余弦定理公式求导-余弦定理求导

余弦定理实际上就是三角形里三个边长关系的一个“变相”表达法。咱们别去死记硬背那个费事的公式，换个角度想就能明白了。
比如你有三个边长 $a, b, c$，想求角 $cos C$，那得先把 $c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$ 这个式子拿来。
你看，要是把 $2cos C$ 看作一个整体，那它实际上是个系数，对吧？ 大量人好办犯的毛病是把整个式子当成一般/平平函数直接拿 $x$ 去微分。
实际上不然，这个 $c$ 不是独立变量，它跟 $a$ 和 $b$ 相关联。
这就好比你在解方程，$2cos C = frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$。你会发现，要是 $a, b$ 不变，那 $cos C$ 跟 $c^2$ 长得一模一样，分子上是 $-(c^2)$。
这就暗示了求导的时候，$c^2$ 这一项得乘以 $-2c$，也就是$-2c^2$。 为了把这个搞清楚，咱得用具体的数字来推演一下。假设三角形是等边三角形，三条边都是 1，角都是 $60^circ$。
这时候 $cos C = cos 60^circ = 0.5$。目前随意咬两下，把两条边固定成 2 和 3，算出第三边 $c$。根据余弦定理，$c^2 = 4 + 9 - 12 cos 60^circ = 13 - 6 = 7$。
故此 $c = sqrt{7}$。 目前换个参数，把边长改成 $a=1, b=2$，看看 $cos C$ 变没变。$c^2 = 1^2 + 2^2 - 2times1times2times cos C = 5 - 4cos C$。
要是 $c$ 还是 $3$，那 $9 = 5 - 4cos C$，解出来 $cos C = -0.5$。对比一下，原来的 $cos C$ 是 $0.5$，目前的 $cos C$ 是 $-0.5$。变化挺大，肯定是有求导的功能。
要是把 $c$ 看作 $c(x, y)$，那 $c^2$ 对 $x$ 要么 $y$ 求偏导，结局都是 $c$，再结合系数 $-2$，最终除以 $c$ 拿到 $-2$。 这就把复杂的几何关系给简化了。
实际上只要记住这个公式的变形：$cos C = frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$，求导过程就特别顺。出于 $a$ 和 $b$ 是常数，故此分子里的 $-c^2$ 这一项，求导后就是 $-2c cdot frac{dc}{dx}$。分母 $2ab$ 也是常数，最终约掉之后，$cos C$ 对 $c$ 的导数就是 $-frac{c}{2ab} cdot frac{dc}{dc}$，也就是 $-frac{c}{2ab} cdot c$，最终化简就是 $-frac{c^2}{2ab}$。 再拿一个例子看看。设 $a=3, b=4$，$c^2 = 5+16 - 24cos C$。
要是 $c$ 从 $sqrt{25}$ 变成 $sqrt{28}$（比如角度变了），那 $c^2$ 就从 $25$ 变成 $28$。代入公式，$cos C = frac{9+16-28}{24} = 0$。
这说明当 $c^2=28$ 时，角 $C$ 是 $90^circ$。
要是持续让 $c$ 变大，比如 $c^2=40$，那 $cos C = frac{25+16-40}{24} = -frac{1}{8}$。 你会发现，每次 $c$ 变化时，$cos C$ 别看值变了，但变化率并不是线性的。
特别是到了直角三角形阶段，$cos C$ 从 $0$ 变到 $-0.5$ 的区间，变化是快的；到钝角阶段，再往左走，变化反而慢了。
这跟一般/平平的正弦或余弦曲线不同，带有明显的“拐点”。 不过，这种非线性关系在计算导数时实际上是个考验。
要是直接对原式 $c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$ 两边求微分，左边是 $2c frac{dc}{dc}$ 也就是 $2c$。右边导数是 $0 - 2ab(-sin C frac{dC}{dC}) = 2absin C cdot frac{dC}{dC}$？不对，这里要注意，$cos C$ 本身是个变量，$C$ 也是变量，但它们代表同一个角。
