正弦定理的证明多种-正弦定理证明多种方法

想象你手里拿着三根棍子，分别代表三角形里三条边。
要是你把它们都塞进墙角，让两条边紧紧挨着，第三条边就撑起来了。
这时候你会发现，角的大小和那根棍子的长短是有正比的。老话说的“大边对大角”，在数学里就是正弦定理：任意三角形里，两边之比的正弦值，跟第三边之比一辈子相等。 别急着用“起初、其次、最终”这种套话来记步骤，我们就直接从画图启动聊。拿一个一般/平平三角形 ABC，边长记作 a、b、c，对应的角是 A、B、C 吧。假设边长 a 是最长的，角 A 也是最宽的，它们俩全不冤。
这时候你试着用圆规去截取一段长度等于 b 的弧。
哎呀，你会发现，这段弧和对应的那段被角 B 对的弦之间，居然能拼成一个等腰三角形！对等腰三角形的话，底角肯定相等，那角 B 和角 C 就相等了。
既然角 A 等于角 B 减去角 C，又出于角 B 等于角 C，故此角 A 就等于角 C。
这下好了，周角的 360 度被分成三份，每份正好 120 度。再加上刚刚那根最长边 a 对应的角，一共占了 120 度。剩下的角 B 和角 C 合起来剩下的就是 180 减去 120，也就是 60 度。
这 60 度如何分呢？既然 B=C，那它们就各分得 30 度。
这一串推导下来，英语教材上那些绕弯子的“若 a 等于 b..."的废话全没用了，咱们直接看结论：边长和角度的比例关系就看不出来了吗？ 咱们换个角度，把重心那玩意儿搬进来。三角形重心 K 是三条中线的交点，它把三角形分成了三块，每块面积相等。
要是连接 A 到 K，再往中间找个点 D，把 AK 分成两段。
这时候你会愣住了地发现，角 B 和角 C 那个“夹角”里的那个小三角形 AKC，跟角 A 那个“对顶”的小三角形 AKB，实际上是一模一样的。
为啥？出于 K 是中线上一点，故此这两个小三角形的高是固定的，底边 CK 和 AK 的关系也是固定的。
这就好比两个彻底一样的扑克牌，不管如何转，它们的牌面一辈子是一眼相通的。 这时候你再看右边那块小三角形，它的高是从 K 点引出来的垂线。别看它的形状有点歪，但它的面积等于左边那块。左边那块面积能够用“底乘高除以二”算，右边那块也是。
既然两块面积相等，那它们的高自然就相等了。
既然这个高是公共边，那它的底边 CK 和 AK 的长度肯定相等。可我们刚刚说过，AK 和 CK 本来就是同一条中线被分成的两段，长度相等是废话。更大的发现是，由这两个等于 AK 的小三角形拼起来，又构成了那个等腰三角形。
既然两个底角相等，那顶角 A 自然等于角 C。 这一套逻辑循环往复，直到最终。
你看到角 B 和角 C 那个“夹角”里的三角形吗？它的高和那两个“等腰三角形”的高一样长，底边 CK 和 AK 也一样长。
这说明角 B 和角 C 那个角，实际上是由两个 30 度角拼起来的，故此角 B 和角 C 都是 30 度。
那角 A 呢？360 减去两个 30 度再减去刚刚的 120 度，剩下的就是 30 度。
故此 A 也是 30 度。整个三角形就如此全了，角度和边长比例彻底理通了。 为了让你更直观地感受，咱们拿个具体的例子来算算看。假设你有一个等边三角形，三个角都是 60 度，三条边长度都是 10 厘米。根据正弦定理，公式是 a/sinA = b/sinB = c/sinC。把数据填进去，就是 10/sin60° = 10/sin60° = 10/sin60°。
这自然成立，出于三个角都一样，边也一样。再拿个直角三角形试试，比如那个经典的 3-4-5 三角形。直角边分别是 3 和 4，斜边是 5。对应的角，30 度对的是 3，90 度对的是 4，60 度对的是 5。用正弦定理算一下：3/sin30° = 3/(1/2) = 6。4/sin60° = 4/√3/2 = 8/√3。
什么的，这两个结局不一样啊？哦不对，正弦定理里各个角的正弦值加起来并不一直 1，这才是关键。在 3-4-5 里，sin30=0.5，sin60≈0.866，sin90=1。3/0.5 = 6。4/0.866 ≈ 4.61。
这两个数不一样，说明啥？说明它们不是同一个三角形的三边对应同一个角的正弦值。
反过来想，要是三个角的正弦值之积等于 1，那是直角三角形的一个性质，但并不是任意三角形的性质。 好了，是不是认定那些复杂的证明过程实际上挺好办的？实际上正弦定理的核心就一句话：三角形里，任意一边跟它对的角的正弦值，跟另外两边的正弦值比值，一辈子是一个不变量。就像你给地球拍了一张照片，再看地图上的投影，只要方向不变，远处物体的大小跟它对应的角度就成正比。
哪怕三角形的形状千变万化，这个比例关系一辈子站得住脚。
这种朴素的直觉，往往比一堆枯燥的定理证明更让人有成就感。数学有时候就是这样，略微换个角度看，那些所谓的“难点”实际上早就不难了。