如何证明动能定理-证明动能定理方法

实际上大量人一听到“动能定理”，脑子里立马蹦出个公式：$W = Delta E_k$，然后就去背那个“合外力做的功等于动能变化量”。
听起来挺高大上，对吧？但在实际生活中，我们极少直接如此干，而是得一个个找出弹力、摩擦力、重力、推力，算出每个力做的功，最终加起来才等于动能变了多少。
这操作确实繁琐，对吧？ 就拿那个电梯上升的例子来说吧。想象一下，你在电梯里上下移动，突然有人问：“你每小时能跑多少？”你得先搞清楚体重。
要是是大人，大约一百多斤，换算成千克就是 100 多。
然后你得知道电梯的速度。
要是一般/平平电梯，大约每秒几分，比如 1 秒跑 4 米。
这时候你想想，每小时跑 4 米，那就是每秒跑不到 0.5 米，也就是每秒 0.15 米。再乘以每秒的秒数，再乘以 3600 秒，最终乘上体重，哇，这个数字有个三四十。
要是有人跑，那就再乘个二三成。
总而言之，你得把上面的每一个数字都抠出来，最终算出结局。 再换个角度，比如你骑脚踏车。你把车停在原地，然后一脚油门踩到底。
这时候得先算车重。
一般家用脚踏车大约三十到四十五公斤，那把车就是个二十多公斤的物体。
接着算速度。你从静止没几秒钟就冲出去了，大约是每秒几米，比如 5 秒跑 20 米，那就是每秒 4 米。速度算出来了，然后算工夫，从静止到冲出去大约 5 秒。
最终，用质量乘以速度平方除以两，就是这个项目标动能。
别忘了，车还要受阻力，得算摩擦力和空气阻力。假设阻力是车重的百分之十，那每秒消耗的能量就是 20 乘以 10 再除以 2，等于 100 焦耳。
这数值真不小，相当于你每小时消耗掉的体力。 再来个更生活化的例子。
比如你去商场买东西。你推着购物车跑起来，那不算快，大约每秒 2 米，也就是每秒 1 公里。
这时候你得算车重，假设是 20 公斤。
然后算工夫，从启动跑到最终停下的工夫。假设你跑了 100 米，那就是 100 除以 2，等于 50 秒。
这跑起来也就 20 秒。
接着算动能。车重 20 乘上速度平方，再除以 2，就是 20 乘以 4 再除以 2，等于 40 焦耳。但这还没完，你得算摩擦力。购物车有轮子，和地接触会有摩擦，假设是车重的 15%。
那每秒消耗的能量就是 20 乘以 15 再除以 2，等于 150 焦耳。
这数值真恐怖，每秒就烧掉 150 焦耳。你每跑一趟，能跑多少米？假设你跑 5 秒，那就是 10 米。
那跑一趟总共消耗的能量就是 10 乘以 150，等于 1500 焦耳。 这 1500 焦耳是多少？你想想，相当于你爬一次三楼楼梯。
要是你身高一米六，体重七十五公斤，爬一次一般/平平三楼楼梯大约 15 米高。
那么你的重力势能增添了多少？就是体重乘以高度，再除以 2。75 乘以 15 再除以 2，等于 562.5 焦耳。
这就有点尴尬了，你跑一趟消耗的能量，比爬一次三楼楼梯还多，差不多是五倍。 再换个极端一点的例子，比如你开车跑陡坡。
这时候重力做负功，你得把动能削减。假设一辆车重 1000 千克，你在一个 10 度坡上跑。
这时候你得先算速度。你踩油门，每秒 3 米，也就是每秒 10.8 公里。
然后算工夫，从静止到冲出去 30 秒。
接着算动能。车重 1000 乘上速度平方，再除以 2，是 1000 乘以 115.2 再除以 2，等于 57600 焦耳。但这还没完，坡度影响了重力做的功。坡长 300 米，高度下降 10 米，重力做功等于重量乘以高度下降。1000 乘以 10，等于 10000 焦耳。但这还没算上坡度对动能的贡献。坡度害得的动能变化等于速度平方乘以坡长。30 乘以 30 再乘以 115.2，等于 10368 焦耳。最终算一下，合外力做的功等于动能变化量。57600 减 10368，等于 47232 焦耳。你跑了 300 米，消耗了 47232 焦耳。 这就有点吓人了。
你想想，地球表面每 10 米的高度，重力势能就是 98 焦耳。
故此 300 米的高度，重力势能就是 29400 焦耳。你跑一趟消耗的能量，比爬一次 300 米楼梯还多，是七倍呢。 故此，动能定理这东西，在书本上是个 neat 的公式，但放到真命人间，你得把每个力、每个速度、每个工夫都抓出来，一个个算，硬凑。
这过程确实累，但看着那个最终的数字，感觉还挺有意思的。