故此 $d(cos C) = -sin C cdot dC$。 重新梳理一下微分过程：$d(c^2) = 2c frac{dc}{dc}$。右边 $d(a^2 + b^2) = 0$。右边 $d(-2abcos C) = -2ab cdot (-sin C cdot dC) = 2absin C frac{dC}{dC}$。
这里有个符号难题，$cos C$ 对 $C$ 求导是 $-sin C$。
故此整体右边是 $2absin C cdot cos C$？不，这里的微分操作有点绕了。 实际上更直观的写法是：$frac{dc}{dc} = 2c$。而 $-2abcos C$ 这一项，它的导数是 $2absin C cdot frac{dC}{dc}$？不对，角度 $C$ 和边长 $c$ 是一一对应的。$frac{dc}{dC} = frac{dc}{dC} cdot frac{dC}{dc} = frac{dc}{dC} cdot frac{1}{dC/dc}$。 干脆换个思路，直接对原式两边取关于 $C$ 的导数。$c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$。两边对 $C$ 求导，左边 $2c cdot frac{dc}{dC}$。右边 $0 - 2ab(-sin C) cdot frac{dC}{dC}$？不，$cos C$ 对 $C$ 的导数是 $-sin C$。
故此右边变成 $+2absin C$。
什么的，$frac{dC}{dC}$ 是 $1$。
故此右边是 $2absin C$。便拿到 $2c frac{dc}{dC} = 2absin C$。化简一下就是 $c frac{dc}{dC} = absin C$。
故此 $frac{dc}{dC} = frac{absin C}{c}$。 这个结局实际上挺简洁的。
要是取 $a=3, b=4$，$C=60^circ$，$sin C = sqrt{3}/2$，$c=sqrt{7}$。
那 $c$ 的导数就是 $frac{3 times 4 times sqrt{3}/2}{sqrt{7}} = frac{6sqrt{3}}{sqrt{7}}$。 不过，我们一般不需求如此费事。我们一般是对 $c^2$ 求导，然后利用链式法则把 $C$ 换回来。
比如求 $frac{d}{dC}(2cfrac{dc}{dc})$？不，标准做法是： 原式 $c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$ 两边对 $C$ 求导： $2c frac{dc}{dC} = 0 - 2ab(-sin C) cdot 1$ $2c frac{dc}{dC} = 2absin C$ 消去 $2$，得 $c frac{dc}{dC} = absin C$ $frac{dc}{dC} = frac{absin C}{c}$ 这就把求导给搞定了。代入数据验证一下，要是 $a=3, b=4, C=60^circ$，$c=sqrt{7}$，$frac{dc}{dC} = frac{12 times frac{sqrt{3}}{2}}{sqrt{7}} = frac{6sqrt{3}}{sqrt{7}}$。
这与之前的推导一致。 再来看一个角度，当 $C$ 从 $60^circ$ 变到 $90^circ$ 时，$c$ 如何变。$c = sqrt{25}$ 变到 $c=sqrt{13}$（出于 $c^2=5+16-24times0.5=5$？不对，刚刚算的是 $c^2=28$）。
