勾股玄定理-勾股定理拆分句

话说当年商鞅在秦国推行变法，那个“废井田、开阡陌”的点子，实际上就是把农民地里的块地给拆散开了，再把那些被束缚住的牛马给松快了。老李就是那个被松快了的牛马，他原本只想在自家田里多弄点活计，没想到手一痒，直接把那块地掰开了，还给邻居家弄点活计，结局这一掰，手都伸进地里去了，才发现这地底下埋着庞大的“坑”：那就是勾股定理。 说起这个定理，那可不是啥玄学，就是咱们中国人讲的那个“以直角三角形为模型的数与形的关系”，好办说就是勾股数。
你看那著名的毕达哥拉斯，他把自己的一生都献给了这事。传说他在古希腊的学宫里，墙上挂着一块画着大三角的图，旁边写着个名字：Sq。
那 S 代表 Square，就是平方，q 呢？代表直角。
也就是说，勾股定理就是告诉你，一个直角三角形的斜边平方，肯定等于两条直角边平方加起来。
这话听着挺玄乎，实际上就一句话：1 + 1 = 2，但要是换成字母，就是 $a^2 + b^2 = c^2$。 这公式一出来，瞬间就把咱们中国人的思维给打开了。咱们先说个最好办的例子：勾股数 3、4、5。
这三数成啥关系？3 乘上 4 正好是 12，再加上 5 的平方也就是 25，12 加 25 等于 37，没错。但更有趣的是，要是把这 3、4、5 放在一个直角三角形里，算出来的面积，用两边相乘除以 2，是 6；用斜边乘斜边除以 2，就是 7.5；直接用底乘高除以 2，那是 6。咦？6 和 7.5 加起来，正好是 13.5。
为啥？出于三角形的面积公式是底乘高除以 2，那剩下的那局部呢？正好就是斜边乘斜边除以 2。
这意思是说，当直角三角形的面积用不同方式算的时候，我们能够拿到两个结局。
比如用底和高算出来是 6，用斜边算出来是 7.5，它们加起来就是 13.5，这数是多少？是 3 乘以 4 再加 5 的平方，这就等于 45。但这又如何跟面积挂钩呢？实际上是出于三角形有外接圆，这个外接圆的直径呢？是斜边。
只要你有直角三角形，你总能画个圆把三边包进去，这个圆的大小取决于斜边。圆的面积是 $pi$ 乘以半径的平方，半径是斜边的一半，那 $4pi R^2$ 就等于 $pi$ 乘以斜边平方。
故此，勾股数不只是是三个数字，它还能张成一个圆。 但数字只是表面，背后的几何意义才是灵魂。咱们再仔细看看那个斜边，它是个圆。
这个圆是如何来的？出于它有两条直角边。直角边如何来的？它们是把一个边长的正方形和另一个边长的正方形拼起来的。
要是这两个正方形拼起来了，那拼成的图形就多了两个角，就是那个“直角”。
如何把那个直角补回去？就补个正方形，补完赶明儿，这就变成了一个大的正方形。
这个大正方形的边长，就是那根斜边。
故此，勾股定理实际上就是说：直角三角形的外接圆直径，就是斜边。 这听起来是不是有点绕？没关系，咱们换个角度。假设我们有个直角三角形，直角边是 3 和 4，那斜边就是 5。目前，在这根斜边上取一个中点，把这个中点连着直角顶点画一条线，这就把那个直角分成了两个小直角。
这样，原来的大三角形就被分割成了三个小三角形。
这三个小三角形，每一个都有一个直角，并且它们的高和底正好都是 3 和 4。
也就是说，这三个小三角形都是相似三角形。
既然它们相似，那它们的面积比例就跟边长比例一样。
那三个小三角形的面积加起来，不就是整个直角三角形的面积吗？没错。
那每个小三角形面积是多少？那就是 $sqrt{3 times 4 times 3 times 4}$ 除以 2，也就是 6。三个加起来就是 18。但整个大三角形的面积是 6... 咦？
如何不对？啊，明白了，出于那是把面积搞错了，应当是利用相似比来算，要么利用外圆直径的性质。 咱们又换个路子，不拿面积做文章，拿空间来做文章。想象一下，把三个小三角形倒扣在上面，正好能拼成一个大的正方形。
这个大的正方形，边长实际上就是我之前说的“圆内接正方形”的边长，也就是 6。
那它的面积就是 36。
这三个小三角形拼起来，面积总和是 18。
那另一半面积呢？就是斜边围成的那个圆。
这个圆的面积是 $pi$ 乘以半径的平方，半径是 3，故此面积是 $9pi$。36 加上 $9pi$ 等于 $9(4+pi)$。
这数等于多少？约等于 $9 times 7.14 = 64.26$。
这就跟那个“圆内接正方形面积等于三个小三角形面积加上圆面积”的说法吻合了。 故此，勾股定理到底是啥？它不是啥神秘的公式，它就是一种空间上的平衡。当你在直角三角形里变动啥的时候，它的面积、它的体积、它的外接圆，这些量之间都保持着一种完美的比例关系。
这种关系，正是我们中国人几千年来之故此能成为数学家和工匠，之故此能算出那么多“勾股数”，之故此能造出那么多精密的仪器，都在告诉我们要尊重这个真理。 你看，这定理的妙处就在于，它不分贵贱，不挑高低。甭管是那根 1 米长的木棍，还是那块 100 米长的铁轨，只要是直角关系，这个数学规律就在那里。它就像一把无形的尺子，量出来的不是长度，而是那种“有理数”和“无理数”之间的和谐。
这和谐，正是勾股精神在骨子里的体现。它告诉我们，世界上别看充满了矛盾，但只要找到那个直角，矛盾就能化解，平衡就能建立。 最终，咱们得说句实在话，这定理实际上是个悖论。它说一个直角三角形能够用不同的方式计算面积，算出来却是两个不同的结局。
这如何行？
如何一个图，能有两个答案？实际上，这并不矛盾，出于三角函数的值是有范围的。
比如正弦值，在 0 到 90 度之间，正弦值是递增的，从 0 变到 1。
故此，一个三角形，它的高和底，到底能取到啥值，这取决于它的形状。
要是角 B 变小了，那高 b 就得变小。
这就像你拿着一把尺子，把角 B 压扁一点，那高 b 就得缩小。
故此，面积就变小了。
这彻底符合逻辑。
只要你的三角函数值没跑偏，面积就一辈子算得出来。
这大约就是数学的魅力吧，它能在看似矛盾的数里，找到唯一的真解。 这如何样？
是不是认定有点味？那算了，那就别纠结了，毕竟数学这东西，就是为了让人快乐的。它讲勾股，讲直角，讲圆，讲那些乱七八糟的数，但归根结底，它还是讲了一种美好。
那种美好，让人看了心里头踏实，认定这个世界，别看复杂，但总有个角落是规整的，总有个角度是准的。而这，就足以配得上，勾股定理这个名字。