奈奎斯特采样定理动画-奈奎斯特采样定理动画

奈奎斯特采样定理：把声音“抓”进格子里 想象一下，你手里拿着一根被风吹得哗啦啦作响的竹竿。
这根竹竿上的每一个节点，都是空气在某个瞬间的快照。
要是你闲着没事，把这些节点固定下来焊死在木板上，你可能一辈子拿不到有效的声音。出于你忒依赖那段工夫了，那段工夫一那会儿，竹竿就软了，数据全没了。 这就是为啥我们的大脑当作只要采样快一点，声音就能存下来。但人脑也有时候会犯错，比如认定“拍得快”就是“拍得准”。 奈奎斯特采样定理给这次“拍傻”行为定了一个价格。你每拍一下，就得付一个“门票”钱——这个门票的价格，是采样频率的一半。
要是你敢拍得更快，那就不存有所谓的“门票”了，出于你会直接踩到自己的脚。 拿回血色的声音，最干脆的用法就是把它拍得更快。拍得越快，你留下的脚印就越密，竹竿上的波形就越像真的声音。
只要你的脚印够密，你就彻底不用揪心竹竿变软，波形崩塌。
这是确实，并且这事儿靠谱到质疑人生。 那么，到底多少脚印才算够密？ 假设你拍得充足密，波形彻底没坏，那你的采样点之间有啥连接关系呢？ 在音频世界里，我们习惯先拿一个正弦波来问这个难题。
要是我是个完美的“哨子”，你能够听到我发出的声音。目前，你把我拆成无数个独立的哨子。每一个哨子发出一个正弦波。 要是你把这三个哨子的频率加起来，凑成一个新的频率，你能听到吗？能，自然能。你就连能听得更清楚。
这是出于这三个独立的哨子互相“打架”，形成了干涉和叠加，形成了一个新的、更复杂的波形。 这就好比你在画一幅画。
要是你只用三种颜料：蓝色、黄色和红色。你只能画出红、黄、蓝这三种颜色。
要是你能混合出紫色，那是哪一种颜色的叠加？是黄的蓝加红，还是蓝的红的黄？ 你没法把画面精确地拆解成啥，出于你没那种工具。 奈奎斯特采样定理就是这个“混合颜料”的原理。它告诉我们，要是你有三个独立采样点，你顶多能画出三种波形。
要是你能画出四种波形，那就意味着你无法区分哪两种波形是互相叠加的结局，哪两种是彻底独立的。 这听起来挺玄乎，但想想看。
要是你拍得忒密，比如每秒一千万次。
这时候，任何两个点之间的距离都极细小。它们之间是啥关系？它们可能只是两个彻底独立的正弦波，也可能是两个彻底不同的、频率未知的波形混在一起。 当你把这两个波形加起来时，你根本猜不出它们各自是啥。你拿到的只是一团混沌的数据。 故此，奈奎斯特采样定理的底层逻辑是：你采样点之间的间隔（周期），务必充足小，小到这个间隔本身就是一个“最短的波形”。你不能在“最短波形”和“稍长一点波形”之间再套一层“最短波形”，否则你就无法判断哪个是独立的，哪个是叠加的。 这就好比你手里有一把尺子。尺子上有 1 厘米、2 厘米、3 厘米这些刻度。你用尺子量东西。 要是你只有一把尺子，你量出来的是 1、2、3 厘米的数据。你没法量出 1.5 厘米。你只能量出整数倍。 要是你用尺子量，发现 1 厘米的刻度下有一个点，然后 3 厘米的刻度下又有一个点。中间是不是就断开了？ 你看，这两个点之间距离是 2 厘米。在这个距离里，你没法测量出任何不是 1 厘米或 2 厘米的间隔。 这就是为啥采样频率务必大于两倍。出于假设你采样频率是 2 倍。
这意味着两个点之间的距离是半个拍子。在这个半个拍子里，你只能定义出一个波形。再往左走，往右走，你只能看到相邻的那两个波形。 要是你能画出四种波形，其中一种频率是 3 倍，那它肯定能混出来。但要是频率是 3 倍，那它和另一个 2 倍的波形叠加，你能看出它们区别在哪？你只能看出它们之间的相对大小关系。你没法分离出它们各自的频率成分。 故此，要是你有一把尺子，刻度是 1、2、3 厘米。你没法测量出 1.5 厘米的间隔。 要是你有一把尺子，刻度是 0.1、0.2、0.3、0.4 厘米。你没法测量出 0.15 厘米的间隔。 同样，采样频率务必大于两倍。 目前，我们来算算数字是多少。 要是我的采样频率是 100 赫兹。
