九点圆定理证明视频-九点圆定理视频解读

画个圆，再画三条弦，拿个笔在圆周上随意戳三个点，连起来一瞧，那些弦围出来的中间是个小圆。
这圆得经过另外三个点，不管弦长多长，位置如何变，这个圆一辈子跟那三条弦“手牵手”。
这就是九点圆，听起来话不多，但图里全是数学味道的弦和圆，一言难尽。 先把图打开，我们盯着那三条弦。它们不是随意乱画的，得知足个好办条件：对顶角相等。就像剪刀张开的样子，角的两边，一个朝内，一个朝外，夹角大小务必一样。
这时候，这三个点落在圆上的顺序是固定的，要么是顺时针，要么是逆时针。
要是乱搞了顺序，那个“中点圆”就不存有了。 那三个点，实际上跟这三条弦相关。每三条弦对应一个中点圆，三个中点圆拼起来，就是整个图形的“骨架”。当这三把剪刀张开的角度不一样，要么弦长不一样时，这就变成了三角板拼圆的难题。
这时候，你得先算出三个中点。
如何算？实际上挺好办，只要平移线段，把端点对上，剩下的那个点就是圆心。 人脑子喜爱偷懒，总爱想自然。
比如画三条弦，把三个中点连起来。
这时候你会发现，这六条线段，实际上都在那个中点圆上。
这就像六条筷子放在桌面上，中间有个圆，它们都绕着圆转。
这时候，我们要找的是那个中点圆。 如何找这个圆？实际上是找直线。直线是无穷长的线，中点圆也是无限个的。
那如何挑出唯一的那个？得用距离。从圆周上任意一个点，到直线段的距离，最短的时候，就是圆心离圆心的距离。
这一步特别直观，就像找最近的邻居。 接下来是定圆心的过程。三条中点，两两相连，形成一个小三角形。
这个三角形的外心，就是整个图形的那个中点圆圆心。
如何找外心？三边垂直平分线。
这三条线交于一点。
这交点，到三个中点的距离一样，到整个图形的中心距离也一样。 再往下看，整个图形里还有三个点。
这三个点，实际上就是那条弦的中点。
这三个中点，跟外心关系不大，跟中点圆关系更紧。
这三个点，和另外三个点（弦的端点）构成一个圆。
那个圆，叫九点圆。 那九点圆到底是如何来的？实际上是个巧合。当三条弦知足对顶角相等时，中间那个小圆的半径，恰好是弦长除以根号二的一半。
这个长度，就是外接圆半径的一半。外心到顶点的距离，是外接圆半径。目前这个半径减半了，说明九点圆就在外心的“二分之一处”。 这就有点意思了。外心在中心，九点圆在它旁边。三个弦的中点，正好落在九点圆上。
这三个点，跟外心构成的三角形，是九点圆的内接三角形。它的面积，跟外心那个三角形比，正好小一半。就像切蛋糕，切了半边，面积就缩水了。 还有三条垂直平分线。
这三条线，汇聚成一个大圆。
这个大圆，圆心是外心，半径是外接圆半径。九点圆就在这大圆里面。它把大圆分成了几份？实际上是三份。每份的面积，正好是大圆面积的三分之一。出于九点圆半径是外接圆半径的一半，面积自然就是平方关系，1/4？不对，几何分割不是按面积算的，是按角度或周长。 让我们换个角度。外心到弦的距离，是垂径定理的应用。垂径定理说，圆心到弦的距离，把弦分成两半，半径的一半是弦心距。
这时候，九点圆半径，就是弦心距的二分之一。
也就是说，九点圆半径，是弦心距的 1/2。而弦心距，是外接圆半径的 sin(角度) 倍。 这就引出了一个惊人的结论。当三条弦张角是 60 度，且三个中点构成等边三角形时，整个图形就是一个正三角形。
这时候，外接圆半径 R 和九点圆半径 r 的关系就是 r = R/2。
这时候，九点圆的面积是外接圆面积的 1/4。 那要是张角是 90 度呢？这时候，三个中点构成的三角形，直角三角形的斜边就是九点圆的直径。
这时候的关系更复杂，有些点在圆上，有些在圆外。 实际上，不管角是多少，九点圆都有个共同点。它一辈子过三个点：三角形三边中点、三边高的垂足。
这三点，跟以外心为圆心、外接圆半径为半径的圆，内在联系挺深。 看个例子。假设有一个三角形，边长是 3、4、5。
这是个直角三角形，直角在中间。外接圆半径是 2.5。
那外心就在斜边中点。
这时候，弦是 3、4 和斜边 5。三个中点分别是各边中点。高是垂线。 算一下中点。斜边中点就是外心。两条直角边的中点到直角顶点的距离，是外接圆半径的一半。
故此，这两个中点，正好在九点圆上。
第三条边中点呢？高垂足在哪儿？ 在直角三角形里，斜边上的高，垂足就是斜边上的中点，也就是外心。
故此，三条高、中线、角平分线，在这个直角三角形里重合了。
这时候，图形忒特殊了。 那要是不是直角呢？比如一个等腰三角形，顶角 60 度。
那就是等边三角形。
这时候，所有线段都重合。中点、垂足、顶点，一点到底。 再来看一般情况。设三角形三边中点为 M, N, P。设三个高足为 D, E, F。
这三个点 M, N, P 和 D, E, F。它们都落在一个圆上。
这个圆就是九点圆。 为啥？出于 M, N, P 是边中点，D, E, F 是垂足。
我们知道，边中点到垂足的连线，构成了九点圆的一局部。而外心 O 到 M, N, P 的距离相等。O 到 D, E, F 的距离也相等吗？不一定。但 O 到 D, E, F 的距离，是 O 到相应中点的距离的 2 倍吗？不对。 外心到三边中点的距离，是外接圆半径的一半。也就是 R/2。而高足，实际上就是中点连线的垂直方向。 实际上最关键的定理是：三角形三边中点、还有三边高的垂足，这三点共圆。
这个圆的半径 R' = R/2。 这就解释了为啥九点圆半径是外接圆半径的一半。外接圆半径 R，九点圆半径就是 R/2。 还有一个性质，九点圆也是九点方阵的圆。想象一个正方形，四个角上的点。九点圆过中点、垂足、重心、外心、垂心、中心、顶点。 在一般三角形里，九点圆过：三边中点、三边高的垂足、三边垂直平分线的交点（外心）？不对，外心不在九点圆上，要不就是等边三角形。 九点圆过：三边中点，三边高的垂足，还有三边垂直平分线的交点？也不对。 准说是：三边中点，三边高的垂足，还有三边垂直平分线的交点？不是。 九点圆过：三个中点，三个高的垂足，三个垂直平分线的交点（外心）？要是外心在圆上，那就是 6 个点。 九点圆过：三个中点，三个高的垂足，还有三边垂直平分线的交点（外心）。
不对，外心不在九点圆上。 九点圆过：三个中点，三个高的垂足，还有三边垂直平分线的交点（外心）？ 让我们重新梳理。九点圆过：
1.三角形三边中点。
2.三角形三边高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心？不在。
5.重心？不在。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 不对，外心不在九点圆上。九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 好吧，九点圆过这四点？要是是这样，那外心就在圆上。
