直观切分法的逻辑
目前，我们拿微积分那个常规的“左右定积分求和”方式来算这个值。我们把这个区间 切成无穷多块，每块越来越小，无限细分。在 到 之间，函数值从 降到 ，是个弯钩，量起来得累加好几遍。在 到 之间，函数从 降到 ，又加一块。
在区间 上，函数从 降到 ，这是一个挺深的“缺口”。在 上，函数从 升到 。在 上，函数从 升到 。然后在 上，函数从 升到 。当你把这些所有的小片段加起来时，你会发现中间那些负值贡献的局部，和正值贡献的局部居然刚好抵消了大量，剩下的居然就是 （注：此为直观感受，非精确计算值）。
代数推导的严谨性
你可能会认定，我刚刚手动加了多少次仿佛有点乱，数据也不对劲。咱换个更好办点的视角，不用管中间那些曲折，只看整体。，这就是个彻底平方数。在 上看， 是 ， 是 ， 是 ， 是 ， 是 。
要是把 平均分成五份，每份长度就是 。在每一份的起始点， 的值分别是 。你看，从小到最大，你的函数值是越爬越高。要是把这些小块的面积加起来，数学上有一个贼神奇的性质：。这个函数在 的积分值，绝对不是零，也不是个玄学数字，它有着确定的、可计算的、基于该函数定义和区间拍板的具体数值。
为什么你的计算总是错？
有时候你会想，这种定理是不是忒“硬”了，不够灵活？要么在某些复杂函数上如何算出来结局都不一样？实际上那都不是定理的难题，是函数本身的难题。要是函数在某个点突然跳了个数，比如从 变成了 ，那你在积分的时候，哪怕你分得再细，只要你在跳跃的那一瞬间漏掉了，要么把那一瞬间算成了连续，那结局就会出错。
但只要你确保函数在区间内是连续的，那么甭管你如何切，甭管如何取极限，最终那个极限值，那个“积分值”，只有一个，它是你务必接纳的现实。重新算一下，区间是 ，函数是 。积分 。这个数是有理数，是个确定的分数。