正弦定理的简单证明-正弦定理证明

正弦定理的随手记：不用看教科书也能想出来 在初中几何课上，老师一笔不苟地画了个圆，然后写着“正弦定理”。
那一刻，整个几何板块都宁静了，老师接着讲圆内接四边形的性质，生怕我们没听懂。
直到后来我翻到那张图，发现那个定理的名字——正弦定理，跟圆里的一个角彻底割裂了。
原来它存有于三角形里，却只关心角和边长的那些怪的量。 说确实，再背一遍“大边对大角，小边对小角”这种规则，哪位用它干嘛都不关键。真正的魅力在于，它能让两个彻底不像的三角形，在同一个圆里“对话”。 想象一下，你手里拿着一根木棍，那是一根固定的弦。
要是把这根木棍的一端固定，另一端在圆周上滑动，你会看到，这根木棍的长和它所对的圆周角是成比例的。
这个比例关系就是正弦定理。它不需求证明它是恒等式，你只需求在圆周上放三个钉子，用绳子连着。当你把绳子拉紧，你会发现，只要这三个角拼起来是个三角形，那根绳子的总长度和角之间的比例，一辈子是一样的。
这就够了。 大量人学这个定理，最终发现只能用来解三角形，也就是求边长要么求角度。但这玩意儿忒实用了，想不想用它画个“动态”的东西？比如在一张纸上画一个直径为 10 的圆。随意画一个半径为 6 的三角形，把它画在圆里面。
这时候，底边上的高是多少？用三角函数算，是 8。再画另一个三角形，底边上的高是 12。
这两个三角形的角度、边长、面积，哪一个是一样的？彻底不一样。但它们对应的那个顶点上的正弦值，是 6、12、8 的倍数关系。
这个定理简直是把几何和三角函数混在一起了，忒神奇了。 我有个小实验，想证明这个关系，不用计算器。我就把圆里的弦分割成几段。
比如弦长是 8，把弦分成了 3 段和 5 段。
这时候，顶点处那个角对应的正弦值，就是长边除以短边，要么说是 8 除以 5。
这个结论对吗？我刚刚说，先随意画个三角形，这个弦对应的边长是 3，另一条边对应的角是 150 度。
这时候算一下，正弦值确实等于 3 除以 5。结局一样！
看来，这个定理确实不是死记硬背的，它是几何结构和三角函数逻辑的完美结合。 自然，这个定理最了得的地方，在于它能够用来解那些看起来彻底解不开的三角形。假设你在纸上画了一个三角形，只知道它的角度，不知道边长。你只需求知道一条边的长度，比如它是 5。
然后，你用正弦定理来找另一条边。公式是 $a/sin A = b/sin B$。代入数据，$5/sin 30^circ = b/sin 45^circ$。
这就解出来了。出于 $sin 30^circ$ 是 0.5，$sin 45^circ$ 是 $sqrt{2}/2$，算一算，$b$ 就是 $5sqrt{2}$。整个过程像解方程一样，好办又顺滑。
那会儿我认定解直角三角形就得用勾股定理，这时候解斜三角形就变好办了，并且还能顺便算出面积。
有时候算出面积比算出边长还快，出于公式里直接就有 $frac{1}{2}absin C$。 不过，这个定理有个小毛病。
要是三角形是钝角三角形，正弦函数要是是负数如何办？这时候，出于正弦值一般是正的，公式里的边长不能是负数。
故此，要是知道了一条边和一个非直角角，用这个定理去算另一条边，结局可能和直觉反之。
这时候，你得小心点，最好还是用余弦定理验证一下。
毕竟，数学有时候挺狡诈的，它让你认定逻辑完美，但现实里可能有个例外。 再说说它的使用场景。优等生用它做竞赛题，求多边形内角和相关的量；学生用它解好办的三角方程，要么处理航海导航里的方位角难题。
有时候，它就连能用来求三角形的内心要么外心位置。
只要你能发现三角形和一个圆之间的联系，这个定理就派上了用场。 最终，我想说，这个定理之故此叫“正弦定理”，是出于它的名字带个“正弦”，听起来挺文艺的，但实际上它只是把正弦函数那个特殊的值，塞进了一个几何定理里。它不像勾股定理那样优雅，也不像圆的性质那样直观。它更像是一个工具，一个随时能伸出来的手，用来帮你算那些乱七八糟的边长。 要是你目前手里有个三角形，不知道边长，别慌。拿起纸，轻轻一画，用那个好办的比例关系，你就能解出答案。
这就是正弦定理的力量，好办，直接，有时候就连有点“不讲道理”，但一旦讲出来，你就彻底明白了。