一致连续性定理练习题-一致连续性练习题

一致连续性定理的现场复盘：当函数在一点发疯时 想象一下，你在看一块画在画布上的油画。
那会儿，只要那个局部区域里的颜色深浅略微有点波动，你肯定认定这画得不够平滑，就连有点跳，便你会专门找几个点，把颜色眯成一样的，再找几个点，把颜色眯成不一样的，连起来看，发现这里实际上挺连贯的，算是一个“一致”的。但这有个前提，就是那一大块区域得不能忒乱，务必整体看着凑合。 这就是所谓的 $epsilon$-$delta$ 语言里的“一致”，它是对局部稳定性的一种确认。你去拿尺子量这个局部，发现误差范围 $epsilon$ 是确定的，说明这局部确实稳定。
可是，要是这个局部本身是个黑洞，要么是个无穷大的怪兽，那尺子再长也量不准。
这时候，你就会发现，任何一个 $delta$ 都显得有点小，哪怕你把 $delta$ 取成 $1000$ 倍，还是量不准。
这就是题目里常考的那个坑：局部稳定，整体却崩了。 我们看看函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的极限。根据一阶导数定义，当 $x$ 接近 $x_0$ 时，$f(x)$ 的增量能够写成 $f'(x_0)(x-x_0) + o(x-x_0)$。
这就好比你在做微积分题时，把增量拆解成了两局部。
那一局部就是 $f'(x_0)(x-x_0)$，它有明确的线性增长，随着 $x$ 变近，误差也会缩小，这是应当的，不需求额外揪心。 真正费事的是那一局部 $o(x-x_0)$。
这个记号意思是“高阶无穷小”，听起来挺复杂，有点像作诗里的乱码。但在做题时，它实际上就代表“任意细小的量”。
比如你是求 $lim_{x to 0} frac{sin x}{x}$，$sin x$ 在 $x=0$ 附近是个完美的圆滑函数，误差能够做得挺小。但要是是 $lim_{x to infty} frac{1}{x} sin x$，情况就彻底不同了！
注意，这里不是 $x$ 去接近 $0$，而是 $x$ 直接跑向无穷大。
这时候，你拎出一个 $x$，比如 $x = 1$，算出来的 $frac{sin 1}{1}$ 是个固定值；再拎出 $x = 100$，算出来又是另一个值。
这些值可能忽高忽低，就连无穷大。当你试图用 $delta$ 去管住这个“不定量”的时候，你会发现，甭管你设 $delta$ 多小，那个 $sin x$ 项在无穷远处都维持着它的震荡，无法被一个固定的线性项 $o(x-x_0)$ 所驯服。 这就引出了那个反直觉的情况：局部看起来是好的，到了无穷远，却如何也“一致”不起来。 为了搞清楚到底是如何回事，我们不妨拿一个具体的例子来做。寻思函数 $f(x) = frac{sin x}{x}$。
这个函数在 $x=0$ 处是未定义的，故此聊聊极限得看它如何趋近于 $0$。当 $x$ 从正无穷大方向趋近于 $0$ 时，即 $x to 0^+$。 假设我们要证明 $lim_{x to 0^+} frac{sin x}{x}$ 存有且等于 $1$。我们一般用的是夹逼定理。知道 $frac{1}{2} < frac{sin x}{x} < 1$ 这个不等式恒成立就够了。
既然上下界都是常数，那自然夹得住了，不需求去管中间那个震荡是如何形成的。 那要是用导数定义呢？导数定义要求的是局部一致。但在 $x to 0^+$ 这个区域里，函数是光滑连续的，处处可导，局部自然是一致连续的。
这局部的逻辑是通顺的，没有毛病。 可是，要是你换一种思路，非要强行用 $epsilon-delta$ 的完备性去套，要么在无穷远处强行强行定义，就会露馅。 看这个函数：$f(x) = frac{1}{x}$。在 $x=1$ 处，导数显然是 $-1$，局部行为彻底正常。可一旦 $x$ 变成 $100$，导数就是 $-0.01$。
