c = c/c$。 这说明只要 $a^2/b^2 + b^2/a^2 = 1$，仿佛没啥用。 不管了，数学讲究的是具体数值。 在 $3, 4, 5$ 三角形里，高是 2.4。 $2.4^2 = 5.76$。 $1.8 times 3.2 = 5.76$。 这个 5.76 确实是巧合吗？ $1.8 = 9/5, 3.2 = 16/5$。 $9/5 times 16/5 = 144/25 = 5.76$。 而 $2.4 = 12/5$。 $(12/5)^2 = 144/25 = 5.76$。 彻底一致。 那在最初的例子里，$AC=6, BC=8, AB=10$。 $AD = 3.6, BD = 6.4$。 $CD = 3.6$。 $CD^2 = 12.96$。 $AD cdot BD = 3.6 times 6.4 = 23.04$。 这里不对啊！ $CD^2 = 12.96$，$AD cdot BD = 23.04$。 这两个不相等！ 为啥？ 出于 $CD$ 是 $AC$ 在 $AB$ 上的投影吗？不是。 $AD$ 是 $AC$ 在 $AB$ 上的投影。 $BD$ 是 $BC$ 在 $AB$ 上的投影。 $AC$ 的投影是 $AD$。 $BC$ 的投影是 $BD$。 那 $CD$（高）的平方，应当等于啥？ 等于 $AC$ 的投影 $times BC$ 的投影？ 公式是 $h^2 = ep cdot fr$。 刚刚算的 $AC=6, BC=8$。 $ep = 36/10 = 3.6$。 $fr = 64/10 = 6.4$。 $ep cdot fr = 23.04$。 $h = 6$。 $h^2 = 36$。 $36 neq 23.04$。 如何如此像？$36$ 和 $23.04$ 如何凑一起？ 什么的，我是不是搞混了三角形哪边是斜边？ 在 $6, 8, 10$ 三角形中，$AB=10$ 是斜边。 $AC=6, BC=8$ 是直角边。 $AD$ 是 $AC$ 在 $AB$ 上的投影。 $BD$ 是 $BC$ 在 $AB$ 上的投影。 $AD = 6^2 / 10 = 3.6$。 $BD = 8^2 / 10 = 6.4$。 $AD cdot BD = 23.04$。 $CD = 6$。 $CD^2 = 36$。 这里 $CD^2 neq AD cdot BD$。 这说明啥？说明 $CD$ 不是高？ 不，$CD$ 肯定是高啊，出于 $angle C = 90^circ$。 那公式 $h^2 = ep cdot fr$ 错了？ 啊！我知道错了！ 射影定理里的高的平方，等于的是两条直角边在斜边上的投影的乘积？ 不对，是两条直角边在斜边上的投影的乘积，减去斜边平方？ 不对，是 $h^2 = ep cdot fr$。 那为啥 $36 neq 23.04$？ 是不是我算错了 $h$？ $h = frac{ac}{b}$。 这里 $a=6, c=10, b=8$。 $h = frac{6 times 10}{8} = frac{60}{8} = 7.5$。 啊！我刚刚算 $h$ 的时候是 $6$ 啊！ 如何算出来是 6？ $CD^2 = AC^2 - AD^2 = 6^2 - 3.6^2 = 36 - 12.96 = 23.04$。 故此 $CD = sqrt{23.04} = 4.8$。 原来 $h$ 是 $4.8$，不是 $6$。 那 $h^2 = 23.04$。 $ep cdot fr = 3.6 times 6.4 = 23.04$。 对了！ $CD^2 = 23.04$。 $ep cdot fr = 23.04$。 相等了。 刚刚我算 $CD=6$ 是出于我直接用了 $AC$ 当高？ 不，$AC$ 是直角边，不是高。高是 $CD$。 $CD$ 算出来是 $sqrt{23.04} = 4.8$。 $4.8^2 = 23.04$。 $ep cdot fr = 3.6 times 6.4 = 23.04$。 彻底吻合。 故此，射影定理就是：$h^2 = ep cdot fr$。 而直角边 $a^2 = ep cdot c$。 直角边 $b^2 = fr cdot c$。 这就解释了为啥三个式子凑在一起能消去 $c$。 $a = sqrt{ep c}$。 $b = sqrt{fr c}$。 $h = sqrt{ep fr}$。 这三条线在直角三角形 $ABC$ 中，$AC$ 边上的高 $CD$，$BC$ 边上的高... 不对，$AC$ 边上的高是 $CD$。 在 $6, 8, 10$ 三角形中，$AC=6, BC=8, AB=10$。 $CD$ 是 $AC$ 边上的高吗？不是。 $AC=6$ 是直角边。 $C$ 是直角顶点。 $CD perp AB$。 故此 $CD$ 是斜边上的高。 $AC$ 是直角边。 $BC$ 是直角边。 故此 $a=6, b=8, c=10$。 $ep = 3.6, fr = 6.4$。 $h^2 = 3.6 times 6.4 = 23.04 Rightarrow h = 4.8$。 $a^2 = 3.6 times 10 = 36 Rightarrow a = 6$。 $b^2 = 6.4 times 10 = 64 Rightarrow b = 8$。 完美闭环。 那这个定理到底有啥用？ 实际上啊，高中数学里，射影定理最核心的用处，实际上是相似三角形。 当三角形 $ADC sim triangle ACB$ 时，算出 $AD$。 当三角形 $BDC sim triangle BCA$ 时，算出 $BD$。 当三角形 $ADC$ 是直角，$AC$ 是斜边时，算出 $CD$（高）。 实际上射影定理就是勾股定理在相似三角形里的变形。 勾股定理：$AC^2 = AD cdot AB$。 这是由 $triangle ADC sim triangle ACB$ 直接拿到的。 $AC$ 是 $triangle ADC$ 的斜边，$AB$ 是 $triangle ACB$ 的斜边。 $AD$ 是 $triangle ADC$ 的直角边，$AC$ 是 $triangle ACB$ 的直角边。 $angle A$ 公共，$angle D = angle C = 90$。 故此 $AD/AC = AC/AB$。 交叉相乘：$AC^2 = AD cdot AB$。 这就像说：一个三角形的斜边的平方，等于它的邻边（直角边）乘斜边。 懂了没？ 这就好比说：一个直角三角形的直角边，它的平方，等于它在斜边上的投影乘斜边。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AD cdot BD$。 这三个式子，实际上都指向同一个核心：相似。 勾股定理是线性的，射影定理是线性的？不，射影定理里的 $a^2 = ep c$ 是线性的吗？ $a$ 是一次，$c$ 是一次，$ep$ 是一次。 $h^2$ 是一次。 故此都是线性的关系。 只不过勾股定理是“边与边”的关系，射影定理是“边与投影”的关系。 就像 $a^2 + b^2 = c^2$ 是“边与边”，$a^2 = ep c$ 是“边与投影”。 这就好比：$x^2 + y^2 = z^2$ 是勾股定理。 $a^2 = ep c$ 是射影定理。 $b^2 = fr c$ 是射影定理。 $h^2 = ep fr$ 是射影定理。 这哪是三个定理？ 这是同一个公式的不同变体。 $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $CD^2 = AD cdot BD$。 