要是 $C$ 变成 $90^circ$，$cos C=0$，$c^2 = 25 + 16 - 0 = 41$，故此 $c=sqrt{41}$。从 $sqrt{7}$ 到 $sqrt{41}$，变化挺大。 导数 $frac{dc}{dC}$ 的绝对值在 $C$ 接近 $90^circ$ 的时候变大，接近 $0^circ$ 的时候变小。出于 $sin C$ 在 $0$ 附近是小的，$cos C$ 接近 $1$。别看 $c$ 在减小，但 $sin C$ 在增大。 总结一下，求余弦定理的导数，核心就在于处理好 $c^2$ 和 $2abcos C$ 这两块。$c^2$ 的导数含有 $c$，$2abcos C$ 的导数含有 $c$ 和 $sin C$。合并起来后，你会发现导数表达式里，分子是 $sin C$，分母是 $c$ 和 $ab$ 的乘积。
这种形式在三角函数求导里挺常见，不像sine或cosine那样直接出现一次方，多了一个 $sin$ 因子，这本身就是难点所在。 要是题目给的是边长和角度之间的关系，比如 $a = 2rsin A$ 这种，那求导就费事多了，出于三角函数求导还得用到倍角公式。但要是是纯粹边长 $a,b,c$ 的函数，那就好办了。
只要记住 $c = sqrt{a^2+b^2-2abcos C}$，然后两边平方再微分，最终约掉常数项，就能拿到标准的表达式。 在实际应用中，比如解三角面积公式 $S = frac{1}{2}absin C$，要么求周长变化率，这个导数就派上用场了。
要是周长 $P = a+b+c$，而 $c$ 是 $C$ 的函数，那 $frac{dP}{dC}$ 就取决于上面那个导数。当 $C$ 变化时，$c$ 随之转变，整个三角形的形状在变，周长自然也在变。
这个变化率能够通过公式算出来。 比如当 $C$ 从 $30^circ$ 增添到 $45^circ$，边 $a=3, b=4$。先算 $C=30^circ$ 时的 $c$：$c = sqrt{9+16-24times frac{sqrt{3}}{2}} = sqrt{25-12sqrt{3}} approx sqrt{25-20.78} = sqrt{4.22} approx 2.05$。 再算 $C=45^circ$ 时的 $c$：$c = sqrt{9+16-24times frac{sqrt{2}}{2}} = sqrt{25-12sqrt{2}} approx sqrt{25-16.97} = sqrt{8.03} approx 2.83$。 $c$ 增添了大约 $0.78$。
那导数 $frac{dc}{dC}$ 是多少呢？用两点估摸：$(2.83 - 2.05) / (45-30) approx 0.78 / 15 approx 0.052$。 用公式算：$c approx 2.05$，$sin 30^circ = 0.5$，$sin 45^circ approx 0.707$。 $frac{dc}{dC} = frac{3times4times0.707}{2.05} approx frac{8.46}{2.05} approx 4.13$？
什么的，这里单位不对。$c$ 是长度，$C$ 是角度。导数的单位应当是长度/弧度。$2pi$ 弧度是 $2pi$ 吗？ $C$ 从 $30^circ$ 到 $45^circ$，转为弧度是 $0.5pi$。 $Delta c = 2.83 - 2.05 = 0.78$。 $frac{Delta c}{Delta C_{rad}} = 0.78 / (0.5pi) approx 0.78 / 1.57 approx 0.495$。 公式算出来 $frac{dc}{dC} = frac{absin C}{c}$。
这个 $C$ 是角度吗？ 啊，难题出在微分的时候。$C$ 应当是弧度制。$frac{d(cos C)}{dC_{rad}} = -sin C$。 故此 $frac{dc}{dC_{rad}} = frac{absin C}{c}$。 刚刚估算的导数是 $0.495$。 公式代入 $C=30^circ$（即 $pi/6$ rad）： $absin(pi/6) = 3times4times0.5 = 6$。 $c = sqrt{4.22} approx 2.05$。 $6 / 2.05 approx 2.93$。 这就对不上。
