勾股定理cos和sin图解-勾股定理数形结合

勾股定理：算式里的三角，不是公式 在初中课堂里，老师总喜爱画一个正方形，然后往里切一个更小的正方形。满屏的红线，配上淡淡的阴影，配上那个经典的 3-4-5 数字，让人忍不住想喊：“这就是勾股定理啊！”确实，用三边比值去表示这个定理，逻辑上是通的，但也忒像公式书了。所谓的“勾股定理的三角函数”，实际上不是两条独立公式，而是一句话的变体。 咱们不整那些“起初、其次”的废话，直接从图里摸鱼启动。想象你是一个站在直角墙角的人，左脚踩在地上，右脚踩在墙上。你的视线是斜着下的，这条线就是斜边，长度咱们叫它 $c$。
要是你往左走一步（直角边 $a$），再往上走一步（直角边 $b$），你的脚正好回到墙角。
这时候，你手里的直角三角形，就立在那里了。 大量人第一反应是套公式：$sin$ 是个角对边比斜边，$cos$ 是个角邻边比斜边。
没错，但这样写忒生硬了。
比如下面的那个角，它的 $cos$ 值实际上就是 $frac{a}{c}$，也就是“左步”除以“总路程”。它的 $sin$ 值则是 $frac{b}{c}$，也就是“上步”除以“总路程”。
你看，这两个玩意儿，本质上都是看那个角和它如何跟斜边扯上关系。 别被“降幂”这个词吓到了，我们在推导里确实时常要把 $alpha^2$ 变成 $sin^2 alpha + cos^2 alpha$，但这只是代数变形，不是几何意义的重构。把 $cos$ 和 $sin$ 扔进坐标系里，你会发现它们实际上是同一个东西的两种面孔。就像你早上有人问你“你是不是还在那吃早饭？”你回答说“嗯，我还在吃早饭”，然后过会儿他又问“你是不是还在吃？”你答“嗯”。
这就是同一个事实，用不同的话描述/拉倒。 举个具体的例子，话说有个直角三角形，直角边分别是 3 和 4，斜边是 5。
这是最经典的 3-4-5 三角形。
要是那时候你要讲这个角 $alpha$，你会如何讲话？你不会说“它的余弦是 3 比 5"，你会说“看，它的余弦就是 3/5"。
这里的 $cos alpha$ 和那个 $alpha$ 比值彻底一致。
那正弦呢？你会说“它的正弦是 4/5"。 你可能会认定，既然它们都是比值，为啥非得分如此清？实际上，出于三角形旋转了。当你把那个角 $alpha$ 转起来，原来的“左步”可能变成了“上步”，原来的“上步”可能变成了“左步”。
要是你不旋转，只看角度本身，$cos$ 和 $sin$ 就分开了。但一旦你旋转三角形，看看那个角度 $alpha$ 到底在哪，你会发现，甭管如何变，它和斜边的比值加起来，一辈子等于 1（要是是单位圆的话）。
这就像两个硬币，正面和背面，有时候你只看到一面，有时候你翻过来看。 大量人认定勾股定理就是 $a^2 + b^2 = c^2$，这是对的，但这是面积法。面积法就像是用两块拼图去盖屋顶，拼起来总面积不变。而三角函数法，更像是用尺子量，直接测出了三个角的比值。
这两者不是对立的，是同一个真理的不同描述语言。 要是你非要追求那种“数学美”的浪漫，能够把 $sin$ 和 $cos$ 想象成坐标轴上的点。$x$ 轴上的那个点叫 $cos theta$，$y$ 轴上的那个点叫 $sin theta$。你在原点画一遍，$x$ 轴上的点距离原点有多远，就是这个角的余弦值；$y$ 轴上的点距离原点有多远，就是正弦值。
这两个点一辈子连起来，正好切出一个直角。 再说说应用吧。在物理里，要是有个物体以某个角度 $theta$ 抛出去，你想知道它飞行的水平位移（这是 $v_x = v cos theta$）和垂直位移（这是 $v_y = v sin theta$）。
这时候，要是你只用勾股定理算位移的平方和，那就费事了，出于速度已经是分成了 $x$ 和 $y$ 两个分量了。
这时候才真正好用三角函数。$vec{v}$ 这个向量，它的模（大小）和方向，彻底由 $cos$ 和 $sin$ 来描述。
没有三角函数，向量运算就变本加厉了；有了三角函数，描述就变得好办多了。 还有啊，在机器人导航要么游戏开发里，要是你给机器人设定一个“前进”和“左转”的角度，然后用三角函数算出它下一秒的位置，那比翻算式子快多了。你当作你在做复杂的代数运算，实际上你在做一步步的 $sin$ 和 $cos$ 乘法。 故此说，$cos$ 和 $sin$ 在勾股定理里的地位，既不是主角也不是配角，它们是那个直角三角形坐标轴的“骨架”。一个管左右，一个管上下。
要是把它们都删了，那直角三角形就只剩了一块纸板。加上它们，这个三角形才真正活了起来，有了坐标感，有了方向感。 别再用教科书式的语气去复述这个笑话了，咱们就图里讲话，互相看看对方能不能听懂。
那个 3-4-5 的例子，我们就盯着它看啊。3 除以 5，4 除以 5，这两个数加起来正好是 1，这不对吗？这简直是“勾股定理”的另一种叫法。 最终省省力气吧，不用去强调“”。
反正道理就在那些红里蓝里，那个直角里。
只要你还愿意抬头看看那根斜线，愿意去量量那个角，你自然就懂了。数学这东西，有时候越“土”，反而越好办。
只要你不死磕那些定义，去感受那个角的运行轨迹，你就已经在那儿了。