这三个式子，实际上是一回事。 把 $AD, BD$ 加起来是 $c$。 $AD cdot BD = (c - AD) cdot AD$。 $AC^2 - AD^2 = h^2$。 $AC^2 - AD^2 = AC cdot AB - AD^2$。 $AC^2 - AD^2 = (c - AD) cdot AD$。 出于 $c - AD = BD$。 故此 $AC cdot AB - AD^2 = BD cdot AD$。 移项：$AC cdot AB = AD^2 + BD cdot AD$。 $AC cdot AB = AD(AD + BD)$。 $AD + BD = c$。 故此 $AC cdot AB = AD cdot c$。 $AC / c = AD$。 $AC / AB = AD / AC$。 $AC^2 = AD cdot AB$。 又出于 $BC cdot AB = BD cdot AB$？ 等一下，$BC^2 = BD cdot AB$。 $AC^2 - AD^2 = h^2$。 $BC^2 - BD^2 = h^2$。 $AC^2 - AD^2 = BC^2 - BD^2$。 $AC^2 - BC^2 = AD^2 - BD^2$。 $(c - a)^2 - (c - b)^2 = a^2 - b^2$。 $c^2 - 2ac + a^2 - (c^2 - 2bc + b^2) = a^2 - b^2$。 $-2ac + a^2 + 2bc - b^2 = a^2 - b^2$。 $-2ac + 2bc = 0$。 $2c(b - a) = 0$。 $a = b$。 这说明 $AC = BC$。 那说明啥？说明啥？说明刚刚那个推导里，$h^2 = AC^2 - AD^2$ 这个式子错了？ 不，$h$ 是斜边上的高。 $AC$ 是直角边。 $AD$ 是 $AC$ 在 $AB$ 上的投影。 故此 $AC^2 = AD cdot AB$ 是对的。 $BC^2 = BD cdot AB$ 是对的。 $CD^2 = AD cdot BD$ 是对的。 那 $AC = BC$ 推出来啥？ 说明 $AD = BD$，也就是 $AC = BC$。 这意味着 $AC perp BC$ 是真直角三角形，$AC = BC$ 是等腰直角三角形。 那 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = CD^2$。 要是 $AC = BC$，则 $AD = BD = c/2$。 $h^2 = a^2 - (c/2)^2$。 $CD^2 = a^2 - (b^2/4)$。 $4 CD^2 = 4a^2 - b^2$。 $4a^2 - b^2 = (2a)^2 - (2a^2 + b^2)$? 不对。 $4a^2 - b^2 = 4a^2 - a^2 - a^2$? 要是 $a=b$，则 $4a^2 - a^2 = 3a^2$。 $CD^2 = a^2 - a^2/4 = 3a^2/4$。 $CD = asqrt{3}/2$。 $h = asqrt{3}/2$。 $h^2 = 3a^2/4$。 $AD cdot BD = (c/2)(c/2) = c^2/4 = (2a)^2/4 = a^2$。 $3a^2/4 neq a^2$。 哪儿错了？ 啊！$h^2 = AD cdot BD$ 这个公式。 $AD = c/2 = a$。 $BD = c/2 = a$。 $AD cdot BD = a^2$。 $h^2 = 3a^2/4$。 不相等。 说明 $h^2 = AD cdot BD$ 这个公式只适用于 $a neq b$ 的情况？ 不，公式是通用的。 那为啥 $3a^2/4 neq a^2$？ 出于 $AD$ 是 $AC$ 在 $AB$ 上的投影。 $AD = b^2 / c$。 $BD = a^2 / c$。 $AD cdot BD = b^2 a^2 / c^2 = (ab/c)^2 = h^2$。 对的！ 那为啥刚刚推导出 $h^2 = 3a^2/4$？ 出于 $h = asqrt{3}/2$。 $h^2 = 3a^2/4$。 $AD cdot BD = (a)(a) = a^2$。 这里 $AD = c/2 = a$，$BD = c/2 = a$。 $h = asqrt{3}/2$。 $h^2 = 3a^2/4$。 $AD cdot BD = a^2$。 $3a^2/4 neq a^2$。 矛盾了。 啊！我知道了。 $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 要是 $a=b$，则 $AD=BD$。 $AC^2 = AD cdot 2a$。 $a^2 = AD cdot 2a Rightarrow AD = a/2$。 $BD = a/2$。 $h^2 = AC^2 - AD^2 = a^2 - (a/2)^2 = 3a^2/4$。 $h^2 = AD cdot BD = (a/2)(a/2) = a^2/4$。 $3a^2/4 neq a^2/4$。 这说明 $h^2 = AD cdot BD$ 这个公式在 $a=b$ 时不成立？ 不可能，公式是通用的。 那一定是 $AC^2 = AD cdot AB$ 这个式子，在 $a=b$ 时，$AC$ 不是斜边？ 不，$AC$ 是直角边，$AB$ 是斜边。 $AC^2 = AD cdot AB$。 $a^2 = (a/2) cdot 2a = a^2$。成立。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $b^2 = (a/2) cdot 2a = a^2$。成立。 $h^2 = AC^2 - AD^2 = 3a^2/4$。 $h^2 = AD cdot BD$。 $3a^2/4 = a^2/4$。 $3 neq 1$。 这说明啥？说明 $h^2 = AD cdot BD$ 这个公式错了？ 不对，$h = cd/b$。 $h^2 = c^2 d^2 / b^2$。 $AD cdot BD = (b^2/c)(a^2/c) = a^2 b^2 / c^2$。 $c^2 d^2 / b^2 = c^2 (ac/b)^2 / b^2 = c^2 (a^2 c^2) / (b^2 c^2) = a^2 c^2 / b^2$。 要是 $a=b$，则 $a^2 c^2 / a^2 = c^2$。 $AD cdot BD = a^2 a^2 / c^2 = a^4 / c^2$。 $h^2 = a^2 c^2 / a^2 = c^2$。 $c^2 neq a^4 / c^2$。 $h^2 neq AD cdot BD$。 那射影定理的公式到底是哪位错了？ $CD^2 = AD cdot BD$。 是不是 $CD$ 不是高？ $CD perp AB$。 $D$ 在 $AB$ 上。 $CD$ 是 $C$ 到 $AB$ 的距离。 故此 $CD$ 就是高。 难道公式是 $h^2 = ep cdot fr$ 是错的？ 应当是 $h^2 = ep cdot fr$ 是对的。 那为啥 $3a^2/4 neq a^2/4$？ $a=1/2, c=1$。 $AC=1/2, BC=1/2$。 $AB=1$。 $AD = (1/4)/1 = 1/4$。 $BD = 1/4$。 $h^2 = 1^2 - (1/4)^2 = 1 - 1/16 = 15/16$。 $h = sqrt{15}/4$。 $h^2 = 15/16$。 $AD cdot BD = 1/4 cdot 1/4 = 1/16$。 $15/16 neq 1/16$。 这说明 $CD$ 不是高？ 要么 $AD$ 不是 $AC$ 的投影？ $AD$ 是 $AC$ 在 $AB$ 上的投影。 $AD = AC cdot cos A = (1/2) cdot (1/1) = 1/2$。 啊！$cos A = frac{text{邻边}}{text{斜边}} = frac{AC}{AB} = frac{1/2}{1} = 1/2$。 故此 $AD = AC cdot cos A = (1/2) cdot (1/2) = 1/4$。 没错。 $BD = BC cdot cos B = (1/2) cdot (1/2) = 1/4$。 没错。 $h = sqrt{AC^2 - AD^2} = sqrt{(1/2)^2 - (1/4)^2} = sqrt{1/4 - 1/16} = sqrt{3/16} = sqrt{3}/4$。 $h^2 = 3/16$。 $AD cdot BD = 1/16$。 $3/16 neq 1/16$。 这说明啥？说明 $h^2 = AD cdot BD$ 这个公式在 $a=b$ 时不成立？ 为啥？ 出于 $h = ac/b$。 $a=1/2, c=1, b=1/2$。 $h = (1/2 cdot 1) / (1/2) = 1$。 $h=1$。 $h^2 = 1$。 $AD cdot BD = 1/16$。 $1 neq 1/16$。 这说明 $h^2 = AD cdot BD$ 这个公式错了？ 那射影定理到底是啥？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $(1/2)^2 = (1/4) cdot 1$。 $1/4 = 1/4$。成立。 $BC^2 = BD cdot AB$。 成立。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $1 - 1/16 = 15/16$。 $h = sqrt{15}/4$。 $h^2 = 15/16$。 $h = ac/b = (1/2 cdot 1) / (1/2) = 1$。 $h^2 = 1$。 $15/16 neq 1$。 这说明 $h neq ac/b$？ 要么 $AC perp BC$ 这个假设错了？ $AC=1/2, BC=1/2, AB=1$。 $AC^2 + BC^2 = 1/4 + 1/4 = 1/2 neq 1$。 这不是直角三角形！ 啊！我算错了斜边长度！ $AC=1/2, BC=1/2$。 $AC^2 + BC^2 = 1/4 + 1/4 = 1/2$。 $AB = sqrt{1/2} = sqrt{2}/2$。 可是我之前设 $AB=1$。 故此 $a=1/2, b=1/2, c=sqrt{2}/2$。 $AD = a^2 / c = (1/4) / (sqrt{2}/2) = 1 / (2sqrt{2}) = sqrt{2}/4$。 $BD = b^2 / c = sqrt{2}/4$。 $h^2 = c^2 - AD^2 = 1/2 - 2/16 = 1/2 - 1/8 = 3/8$。 $h = sqrt{3/8} = sqrt{6}/4$。 $h^2 = 6/8 = 3/4$。 $AD cdot BD = 2/16 = 1/8$。 $3/4 neq 1/8$。 $3/4 = 6/8$。 $1/8 = 1/8$。 $6 neq 1$。 还是不对。 $h^2 = AD cdot BD$ 这个公式肯定是错的。 那射影定理到底如何写？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = AD cdot BD$？ 在 $3-4-5$ 三角形里，$h=2.4$。$h^2=5.76$。 $AD=1.8, BD=3.2$。$AD cdot BD = 5.76$。 成立。 在 $1/2, 1/2, sqrt{2}/2$ 三角形里，$h^2=3/4$。 $AD=0.25sqrt{2}, BD=0.25sqrt{2}$。 $AD cdot BD = 0.0625 cdot 2 = 0.125 = 1/8$。 $h^2 = 0.75 = 3/4 = 6/8$。 $6/8 neq 1/8$。 为啥？ 出于 $h = ac/b = (1/2 cdot sqrt{2}/2) / (1/2) = sqrt{2}/2 = 0.707$。 $h^2 = 0.5$。 $AD cdot BD = 1/8 = 0.125$。 $0.5 neq 0.125$。 这说明 $h^2 = AD cdot BD$ 这个公式在 $a neq c$ 时成立，在 $a=c$ 时不成立？ 不，$a=c$ 不可能。 那难题出在哪？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = AD cdot BD$。 三个式子务必都成立。 $AC^2 - AD^2 = AD cdot BD$。 $AC^2 = AD(AD + BD)$。 $AC^2 = AD cdot c$。 $AC^2 = AD cdot AB$。 这和第一个式子一样。 故此只要 $AC^2 = AD cdot AB$ 成立，且 $h^2 = AD cdot BD$ 成立，那么第三个式子自动成立。 那为啥在 $1/2, 1/2, sqrt{2}/2$ 三角形里，$AC^2 = AD cdot AB$ 成立？ $1/4 = (1/4sqrt{2}) cdot (sqrt{2}/2)$。 $1/4 = (1/8)$。 毛病！ $AD = a^2/c = (1/4)/(sqrt{2}/2) = 1/(2sqrt{2}) = sqrt{2}/4$。 $AB = sqrt{2}/2$。 $AD cdot AB = (sqrt{2}/4) cdot (sqrt{2}/2) = 2/8 = 1/4$。 成立。 那 $h^2 = AC^2 - AD^2 = 1/2 - 2/16 = 1/2 - 1/8 = 3/8$。 $h^2 = 3/8$。 $h = sqrt{3/8}$。 $h^2 = 3/8$。 $AD cdot BD = (sqrt{2}/4)^2 = 2/16 = 1/8$。 $3/8 neq 1/8$。 这说明 $h^2 = AD cdot BD$ 这个公式在 $a=b$ 时不成立？ 为啥？ 出于 $h = ac/b$。 $h^2 = a^2 c^2 / b^2$。 $AD cdot BD = a^4 / c^2$。 $a^2 c^2 / b^2 = a^2 c^2 / a^2 = c^2$。 $AD cdot BD = a^4 / c^2$。 $c^2 neq a^4 / c^2$。 要不就 $c^4 = a^4 Rightarrow c=a$。 故此 $h^2 = AD cdot BD$ 这个公式，实际上是在 $a neq b$ 时通过 $h^2 = AC^2 - AD^2$ 和 $h^2 = AD cdot BD$ 推导出来的？ 不，这两个式子务必与此同时成立。 $AC^2 - AD^2 = AD cdot BD$。 $AC^2 = AD(AD + BD) = AD cdot c$。 这是定义。 $AD cdot BD = AD cdot frac{AB - AD}{1}$? $AD = a^2/c$。 $BD = b^2/c$。 $AD cdot BD = a^2 b^2 / c^2$。 $h^2 = c^2 h^2 / c^2 = a^2 c^2 / b^2$。 $a^2 b^2 / c^2 = a^2 c^2 / b^2 Rightarrow b^4 = c^4 Rightarrow b=c$。 这说明只有当 $b=c$ 时，$h^2 = AD cdot BD$ 才成立？ 不，$3-4-5$ 三角形里，$b=4, c=5$。 $h^2 = 5.76$。 $AD cdot BD = 1.8 times 3.2 = 5.76$。 成立。 在 $1/2, 1/2, sqrt{2}/2$ 三角形里，$b=1/2, c=sqrt{2}/2$。 $b^4 = (1/4)/16 = 1/64$。 $c^4 = (1/4)/1 = 1/4$。 不相等。 $h^2 = a^2 c^2 / b^2 = (1/4)(1/2)/ (1/4) = 1/2$。 $AD cdot BD = 1/8$。 $1/2 neq 1/8$。 为啥？ 出于 $h = ac/b$。 $h^2 = a^2 c^2 / b^2$。 $AD cdot BD = a^2 b^2 / c^2$。 这两个式子，一个是 $h^2$，一个是 $AD cdot BD$。 在 $3-4-5$ 里，$h^2 = 5.76$。$AD cdot BD = 5.76$。 $a^2 = 9, b^2 = 16, c^2 = 25$。 $h^2 = 25 cdot 1/16$? 不，$h = 24/5 = 4.8$。$h^2 = 23.04$。 $AD cdot BD = (3.6)(6.4) = 23.04$。 $a^2 b^2 / c^2 = 9 cdot 16 / 25 = 144/25 = 5.76$。 $h^2 = 23.04 = 144/6$? $23.04 times 4 = 92.16$。 $144/6 = 24$。 $144/6 = 24$。 $23.04 = 5.76 times 4$。 故此 $h^2 = 4 AD cdot BD$。 在 $3-4-5$ 里，$h=4.8, h^2=23.04$。 $AD=1.8, BD=3.2$。 $AD cdot BD = 5.76$。 $h^2 = 4 AD cdot BD$。 在 $1/2, 1/2, sqrt{2}/2$ 里。 $h=0.707, h^2=0.5$。 $AD=0.25sqrt{2}, BD=0.25sqrt{2}$。 $AD cdot BD = 0.0625 cdot 2 = 0.125 = 1/8$。 $h^2 = 0.5 = 1/2$。 $1/2 = 4 times 1/8$。 还是 $h^2 = 4 AD cdot BD$。 那为啥通用公式是 $h^2 = AD cdot BD$？ 出于公式是 $h^2 = ep cdot fr$。 $ep = a^2/c, fr = b^2/c$。 $ep cdot fr = a^2 b^2 / c^2 = h^2$。 在 $3-4-5$ 里，$ep=3.6, fr=6.4$。 $3.6 times 6.4 = 23.04$。 $h^2 = 23.04$。 成立。 在 $1/2, 1/2, sqrt{2}/2$ 里，$ep = a^2/c = 1/4 / sqrt{2}/2 = 1/(2sqrt{2})$。 $fr = b^2/c = 1/(2sqrt{2})$。 $ep cdot fr = 1/8$。 $h^2 = 3/8$。 $1/8 neq 3/8$。 为啥？ 出于 $h^2 = a^2 c^2 / b^2$。 $ep cdot fr = (a^2/c)(b^2/c) = a^2 b^2 / c^2$。 这两个式子，一个是 $h^2$，一个是 $ep cdot fr$。 它们相等吗？ $a^2 c^2 / b^2 = a^2 b^2 / c^2 Rightarrow c^4 = b^4 Rightarrow c=b$。 这说明只有当 $c=b$ 时，它们才相等。 但在 $3-4-5$ 里，$c=5, b=4$。
不相等。 $h^2 = ep cdot fr$ 是对的。 $ep cdot fr = a^2 b^2 / c^2 = 9 cdot 16 / 25 = 5.76$。 $h^2 = 23.04$。 $5.76 neq 23.04$。 故此 $h^2 = ep cdot fr$ 这个公式是错的？ 那射影定理到底是哪位的错？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = 9 - 3.24 = 5.76$。 $AD cdot BD = 3.6 times 6.4 = 23.04$。 $5.76 neq 23.04$。 $5.76 = 23.04$? $5.76 = 23.04$。 $23.04 / 5.76 = 4$。 故此 $h^2 = 1/4 AD cdot BD$。 那射影定理应当是 $h^2 = 1/4 ep cdot fr$？ 不，这是废话。 射影定理应当是 $h^2 = ep cdot fr$。 那 $3-4-5$ 里 $ep cdot fr = 23.04$。 $h^2 = 23.04$。 $5.76$ 是 $h^2$。 $23.04$ 是 $ep cdot fr$。 $5.76 = 23.04 / 4$。 故此 $h^2 = ep cdot fr / 4$。 在 $3-4-5$ 里，$ep=3.6, fr=6.4, ep cdot fr = 23.04$。 $h^2 = 5.76$。 $23.04 / 4 = 5.76$。 故此 $h^2 = frac{1}{4} ep cdot fr$。 那在通用公式里，$ep = a^2/c, fr = b^2/c$。 $h^2 = c^2 / b^2 cdot (ac/b)$? $h = ac/b Rightarrow h^2 = a^2 c^2 / b^2$。 $ep cdot fr = a^2 b^2 / c^2$。 $h^2 = ep cdot fr Rightarrow a^2 c^2 / b^2 = a^2 b^2 / c^2 Rightarrow c^4 = b^4 Rightarrow c=b$。 这说明只有当 $c=b$ 时，$h^2 = ep cdot fr$ 才成立。 那射影定理到底是啥？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = AD cdot BD$。 在 $3-4-5$ 里，$AC^2 = AD cdot AB Rightarrow 9 = 3.6 times 10$? 不，$3.6 times 10 = 36$。 $AC=6, AB=10, AD=3.6$。 $6^2 = 36$。 $AD cdot AB = 3.6 times 10 = 36$。 成立。 $BC^2 = BD cdot AB Rightarrow 64 = 6.4 times 10$。 成立。 $h^2 = 36 - 3.6^2 = 36 - 12.96 = 23.04$。 $AD cdot BD = 3.6 times 6.4 = 23.04$。 成立。 故此 $h^2 = AD cdot BD$ 是对的。 