那我的两个点之间只能是 0.5 秒、1 秒、1.5 秒。在这些工夫点，我确实能画出波形。 可是，要是我把频率压到 50 赫兹。
那我的点就变成了 0.1、0.2、0.3 秒。 要是你在这个间隔里画一个正弦波，它看起来和画一个频率是两倍的那个波一模一样。 要是你目前把频率是 50 赫兹的波形，和频率是 100 赫兹的波形加起来。 你会拿到啥？你会拿到两个正弦波叠加在一起，看起来彻底不像原来的东西。 你务必把频率是 50 赫兹的波形“放大”或“缩小”，让它和频率是 100 赫兹的波形“打架”，才能让你看清楚它们各自有啥。 要是你采样频率是 50 赫兹，你实际上是在拍一个频率为 25 赫兹的波。 要是你采样频率是 100 赫兹，你实际上是在拍一个频率为 50 赫兹的波。 要是你的采样频率不够高，你拍到的波形，频率就是采样频率的一半。 这就回到了“拍得忒密”的难题。 要是你拍得忒密，比如每秒一千万次。
那你拍到的波形是 50 万赫兹。 那你能不能把 50 万赫兹的波形，和另一个 100 万赫兹的波形叠加，再叠加，再叠加，最终凑成 600 万赫兹的波形？ 你能凑出来，自然能。 要是你用泰勒展开式去想，你发现这就像是用三个 1 的数，去拼凑一个 2，还是三个 2 的数，拼凑一个 4。 你最终拼出来的，一定是两个独立的数。 要是你用三个 1，拼不出 2。你用两个 2，也拼不出 4。 故此，要是你的采样频率是 100 赫兹。 你只能拿到频率是 50 赫兹的波形。 你不能拿到频率是 50 赫兹的波形的两倍，即 100 赫兹的波形。 你不能拿到 600 赫兹的波形。 你不能拿到 800 赫兹的波形。 你不能拿到任何不是 50 赫兹倍数的波形。 你能拿到的波形，频率一定是 50 赫兹的倍数。 同理，要是你的采样频率是 50 赫兹。 你只能拿到频率是 25 赫兹的波形。 你不能拿到频率是 50 赫兹的波形。 你不能拿到 75 赫兹的波形。 你不能拿到 100 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，才能拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 当你把频率是 50 赫兹的波形，和另一个 100 赫兹的波形叠加，再叠加，再叠加，最终凑成 150 赫兹的波形时，你会发现，它们之间并没有形成任何变化。 要是你采样频率是 100 赫兹。 你只能拿到频率是 50 赫兹的波形。 你不能拿到频率是 50 赫兹的波形的两倍，即 100 赫兹的波形。 你不能拿到 600 赫兹的波形。 你不能拿到 800 赫兹的波形。 你不能拿到任何不是 50 赫兹倍数的波形。 你能拿到的波形，频率一定是 50 赫兹的倍数。 同理，要是你的采样频率是 50 赫兹。 你只能拿到频率是 25 赫兹的波形。 你不能拿到频率是 50 赫兹的波形。 你不能拿到 75 赫兹的波形。 你不能拿到 100 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，才能拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 赫兹的波形放大两倍，拿到 50 赫兹的波形。 你需求把频率是 25 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