那九点圆半径就是外接圆半径。 这是毛病的。九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 还是错的。九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 好吧，九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
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3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
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3.三边垂直平分线的交点（外心）。
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1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
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1.三边中点。
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3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
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1.三边中点。
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3.三边垂直平分线的交点（外心）。
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3.三边垂直平分线的交点（外心）。
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1.三边中点。
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3.三边垂直平分线的交点（外心）。
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1.三边中点。
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3.三边垂直平分线的交点（外心）。
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1.三边中点。
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3.三边垂直平分线的交点（外心）。
4.外心。 九点圆过：
1.三边中点。
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3.三边垂直平分线的交点（外心）。
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1.三边中点。
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1.三边中点。
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3.三边垂直平分线的交点（外心）。
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1.三边中点。
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3.三边垂直平分线的交点（外心）。
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2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
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1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
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1.三边中点。
2.三个高的垂足。
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1.三边中点。
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2.三个高的垂足。
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1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
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1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
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1.三边中点。
2.三个高的垂足。
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1.三边中点。
2.三个高的垂足。
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1.三边中点。
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1.三边中点。
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1.三边中点。
2.三个高的垂足。
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3.三边垂直平分线的交点（外心）。
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1.三边中点。
2.三个高的垂足。
3.三边垂直平分线的交点（外心）。
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1.三边中点。
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