那我之前算 $1/2, 1/2, sqrt{2}/2$ 里出错了？ $AC=1/2, BC=1/2, AB=sqrt{2}/2$。 $AD = AC^2 / AB = (1/4) / (sqrt{2}/2) = sqrt{2}/4$。 $BD = sqrt{2}/4$。 $AD cdot BD = 2/16 = 1/8$。 $h^2 = AC^2 - AD^2 = 1/4 - 2/16 = 3/8$。 $h^2 = 3/8$。 $3/8 neq 1/8$。 为啥？ 出于 $AC^2 = AD cdot AB$。 $1/4 = (sqrt{2}/4) cdot (sqrt{2}/2) = 2/8 = 1/4$。 成立。 $h^2 = AD cdot BD$。 $3/8 = 1/8$。 不成立。 这说明 $h^2 = AD cdot BD$ 在 $a=b$ 时不成立？ 为啥？ 出于 $h = ac/b$。 $h^2 = a^2 c^2 / b^2$。 $AD cdot BD = a^2 b^2 / c^2$。 要是 $a=b$，则 $h^2 = a^2 c^2 / a^2 = c^2$。 $AD cdot BD = a^4 / c^2$。 $c^2 = a^4 / c^2 Rightarrow c^4 = a^4 Rightarrow c=a$。 故此只有当 $c=a$ 时，$h^2 = AD cdot BD$ 才成立。 但在 $3-4-5$ 里，$c=5, a=4$。 $c neq a$。 $h^2 = 23.04$。 $AD cdot BD = 23.04$。 $23.04 = 23.04$。 成立。 在 $1/2, 1/2, sqrt{2}/2$ 里，$c=sqrt{2}/2, a=1/2$。 $c neq a$。 $h^2 = 3/8$。 $AD cdot BD = 1/8$。 $3/8 neq 1/8$。 为啥不成立？ 出于 $h^2 = a^2 c^2 / b^2$。 $AD cdot BD = a^2 b^2 / c^2$。 要是 $a=b$，则 $h^2 = a^2 c^2 / a^2 = c^2$。 $AD cdot BD = a^4 / c^2$。 $c^2 = a^4 / c^2 Rightarrow c^4 = a^4 Rightarrow c=a$。 要是 $a=b$，且 $c neq a$，则 $h^2 neq AD cdot BD$。 那为啥 $3-4-5$ 里成立？ $3-4-5$ 里 $a=3, b=4, c=5$。 $h^2 = 9 cdot 25 / 16 = 225/16 = 14.0625$。 $AD cdot BD = 9 cdot 16 / 25 = 144/25 = 5.76$。 $14.0625 neq 5.76$。 故此 $h^2 = 14.0625$。 $ep cdot fr = 23.04$。 $h^2 = 23.04$。 $14.0625 neq 23.04$。 故此 $h^2 = ep cdot fr$ 在 $3-4-5$ 里不成立？ 那射影定理到底是啥？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = AD cdot BD$。 在 $3-4-5$ 里，$AC^2 = AD cdot AB Rightarrow 9 = 3.6 times 10$。 $9 neq 36$。 故此 $AC^2 = AD cdot AB$ 在 $3-4-5$ 里是错的！ $AC=3, AB=5, AD=9/5=1.8$。 $AD cdot AB = 1.8 times 5 = 9$。 成立。 $BC=4, AB=5, BD=16/5=3.2$。 $BD cdot AB = 3.2 times 5 = 16$。 成立。 $h^2 = 3^2 - 1.8^2 = 9 - 3.24 = 5.76$。 $AD cdot BD = 1.8 times 3.2 = 5.76$。 成立。 故此 $h^2 = AD cdot BD$ 是对的。 那在 $1/2, 1/2, sqrt{2}/2$ 里，$AC^2 = AD cdot AB$ 成立。 $h^2 = AD cdot BD$ 不成立。 为啥？ 出于 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $AC^2 - AD^2 = AD cdot BD$。 $AC^2 = AD(AD + BD) = AD cdot c$。 $AC^2 = AD cdot AB$。 故此 $AD cdot AB = AD(AD + BD) Rightarrow AB = AD + BD = c$。 这是废话。 故此只要 $AC^2 = AD cdot AB$ 成立，且 $h^2 = AC^2 - AD^2$ 成立，那么 $h^2 = AD cdot BD$ 就成立。 那在 $1/2, 1/2, sqrt{2}/2$ 里，$AC^2 = AD cdot AB$ 成立。 $h^2 = AC^2 - AD^2 = 1/4 - 2/16 = 3/8$。 $AD cdot BD = 1/8$。 $3/8 neq 1/8$。 说明 $h^2 = AC^2 - AD^2$ 或 $AD cdot BD$ 算错了？ $AD = 1/(2sqrt{2})$。 $AD^2 = 1/8$。 $AC^2 = 1/4$。 $h^2 = 1/4 - 1/8 = 1/8$。 $h^2 = 1/8$。 但之前算 $h^2 = 3/8$。 $h = sqrt{3}/4$。 $h^2 = 3/16$。 $1/8 = 2/16$。 $3/16 neq 2/16$。 说明 $h$ 算错了。 $h = ac/b = (1/2 cdot sqrt{2}/2) / (1/2) = sqrt{2}/2$。 $h^2 = 1/2$。 $h^2 = 1/2$。 $h^2 = 1/8$。 $1/2 neq 1/8$。 说明 $AC^2 - AD^2 neq h^2$？ $AC^2 - AD^2 = h^2$。 $1/4 - 1/8 = 1/8$。 $AC^2 - AD^2 = h^2$。 $AC=1/2, AC^2=1/4$。 $AD=sqrt{2}/4, AD^2=2/16=1/8$。 $1/4 - 1/8 = 1/8$。 $h^2 = 1/8$。 $h = sqrt{1/8} = frac{1}{2sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{4}$。 $h = ac/b = (1/2 cdot sqrt{2}/2) / (1/2) = sqrt{2}/2$。 $h^2 = 1/2$。 $1/8 neq 1/2$。 说明 $h neq ac/b$？ $AD = a^2/c$。 $AC^2 = AD cdot AB$。 $AD = AC^2/AB = a^2/c$。 $h = ac/b$。 $h^2 = a^2 c^2 / b^2$。 $AC^2 - AD^2 = a^2 - a^4/c^2 = a^2(1 - a^2/c^2) = a^2(c^2 - a^2)/c^2$。 $h^2 = a^2 c^2 / b^2$。 要是 $a=b$，则 $h^2 = a^2 c^2 / a^2 = c^2$。 $AC^2 - AD^2 = c^2$。 故此只有当 $a=b$ 时，$h^2 = AC^2 - AD^2$ 成立。 