重心定理及公式-重心定理公式简写

重心定理这东西，在物理里算是个老生常谈，但按老习惯一讲，感觉像是在念教科书目录。
实际上吧，它没那么玄乎，就凭脑子里那根无形的线，就能把一堆散碎的东西往心窝子里聚一起。
你想想看，要是把一根刚硬的杆子弯成啥样，不管它是弓形还是扇形，只要重心掉下来，它就变成一块匀质的板子，这时候重心就在线长中间。可要是你能把它做成个三角形呢？比如那个等边三角形，重心就是三条高线的交点，也是内心、外心、垂心那一个。
要是换成个梯形要么平行四边形，重心就压根不在中间，而是跑到底边连线的中点往下偏去的地方。
这说明啥？说明重心这东西，跟形状、就连摆放的角度都相关，它不是死死的钉死在某一个点，而是随着形状的转变，心里那个“平衡点”也跟着动。 说到具体如何算，公式倒是不复杂，无非就是那几个根本公式。对于刚体，重心坐标（x, y）等于所有质点坐标的加权平均。
这个“加权”是关键，权重就是质量，质量大的物体，重心就往外拽；质量小的，重心就乖乖待在旁边。
要是整个物体没法分成一个个小一点的块，那得用积分算，也就是 $int x dm$，密度 $rho$ 一乘，体积积分，再除以总质量，就能拿到 $bar{x}$。
同理就是 $bar{y}$。
这个公式看着冷冰冰，实际上逻辑挺直白：总质量乘以平均坐标，等于所有质点坐标的总和。换个角度说，要是你能画出这个图形的所有质点，把每个点画出来，再连一条线，这条线的中点就是重心。你试试看，画个细长的矩形，连起来看，重心明显不在正中间，而在靠近短边的那一头。 说到公式里的“加权”，举个具体的例子吧。拿一个不规则的木块，一块像是砝码如此重，另一块像个插头如此小。
要是砝码质量是 10 千克，插头是 1 千克，总质量是 11 千克。砝码在 x 轴上的坐标是 0，插头是 5 米。
那重心 x 坐标就是 $(10 times 0 + 1 times 5) / 11$，算出来是 $5/11$ 米，也就是大约 0.45 米。
你看，别看插头离中间远，但出于它的质量忒小，重心就被牢牢拉回了大半局部。
要是反过来，插头重 10 千克，砝码重 1 千克，那重心就在砝码那边了。
这说明啥？说明重心实际上就是“总质量形成一个虚拟质点的地方”，这个虚拟质点的位置由实际物体的质量和位置共同拍板。 再拿个生活化的例子，比如一只猫坐在椅子上。猫的身体重心大约在腰部附近，但要是你把猫甩得晕头转向，它的眼窝突出来了，要么腿伸展出去了，这时候它的重心位置就莫名地变了。你把手放在它的手下，再把手放在脚底，慢慢移动这两只手，你会发现手下放的时候重心略微偏左一点，脚底放的时候又偏右了，最终两只手一起按在中间，猫才认定稳当。
这就是重心在“找人”，它在寻找一个能让身体绕着转不动的位置。
要是找不到这个位置，猫就会翻跟头。 还有个有趣的，就是重心在图形内部还是外部，这跟形状有直接关系。对于三角形，重心一定在三角形内部。出于你能够从三个顶点连向对边的垂线，这三条线交于一点，这个点就在三角形里了。但要是你画个 L 形，要么一个角挺尖的三角形，重心就可能跑到那个尖角外面去。
比如那个像飞镖一样的形状，重心挺可能就在飞镖尖那个大头的外面，就连跑到外面去。
这时候，要是你试着用一条直线穿过重心，你会发现这条直线肯定能接到三角形的另外两个顶点，且把三角形的面积切成两半。
这有个定理，说三角形重心到三个顶点的距离平方和是相等的。
不过，这个距离平方和特别大，出于那些长距离连起来，平方数自然大。 在实际应用里，重心定理真是无处不在。建筑学里，盖房子肯定得算重心。高楼大厦要是重心偏了，结构就不稳了，可能早就塌了。桥梁也是一样，桥墩要是位置不对，主力梁上的载荷就乱了，桥也会晃。飞机场跑道，飞机起飞降落，重心要是跑偏了，跑道就废了，那是绝对不中。连坐飞机，飞行员得时刻盯着仪表，要是重心超出了准范围，飞机可能直接坠毁。
这说明啥？说明重心这东西，不是一般的物理概念，它是工程保险的生命线。 再聊聊一些动态变化。你当作重心是固定的，实际上不然。一个箱子放在地上，重力让它压在地上。但你用手推了推，箱子启动加速移动，它的重心轨迹就变成了一条直线。你打一个喷嚏，鼻子塌了，重心可能瞬间往下塌。你扔一块石头，石头在空中划过弧线，重心也跟着弧线走。
这时候，你能够用一个极小的小孔，把重心固定在纸片上，纸片就转起来了。转一圈，孔的位置不变，纸片转了 360 度，但重心画出了个圆。
这说明啥？说明重心是能够被追踪的，它能够像液体一样流出来，把物体的位置虚拟化。
这个思想对机器人管住特别有用，机器人如何知道手里拿的零件重心在哪？它得建立个模型，算出重心坐标，然后调整关节角度，让重心保持在中间，这样机器人才走得稳。 有时候，重心定理还能用来解决那些看似无解的难题。
比方说，两个圆如何拼成一个大圆？要是把它们拼在一起，算出新的重心，看看它在哪，是不是在原位？
要么，把一堆石头堆在一起，如何堆才能让它重心最低？这就是重心原理的应用。在建筑设计中，还有用重心法来设计结构。把柱子埋在地下，把墙、梁、板架在外面。先把柱子算好，重心在柱下。
然后在柱子上架板子，重心会往上移。再架梁，重心又往上移。
这样一步步算，算到最终，整个房子的重心就刚好落在地基的范围内，稳当。 还要提一下重心和对称轴的关系。对称图形的重心一定在对称轴上。圆是完美的对称图形，重心就在圆心。正方体、长方体，重心都在体对角线的交叉点。长条形的，像一根棍子，重心就在正中间。
只有那些被打破对称的东西，重心才会跑偏。 最终说个冷知识，重心有时候也是魔法。
比如在一个彻底均匀的立方体里，切一刀，分成两半。
要是切面平行于底面，那重心依然平分高。
要是切面斜着切，重心就会跑到斜面的中间。
这听起来有点不可思议，但原理是通顺的。重心是物体所有局部的质量分布的“合成”结局。
只要质量分布对称，重心就在线性对称轴上；质量分布不对称，重心就跟着跑。它是个挺灵活的伙伴，会随时跟着物体的变化而变化，但总有它的规律可循。 你想想，为啥我们爬楼梯要选左腿要么右腿，而不是中间？出于中间的位置最稳，重心好办跑偏。
为啥坐椅子要坐在下面而不是上面？出于下面支撑面积大，重心好办回落。
这些日子，重心定理都在默默工作，防止着物体乱飞，帮人类在地球上稳稳地行走。
看来，再复杂的物理现象，实际上都是好办的线，是平衡，是数学的优雅。