哪怕你找到 $x$ 贼接近 $1$，比如 $x=1.00001$，导数就已经离谱地变成 $-10000$ 了。
这种“局部剧烈变化”是导数存有时绝对不准出现的。
要是函数在 $x=1$ 处导数连续，那它在 $1$ 的某个邻域内，导数变化务必是有界的。 我们再来看原题语境。题目一般是问某个极限是否存有，要么某个性质是否成立。假设我们有一个函数，它在 $x_0$ 处导数连续，这意味着它在 $x_0$ 的某邻域内是对的。但要是在无穷远处出现“一致性难题”，那就说明整个函数在无穷远处是“不一致连续”的，也就是不连续的。 举个反例：函数 $f(x) = frac{sin x}{x}$ 在 $x to 0$ 时，别看局部光滑，但在 $x to infty$ 时，$frac{sin x}{x}$ 并没有趋近于一个确定的值（别看它是趋近于 $0$ 的，但这个过程在无穷远处是有难题的，出于震荡幅度不再随距离衰减，而是保持在 $1$ 级别）。 在这里，你需求区分“局部”和“整体（或无穷远）”的区别。局部里，只要 $epsilon$ 充足小，总能找到 $delta$ 让函数波动不超过 $epsilon$。
这是局部稳定性的定义。但要是是无穷远处的极限，情况就变了。 比如，寻思函数 $f(x) = sin x$。它在任何一点，比如 $x=0$，都是连续。但要是我们说它在无穷远处一致收敛到某个常数，那是不可能的，出于 $sin x$ 在任意区间内都震荡 $[-1, 1]$。 回到做题场景。当你遇到“在 $x to 0^+$ 时求极限”这类题，你应当关切的是函数值趋近于啥，而不是关切函数在整个定义域上是否“一致”。在 $x to 0^+$ 这个局部范围内，函数是光滑的，导数存有且连续，局部性质完美。 但要是你是在问“在整个实数轴上是否一致连续”，那答案绝对是否定的。出于 $frac{sin x}{x}$ 在无穷远处，别看数值趋近于 $0$，但它不是由线性项主导的，它包含了非线性的振荡局部。当 $x$ 越大，这个振荡的幅度别看被 $x$ 除得越来越小（趋于 0），但在任何固定的 $delta$ 内，总存有充足大的 $x$，使得函数值在 $delta$ 范围内波动超过 $epsilon$。
这是由振荡项 $o(x)$ 在无穷远处的表现拍板的。 故此，做题时的套路实际上是这样的：要是题目设定的是局部极限（比如 $x to a$），那么只要函数在该点可导或连续，局部就是一致连续的，难题就解决了一半。
要是题目问的是广义的连续性要么涉及无穷远点的性质，那你就要警惕。 大量时候，题目会给你两个条件：一个是函数在 $x_0$ 处导数连续（保证局部没难题），另一个是某个函数在无穷远处表现出某种性质（比如单调且趋于 0）。
这时候，你需求判断：这种“趋于 0"是简直一致的吗？ 比如，$f(x) = frac{1}{x}$ 在 $x to infty$ 时。局部（比如 $x ge 1$）是一致连续的，出于这里导数是 $-1/x^2$，是连续函数，局部性质好。但要是你强行要求它在无穷远处的一致收敛，那就费事了，出于 $1/x$ 的震荡（要是有的话）要么它的非线性质，在无穷远处无法被一个固定的 $epsilon$ 管住在有限的 $delta$ 内。 ，你就明白为啥这道题会纠结于此了。它不是在问一个局部光滑的函数到底好不好，而是在问：当你在无穷远处，那个看似完美的局部稳定性，到底能否支撑起整体的收敛？要是答案是肯定的，那一切无妨；要是答案是负面的，那就是出于那局部 $o(x)$ 在无穷远处表现出了不可控的震荡或发散趋势，进而破坏了整体的“一致”性。 在实际做题中，要是遇到关于渐近线的聊聊，要么涉及无穷远处的极限，一辈子不要只盯着局部的导数是否连续看。要多留意那个 $o(x)$ 在无穷远处的表现。
要是那个余项无法随着 $x$ 的增大而快速衰减，那么整体的一致性就荡然无存。
这就是数学分析里最微妙、也最常被学生忽略的陷阱。