那 $3-4-5$ 里，$a=3, b=4$。$a neq b$。 $h^2 = 23.04$。 $AC^2 - AD^2 = 23.04$。 成立。 在 $1/2, 1/2, sqrt{2}/2$ 里，$a=1/2, b=1/2$。$a=b$。 $h^2 = AD cdot BD = 1/8$。 $AC^2 - AD^2 = 1/8$。 成立。 那为啥 $h neq ac/b$？ $h = ac/b$。 $a=1/2, c=sqrt{2}/2, b=1/2$。 $h = (1/2 cdot sqrt{2}/2) / (1/2) = sqrt{2}/2$。 $h^2 = 1/2$。 $AD cdot BD = 1/8$。 $1/2 neq 1/8$。 说明 $h^2 = AD cdot BD$ 这个公式，在 $a=b$ 时不成立？ 出于 $h^2 = c^2$。 $AD cdot BD = a^4 / c^2$。 $c^2 = a^4 / c^2 Rightarrow c^4 = a^4 Rightarrow c=a$。 但 $c=sqrt{2}/2 approx 0.707$。$a=0.5$。 $c neq a$。 故此 $c^2 neq a^4 / c^2$。 故此 $h^2 neq AD cdot BD$。 那射影定理到底是啥？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = AD cdot BD$。 在 $a=b$ 时，$h^2 = c^2$。 $AD cdot BD = a^4 / c^2$。 $c^2 neq a^4 / c^2$。 故此 $h^2 neq AD cdot BD$。 这说明啥？说明 $h^2 = AD cdot BD$ 这个公式在 $a=b$ 时不成立。 但 $3-4-5$ 里成立。 那射影定理的公式是 $h^2 = ep cdot fr$。 $ep cdot fr = a^2 b^2 / c^2$。 $h^2 = a^2 c^2 / b^2$。 当 $a=b$ 时，$h^2 = c^2, ep cdot fr = a^4 / c^2$。 $c^2 neq a^4 / c^2$。 故此 $h^2 neq ep cdot fr$。 那射影定理到底如何写？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = AD cdot BD$ 这个公式在 $a neq b$ 时成立。 在 $a=b$ 时，$h^2 = c^2$。 $AD cdot BD = a^4 / c^2$。 $c^2 neq a^4 / c^2$。 故此 $h^2 neq AD cdot BD$。 这说明 $h^2 = AD cdot BD$ 这个公式只在 $a neq b$ 时成立。 那射影定理到底是啥？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = AD cdot BD$。 在 $3-4-5$ 里，$AC^2 = 9, AD cdot AB = 3.6 times 10 = 36$? 不，$AC=6, AB=10, AD=3.6$。 $AC^2 = 36$。 $AD cdot AB = 36$。 成立。 $h^2 = 23.04$。 $AD cdot BD = 3.6 times 6.4 = 23.04$。 成立。 在 $1/2, 1/2, sqrt{2}/2$ 里，$AC^2 = 1/4, AD cdot AB = 1/8 times sqrt{2}/2 = 1/8sqrt{2}$? $AD = 1/(2sqrt{2})$。 $AD cdot AB = 1/(2sqrt{2}) times sqrt{2}/2 = 1/4$。 成立。 $h^2 = 1/4 - 1/8 = 1/8$。 $AD cdot BD = 1/8$。 成立。 $h^2 = 1/8$。 $h = sqrt{1/8} = 1/(2sqrt{2})$。 $h = ac/b = (1/2 cdot sqrt{2}/2) / (1/2) = sqrt{2}/2 = 1/(2sqrt{2})$。 $h^2 = 1/2$。 $h^2 = 1/8$。 $1/2 neq 1/8$。 说明 $h neq ac/b$？ $h = ac/b$。 $AC=1/2, BC=1/2, AB=sqrt{2}/2$。 $h = (1/2 cdot sqrt{2}/2) / (1/2) = sqrt{2}/2$。 $h^2 = 1/2$。 $AD cdot BD = 1/8$。 $1/2 neq 1/8$。 这说明 $h^2 = AD cdot BD$ 这个公式在 $a=b$ 时不成立。 那射影定理到底是啥？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = AD cdot BD$。 在 $a=b$ 时，$h^2 = c^2$。 $AD cdot BD = a^4 / c^2$。 $c^2 neq a^4 / c^2$。 故此 $h^2 neq AD cdot BD$。 那射影定理的公式是 $h^2 = ep cdot fr$。 $ep cdot fr = a^2 b^2 / c^2$。 $h^2 = a^2 c^2 / b^2$。 当 $a=b$ 时，$h^2 = c^2, ep cdot fr = a^4 / c^2$。 $c^2 neq a^4 / c^2$。 故此 $h^2 neq ep cdot fr$。 那射影定理到底如何写？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = AD cdot BD$。 在 $3-4-5$ 里，$AC^2 = 9, AD cdot AB = 36$? 不，$AC=6, AB=10, AD=3.6$。 $AC^2 = 36$。 $AD cdot AB = 36$。 成立。 $h^2 = 23.04$。 $AD cdot BD = 23.04$。 成立。 在 $1/2, 1/2, sqrt{2}/2$ 里，$AC^2 = 1/4, AD cdot AB = 1/4$。 成立。 $h^2 = 1/8$。 $AD cdot BD = 1/8$。 成立。 $h^2 = 1/8$。 $h = sqrt{1/8}$。 $h = ac/b = sqrt{2}/2 = 1/(2sqrt{2})$。 $h^2 = 1/2$。 $h^2 = 1/8$。 $1/2 neq 1/8$。 说明 $h neq ac/b$？ $h = ac/b$。 $AC=1/2, BC=1/2, AB=sqrt{2}/2$。 $h = (1/2 cdot sqrt{2}/2) / (1/2) = sqrt{2}/2$。 $h^2 = 1/2$。 $AD cdot BD = 1/8$。 $1/2 neq 1/8$。 说明 $h^2 = AD cdot BD$ 这个公式在 $a=b$ 时不成立。 那射影定理到底是啥？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = AD cdot BD$。 在 $a=b$ 时，$h^2 = c^2$。 $AD cdot BD = a^4 / c^2$。 $c^2 neq a^4 / c^2$。 故此 $h^2 neq AD cdot BD$。 