为啥？ 出于 $c$ 是 $C_{rad}$ 的函数。当 $C$ 从 $0$ 变到 $pi/6$，$c$ 从 $5$ 变到 $2.05$。 当 $C$ 从 $pi/6$ 变到 $pi/4$，$c$ 从 $2.05$ 变到 $2.83$。 我们刚刚用两点估摸 $frac{0.78}{pi/4 - pi/6} = frac{0.78}{pi/12} approx 0.78 times 3.96 approx 3.09$。 这和 $2.93$ 挺接近，误差是四舍五入造成的。 看来公式 $frac{dc}{dC} = frac{absin C}{c}$ 是对的，前提是 $C$ 务必是弧度。之前估算成 $30^circ$ 直接当数值用了，害得弧度数错了。 故此，记住这个公式，列函数，然后代入弧度制即可。余弦定理的导数看起来复杂，实际上本质就是一个好办的比例关系。分子代表角度的正弦，分母代表边长的乘积再除以边长。 最终再说说物理意义。三角形变化过程中，角 $C$ 变的时候，边 $c$ 如何变。
要是是锐角三角形，$C$ 增大，$c$ 会如何变？看上面的例子，$C$ 从 $30$ 到 $45$，$c$ 变大。
要是是钝角，比如 $C$ 从 $100^circ$ 变到 $120^circ$。 $a=3, b=4$，$C=100^circ$，$cos 100^circ approx -0.17$，$c^2 = 9+16 - 24(-0.17) = 25 + 4.08 = 29.08$，$c approx 5.39$。 $C=120^circ$，$cos 120^circ = -0.5$，$c^2 = 25+16 - 24(-0.5) = 41+12 = 53$，$c approx 7.28$。 还是变大？不对，$c^2$ 变小了？ $c^2 = 25+16-24cos C$。
要是 $C$ 变大（从 $100$ 到 $120$），$cos C$ 从 $-0.17$ 变到 $-0.5$。 $-24cos C$ 从 $-24(-0.17) approx 4.08$ 变到 $-24(-0.5) = 12$。 故此 $25+(-4.08) = 20.92$？不对，$c^2 = 25+16 - (-4.08) = 45.08$。 $c^2 = 25+16 - 24(-0.17) = 41 + 4.08 = 45.08$。 $C=120^circ$ 时，$c^2 = 25+16 - 24(-0.5) = 41 + 12 = 53$。 故此 $c$ 从 $5.39$ 变到 $7.28$，也是变大了。 这是如何回事？仿佛 $C$ 越大，$c$ 越大？ 等下，三角形中 $c$ 是最大边啊。 当 $C$ 从 $0$ 变到 $pi$。$c = sqrt{a^2+b^2-2abcos C}$。 $cos C$ 从 $1$ 变到 $-1$。 $-2abcos C$ 从 $-2ab(1) = -2ab$ 变到 $-2ab(-1) = 2ab$。 故此 $c^2$ 从 $a^2+b^2-2ab = (a-b)^2$ 变到 $a^2+b^2+2ab = (a+b)^2$。 $c$ 从 $|a-b|$ 变到 $a+b$。 确实是单调递增的。 那导数为啥是正的？出于 $sin C$ 在 $(0, pi)$ 都是正的。$c$ 也在 $(|a-b|, a+b)$ 区间。 故此导数 $frac{dc}{dC}$ 在整个 $(0, pi)$ 区间都是正的。 这意味着，只要角 $C$ 增添，边 $c$ 就一定增添。
这符合直觉吗？ 直角三角形中，$C=90^circ$，$cos C=0$，$c=sqrt{a^2+b^2}$。 锐角时，比如 $C=60^circ$，$c < sqrt{a^2+b^2}$。 钝角时，比如 $C=120^circ$，$c > sqrt{a^2+b^2}$。 故此 $C$ 增添，$c$ 增添。导数为正。 好，就这样吧。余弦定理求导的核心就是链式法则的应用，把 $c^2$ 和 $2abcos C$ 拆开来，利用三角函数求导的规则，最终合并整理。别看过程有一点点繁琐，但只要掌握公式 $frac{dc}{dC} = frac{absin C}{c}$，难题就迎刃而解了。
这也提醒我们，在解含有三角函数的方程要么求变化率时，一定要把角度统一成弧度制，不然结局全是错的。