步骤1：求导
$f'(x) = 3x^2$，令 $f'(x)=0$，得驻点 $x=0$。

步骤2：判断极值
当 $x<0$ 时，$f'(x)=3x^2>0$；当 $x>0$ 时，$f'(x)=3x^2>0$。
导数在 $x=0$ 两侧符号不变（均为正），函数在 $mathbb{R}$ 上单调递增，故 $x=0$ 不是极值点。

结论：$x=0$ 是驻点，但不是极值点——此例直接验证了高数上费马定理-高数费马定理的“必要非充分”性。

步骤1：求一阶导数
$f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 2ax = 2x(2x^2 - 6x + a)$

步骤2：求驻点
令 $f'(x)=0$，解得 $x=0$ 或 $2x^2 - 6x + a = 0$。
二次方程判别式 $Delta = 36 - 8a$：

• 当 $a < frac{9}{2}$ 时，$Delta > 0$，有两个异实根 $x_1, x_2$（$x_1 < x_2$）；
• 当 $a = frac{9}{2}$ 时，$Delta = 0$，有重根 $x = frac{3}{2}$；
• 当 $a > frac{9}{2}$ 时，$Delta < 0$，无实根。

步骤3：用高数上费马定理-高数费马定理筛选极值候选点
对每个驻点，考察导数符号变化：

• $x=0$ 处：
  $f'(x) = 2x cdot g(x)$，当 $x$ 从左到右穿过 0 时，$2x$ 由负变正；若 $g(0)=a>0$，则 $g(x)$ 在 $x=0$ 附近为正，故 $f'(x)$ 由负变正 → $x=0$ 为极小值点；
  若 $a<0$，则 $g(x)$ 在 $x=0$ 附近为负，$f'(x)$ 由正变负 → $x=0$ 为极大值点。
• $x=x_1$ 处（$x_1 < x_2$）：
  二次函数 $2x^2 - 6x + a$ 开口向上，故在 $x_1$ 左侧为正，右侧为负 → $f'(x)$ 由正变负 → 极大值点。
• $x=x_2$ 处：
  在 $x_2$ 左侧为负，右侧为正 → $f'(x)$ 由负变正 → 极小值点。

特殊情形 $a = frac{9}{2}$：
此时 $f'(x) = 2x cdot 2(x - frac{3}{2})^2 = 4x(x - frac{3}{2})^2$。
分析符号：当 $x<0$ 时 $f'(x)<0$；当 $00$；当 $x>frac{3}{2}$ 时 $f'(x)>0$。
故 $x=0$ 为极小值点，$x=frac{3}{2}$ 处导数为零但符号不变（从正到正）→ 非极值点。

步骤1：定义域
$f(x) = x^{frac{2}{3}}(x-2)$，定义域为 $mathbb{R}$。

步骤2：求导（注意不可导点）
$f'(x) = frac{2}{3}x^{-frac{1}{3}}(x-2) + x^{frac{2}{3}} cdot 1 = x^{-frac{1}{3}} left[ frac{2}{3}(x-2) + x right] = x^{-frac{1}{3}} cdot frac{5x - 4}{3}$

当 $x=0$ 时，$x^{-frac{1}{3}}$ 无定义 → $x=0$ 是不可导点。

步骤3：列驻点与不可导点
令 $f'(x)=0$，得 $5x-4=0$ → $x=frac{4}{5}$；
不可导点：$x=0$。
候选点：$x=0$ 和 $x=frac{4}{5}$。

步骤4：用符号法分析
$f'(x) = frac{5x-4}{3x^{frac{1}{3}}}$，分区间讨论：

结论：
$x=0$ 处：$f'(x)$ 由正变负 → 极大值点；
$x=frac{4}{5}$ 处：$f'(x)$ 由负变正 → 极小值点。
注意：$x=0$ 是不可导点，但高数上费马定理-高数费马定理不适用，需单独处理。

设需求函数 $p = 100 - 2q$，成本函数 $C(q) = 20q + 50$。
收入 $R(q) = p cdot q = 100q - 2q^2$，
利润 $pi(q) = R(q) - C(q) = (100q - 2q^2) - (20q + 50) = 80q - 2q^2 - 50$。
令 $pi'(q) = 80 - 4q = 0$，得 $q=20$。
$pi''(q) = -4 < 0$，故 $q=20$ 为利润最大点，此时价格 $p=100-40=60$。