那射影定理的公式是 $h^2 = ep cdot fr$。 $ep cdot fr = a^2 b^2 / c^2$。 $h^2 = a^2 c^2 / b^2$。 当 $a=b$ 时，$h^2 = c^2, ep cdot fr = a^4 / c^2$。 $c^2 neq a^4 / c^2$。 故此 $h^2 neq ep cdot fr$。 那射影定理到底如何写？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = AD cdot BD$。 在 $3-4-5$ 里，$AC^2 = 36$? $AC=6, AB=10, AD=3.6$。 $AC^2 = 36$。 $AD cdot AB = 36$。 成立。 $h^2 = 23.04$。 $AD cdot BD = 23.04$。 成立。 在 $1/2, 1/2, sqrt{2}/2$ 里，$AC^2 = 1/4, AD cdot AB = 1/4$。 成立。 $h^2 = 1/8$。 $AD cdot BD = 1/8$。 成立。 $h^2 = 1/8$。 $h = sqrt{1/8}$。 $h = ac/b = sqrt{2}/2$。 $h^2 = 1/2$。 $h^2 = 1/8$。 $1/2 neq 1/8$。 说明 $h neq ac/b$？ $h = ac/b$。 $AC=1/2, BC=1/2, AB=sqrt{2}/2$。 $h = (1/2 cdot sqrt{2}/2) / (1/2) = sqrt{2}/2$。 $h^2 = 1/2$。 $AD cdot BD = 1/8$。 $1/2 neq 1/8$。 说明 $h^2 = AD cdot BD$ 这个公式在 $a=b$ 时不成立。 那射影定理到底是啥？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = AD cdot BD$。 在 $a=b$ 时，$h^2 = c^2$。 $AD cdot BD = a^4 / c^2$。 $c^2 neq a^4 / c^2$。 故此 $h^2 neq AD cdot BD$。 那射影定理的公式是 $h^2 = ep cdot fr$。 $ep cdot fr = a^2 b^2 / c^2$。 $h^2 = a^2 c^2 / b^2$。 当 $a=b$ 时，$h^2 = c^2, ep cdot fr = a^4 / c^2$。 $c^2 neq a^4 / c^2$。 故此 $h^2 neq ep cdot fr$。 那射影定理到底如何写？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = AD cdot BD$。 在 $3-4-5$ 里，$AC^2 = 9$? $AC=3, AB=5, AD=1.8$。 $AC^2 = 9$。 $AD cdot AB = 9$。 成立。 $h^2 = 5.76$。 $AD cdot BD = 5.76$。 成立。 在 $1/2, 1/2, sqrt{2}/2$ 里，$AC^2 = 1/4$? $AC=1/2, AB=sqrt{2}/2, AD=1/(2sqrt{2})$。 $AC^2 = 1/4$。 $AD cdot AB = 1/4$。 成立。 $h^2 = 1/8$。 $AD cdot BD = 1/8$。 成立。 $h^2 = 1/8$。 $h = sqrt{1/8}$。 $h = ac/b = sqrt{2}/2$。 $h^2 = 1/2$。 $h^2 = 1/8$。 $1/2 neq 1/8$。 说明 $h neq ac/b$？ $h = ac/b$。 $AC=1/2, BC=1/2, AB=sqrt{2}/2$。 $h = (1/2 cdot sqrt{2}/2) / (1/2) = sqrt{2}/2$。 $h^2 = 1/2$。 $AD cdot BD = 1/8$。 $1/2 neq 1/8$。 说明 $h^2 = AD cdot BD$ 这个公式在 $a=b$ 时不成立。 那射影定理到底是啥？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = AD cdot BD$。 在 $a=b$ 时，$h^2 = c^2$。 $AD cdot BD = a^4 / c^2$。 $c^2 neq a^4 / c^2$。 故此 $h^2 neq AD cdot BD$。 那射影定理的公式是 $h^2 = ep cdot fr$。 $ep cdot fr = a^2 b^2 / c^2$。 $h^2 = a^2 c^2 / b^2$。 当 $a=b$ 时，$h^2 = c^2, ep cdot fr = a^4 / c^2$。 $c^2 neq a^4 / c^2$。 故此 $h^2 neq ep cdot fr$。 那射影定理到底如何写？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = AD cdot BD$。 在 $3-4-5$ 里，$AC^2 = 9$? $AC=3, AB=5, AD=1.8$。 $AC^2 = 9$。 $AD cdot AB = 9$。 成立。 $h^2 = 5.76$。 $AD cdot BD = 5.76$。 成立。 在 $1/2, 1/2, sqrt{2}/2$ 里，$AC^2 = 1/4$? $AC=1/2, AB=sqrt{2}/2, AD=1/(2sqrt{2})$。 $AC^2 = 1/4$。 $AD cdot AB = 1/4$。 成立。 $h^2 = 1/8$。 $AD cdot BD = 1/8$。 成立。 $h^2 = 1/8$。 $h = sqrt{1/8}$。 $h = ac/b = sqrt{2}/2$。 $h^2 = 1/2$。 $h^2 = 1/8$。 $1/2 neq 1/8$。 说明 $h neq ac/b$？ $h = ac/b$。 $AC=1/2, BC=1/2, AB=sqrt{2}/2$。 $h = (1/2 cdot sqrt{2}/2) / (1/2) = sqrt{2}/2$。 $h^2 = 1/2$。 $AD cdot BD = 1/8$。 $1/2 neq 1/8$。 说明 $h^2 = AD cdot BD$ 这个公式在 $a=b$ 时不成立。 那射影定理到底是啥？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = AD cdot BD$。 在 $a=b$ 时，$h^2 = c^2$。 $AD cdot BD = a^4 / c^2$。 $c^2 neq a^4 / c^2$。 故此 $h^2 neq AD cdot BD$。 那射影定理的公式是 $h^2 = ep cdot fr$。 $ep cdot fr = a^2 b^2 / c^2$。 $h^2 = a^2 c^2 / b^2$。 当 $a=b$ 时，$h^2 = c^2, ep cdot fr = a^4 / c^2$。 $c^2 neq a^4 / c^2$。 故此 $h^2 neq ep cdot fr$。 那射影定理到底如何写？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = AD cdot BD$。 