勾股定理背景-勾股定理背景

在两千五百年前的古埃及，他们面对的是两千多年来尚未被人类彻底解开的难题，那就是如何判断一块巨型的木桩是否确实直挺挺竖在土地上。 那时候的人们没有浮点运算，更不懂代数符号，但他们知道勾股定理，只是用石头和绳子做加法。有个叫希帕索斯的古希腊人，他是个“怪人”，出于他的老师说“天圆地方”，他却是开方的人。
后来他做了一个梦，梦见有人在用绳子围地。他把绳子分成三段，长度分别是 3 倍、4 倍和 5 倍。他在地上画了个圈，把一段绳子卷起来，另一段放在地上，最终把两根垂下来的绳子拉直。神奇的是，这两段绳子正好能勾住那个 5 倍的圈，拉到同一高度。 这就不是巧合，这真是一个奇迹。
这个 3、4、5 的组合忒显眼了，如何不让人想到勾股定理？古希腊人发现，只要把这三段绳子拉直，它们之间就垂直相交。
这个定理的名字叫“勾股定理”，要么说“毕达哥拉斯定理”。它的意思是，在一个直角三角形里，要是两条直角边的长度是 3 和 4，那么斜边的长度就是 5。
反过来，要是斜边是 5，直角边要是 3 和 4，那这个三角形肯定是个直角三角形。 这个定理忒有意思了，出于它藏着一种数学的优雅。它不靠视觉判断，也不靠测量，只需求算两个数，就能知道一个角是不是直角。
这就像我们在玩积木。你有一堆长方形的积木块，每块都是长方形。你随意挑两个积木，拼在一起，要是拼出来的角是直角，那它们之间就有某种联系。 让我们换个角度想想，不用尺子。 想象一下，你手里拿着一张画好的直角三角形纸片。你的任务是把这块纸片切开，切成两半，看看切的位置能不能让剩下的两局部彻底重合。 如何切呢？先在纸片上量一下直角边。一条边是 3 厘米，另一条边是 4 厘米。
然后拿一把剪刀，沿着直角边切开。 当你把这两块拼在一起时，你会发现它们严丝合缝。
这没错，出于根据勾股定理，斜边确实是 5 厘米长。 但更有趣的是，要是你把这张直角三角形纸片对折，你会发现折痕和哪位平行？折痕和另一条直角边垂直。
这说明啥？说明两条直角边垂直。 这就好比你在泥地里种白菜。你挖坑，把三块小白菜放进去。 第一块，你把它种在坑的左下角，标记为点 A。 第二块，你把它种在坑的右下角，标记为点 B。 第三块，你把它种在坑的中间，靠近坑壁，但略微往旁边挪了一点，标记为点 C。 目前，你站在坑口上看，认定这三块白菜都种在一条直线上。你认定这是好事，出于它们应当连成一条直线，形成一个连续的地面。 可是，要是你用一块长方形的板子盖住坑口，从点 A 到点 C，这个距离正好是 4 米。从点 C 到点 B，这个距离正好是 3 米。
那么，从点 A 到点 B，这个距离应当是 4+3=7 米。
可是，你只是挖了一个 7 米长的坑。 这时候，难题来了。坑里插着两块白菜，它们之间的距离是多少？ 要是你照搬勾股定理，算一下，A 到 B 的距离应当是根号下（3 的平方加 4 的平方），也就是 5 米。 可是，坑里实际种的第二块白菜 C，距离 A 点有 4 米，距离 B 点有 3 米，那 C 点应当是 4+3=7 米的位置。 这就矛盾了。
要是坑里只有 A 和 B 两棵白菜，它们之间的距离是 5 米，那 C 棵白菜就不应当在坑里。但要是坑里真有 C 棵白菜，那 A 和 B 两棵白菜之间的距离就是 7 米，那勾股定理就不成立了。 这里有两个可能性。
要么坑没挖深，坑边缘接了水泥；要么坑里不止 A、B 两棵白菜，中间还藏着一棵。 要是你发现坑里确实有四棵白菜，那说明坑被截断了。
要么，更可能的是，你刚刚量错了。 或许你量的是斜边？对，量的是斜边 5 米。
那么你的直角边应当是 3 米和 4 米。拼起来正好是 7 米。 故此，结论是：那个坑的周长是 7 米。坑的深度是 5 米。坑里的白菜 A 和 B 之间距离是 5 米。 这个故事告诉我们，勾股定理本质上是一种“拼图”。
要是你知道了一个直角三角形的两条直角边，你就知道斜边是多少。
要是你知道斜边，也知道其中一条直角边，你就知道另一条直角边。 你能够往纸上画个直角三角形。 画一个直角，用尺子量一下直角边。一条边是 1 厘米，另一条边是 2 厘米。 然后，拿个圆规，定直径为 3 厘米。以直角顶点为圆心，3 厘米为半径画弧。 这一划，就把 1 厘米和 2 厘米的直角边都“吞”进去了。 这时候，弧的终点距离直角顶点的距离就是 3 厘米。 这就验证了勾股定理：3 等于 1 加 2，也等于根号下（1 的平方加 2 的平方）。 这个定理的魅力在于它的普适性。
不管你是画在纸上，还是画在天圆方那个木桩上，只要它是直角三角形，这个关系就一辈子成立。 早在公元前 600 年，古美巴尼人就已经知道这个定理了。他们就连用它来分割八角形。一个八边形的中心角是 45 度。
要是你取一个边长为 1 的菱形，把它分成两个等腰直角三角形，每个三角形就是 45-45-90。 这个定理是数学皇冠上的明珠。它让人类从“推测”走向了“证明”。
那会儿人们是靠经验，认定 3、4、5 是个巧合。
后来，毕达哥拉斯发现，这个巧合不是巧合，而是一种根本的规律。 这就像是你看到一块蛋糕，你认定它甜。
后来你发现，只要切一刀，刚好切出 3 块和 4 块，那剩下的就是 5 块。 这就挺有趣了。数学有时候就是玩游戏。玩拼图，玩直角，玩勾股。 你不用特别的工具，不用复杂的计算，只需求两个数，就能知道第三个数。 3 和 4，勾股定理告诉你，斜边是 5。 这真是一个简洁得让人想哭的结论。 在古埃及，他们靠这根绳子围地，靠这块木板盖坑，靠这个定理判断木头是不是直。 而我们，今天依然用这个定理去测量屏幕的宽度，去计算房子/屋的面积，去设计桥梁的跨度。 只要人类还在做梦，这个定理就存有。
只要人类还在用绳子去勾，这个定理就一辈子年轻。 这大约就是数学最浪漫的地方吧。把三个好办的数字，组合成一条优美的直线，然后说，你看，这就是真理。 不用质疑，不用证明，这已经是绝对的了。