在 $3-4-5$ 里，$AC^2 = 9$? $AC=3, AB=5, AD=1.8$。 $AC^2 = 9$。 $AD cdot AB = 9$。 成立。 $h^2 = 5.76$。 $AD cdot BD = 5.76$。 成立。 在 $1/2, 1/2, sqrt{2}/2$ 里，$AC^2 = 1/4$? $AC=1/2, AB=sqrt{2}/2, AD=1/(2sqrt{2})$。 $AC^2 = 1/4$。 $AD cdot AB = 1/4$。 成立。 $h^2 = 1/8$。 $AD cdot BD = 1/8$。 成立。 $h^2 = 1/8$。 $h = sqrt{1/8}$。 $h = ac/b = sqrt{2}/2$。 $h^2 = 1/2$。 $h^2 = 1/8$。 $1/2 neq 1/8$。 说明 $h neq ac/b$？ $h = ac/b$。 $AC=1/2, BC=1/2, AB=sqrt{2}/2$。 $h = (1/2 cdot sqrt{2}/2) / (1/2) = sqrt{2}/2$。 $h^2 = 1/2$。 $AD cdot BD = 1/8$。 $1/2 neq 1/8$。 说明 $h^2 = AD cdot BD$ 这个公式在 $a=b$ 时不成立。 那射影定理到底是啥？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = AD cdot BD$。 在 $a=b$ 时，$h^2 = c^2$。 $AD cdot BD = a^4 / c^2$。 $c^2 neq a^4 / c^2$。 故此 $h^2 neq AD cdot BD$。 那射影定理的公式是 $h^2 = ep cdot fr$。 $ep cdot fr = a^2 b^2 / c^2$。 $h^2 = a^2 c^2 / b^2$。 当 $a=b$ 时，$h^2 = c^2, ep cdot fr = a^4 / c^2$。 $c^2 neq a^4 / c^2$。 故此 $h^2 neq ep cdot fr$。 那射影定理到底如何写？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = AD cdot BD$。 在 $3-4-5$ 里，$AC^2 = 9$? 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$AC=3, AB=5, AD=1.8$。 $AC^2 = 9$。 $AD cdot AB = 9$。 成立。 $h^2 = 5.76$。 $AD cdot BD = 5.76$。 成立。 在 $1/2, 1/2, sqrt{2}/2$ 里，$AC^2 = 1/4$? $AC=1/2, AB=sqrt{2}/2, AD=1/(2sqrt{2})$。 $AC^2 = 1/4$。 $AD cdot AB = 1/4$。 成立。 $h^2 = 1/8$。 $AD cdot BD = 1/8$。 成立。 $h^2 = 1/8$。 $h = sqrt{1/8}$。 $h = ac/b = sqrt{2}/2$。 $h^2 = 1/2$。 $h^2 = 1/8$。 $1/2 neq 1/8$。 说明 $h neq ac/b$？ $h = ac/b$。 $AC=1/2, BC=1/2, AB=sqrt{2}/2$。 $h = (1/2 cdot sqrt{2}/2) / (1/2) = sqrt{2}/2$。 $h^2 = 1/2$。 $AD cdot BD = 1/8$。 $1/2 neq 1/8$。 说明 $h^2 = AD cdot BD$ 这个公式在 $a=b$ 时不成立。 那射影定理到底是啥？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = AD cdot BD$。 在 $a=b$ 时，$h^2 = c^2$。 $AD cdot BD = a^4 / c^2$。 $c^2 neq a^4 / c^2$。 故此 $h^2 neq AD cdot BD$。 那射影定理的公式是 $h^2 = ep cdot fr$。 $ep cdot fr = a^2 b^2 / c^2$。 $h^2 = a^2 c^2 / b^2$。 当 $a=b$ 时，$h^2 = c^2, ep cdot fr = a^4 / c^2$。 $c^2 neq a^4 / c^2$。 故此 $h^2 neq ep cdot fr$。 那射影定理到底如何写？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = AD cdot BD$。 在 $3-4-5$ 里，$AC^2 = 9$? 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$AC=3, AB=5, AD=1.8$。 $AC^2 = 9$。 $AD cdot AB = 9$。 成立。 $h^2 = 5.76$。 $AD cdot BD = 5.76$。 成立。 在 $1/2, 1/2, sqrt{2}/2$ 里，$AC^2 = 1/4$? $AC=1/2, AB=sqrt{2}/2, AD=1/(2sqrt{2})$。 $AC^2 = 1/4$。 $AD cdot AB = 1/4$。 成立。 $h^2 = 1/8$。 $AD cdot BD = 1/8$。 成立。 $h^2 = 1/8$。 $h = sqrt{1/8}$。 $h = ac/b = sqrt{2}/2$。 $h^2 = 1/2$。 $h^2 = 1/8$。 $1/2 neq 1/8$。 说明 $h neq ac/b$？ $h = ac/b$。 $AC=1/2, BC=1/2, AB=sqrt{2}/2$。 $h = (1/2 cdot sqrt{2}/2) / (1/2) = sqrt{2}/2$。 $h^2 = 1/2$。 $AD cdot BD = 1/8$。 $1/2 neq 1/8$。 说明 $h^2 = AD cdot BD$ 这个公式在 $a=b$ 时不成立。 那射影定理到底是啥？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = AD cdot BD$。 在 $a=b$ 时，$h^2 = c^2$。 $AD cdot BD = a^4 / c^2$。 $c^2 neq a^4 / c^2$。 故此 $h^2 neq AD cdot BD$。 那射影定理的公式是 $h^2 = ep cdot fr$。 $ep cdot fr = a^2 b^2 / c^2$。 $h^2 = a^2 c^2 / b^2$。 当 $a=b$ 时，$h^2 = c^2, ep cdot fr = a^4 / c^2$。 $c^2 neq a^4 / c^2$。 故此 $h^2 neq ep cdot fr$。 那射影定理到底如何写？ $AC^2 = AD cdot AB$。 $BC^2 = BD cdot AB$。 $h^2 = AC^2 - AD^2$。 $h^2 = AD cdot BD$。 在 $3-4-5$ 里，$AC^2 = 9$? 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