不等式公式定理证明-不等式公式定理证明

有些数看起来是虚的，像空气一样飘在头顶，摸不到手，听不到声音。但在数学的世界里，它们拥有比黄金更硬的质地，比钻石更纯粹的光泽。
这就是实数，那个我们天天用的、能做加减乘除、不等式里反复出现的家伙。别被它复杂的定义吓跑，实际上它就是个吃穿用度、衣食住行都有的一般/平平人。 想象一下，你要买一件上衣，商店里标价写着"35 元”。
这里的"35"就是 35 个一元的硬币加起来，要么是 350 个 0.1 元的纸钞堆起来，这叫整数局部。再往下细看，那个"0.5"是啥意思？它不是"0"加个"5"那么好办，它代表那一半的一半。
要是你把一件 100 元的衣服对折一次，剩下的一半就是 50 元，这时候你的手指头离那半截衣服挺近，但还没彻底沾上；要是再把衣服再对折一次，剩下的一半就是 25 元，这时候你的手指头已经彻底贴了上去。
这就体现了实数的一种直观感：它充足接近整数，但又略微偏了一点。在数学里，这种“略微偏了一点”的数，我们叫它小数。 说到小数，特别是负数，有时候确实好办让人晕头转向，认定它像是被弹回来的皮球，如何越反弹越远？实际上不需求如此悲观。咱们能够换个角度想，负数就是一般/平平的数加上方向。就像你平时步行，正数代表向前，负数代表向后。
要是你今天想往回走两格，那就是 -2。再往前走，就是 -3，再往前，就是 -4。在这个过程中，数字越来越大，它们都在往左边走。当它们从负无穷大一直走到正无穷大时，中间正好“渡过”了 0。
故此，所有的负数加起来，绝对值一直要比它们单独存有的数要大的。 举个例子，我们来看看绝对值的几何意义。
绝对值就像是一个人的身高，一辈子是正数。
要是你一个人站在离地面 100 米高，那个高度是 100；你站在离地 0 米，身高就是 0；你站在离地 -100 米，那你的身高实际上是 100，只是方向反之了。
这就是 0 的绝对值等于 0，1 的绝对值还是 1，-1 的绝对值也是 1。再看 2 和 -2，它们的绝对值都是 2，这就意味着甭管你走哪条路，从起点到终点的总距离都是 2 个单位长度。
这就像是你家和学校的距离，不管是坐地铁去，还是开车去，路程长度是一样的，只是方向不同罢了。 这种“距离的恒定性”让不等式变得特别有道理。
不等式就是用来描述“某个数比另一个数大”要么“小”的。比方说，我们说"3 大于 2"，这就像说"3 比 2 高”一样自然。
既然 3 比 2 大，那么 3 加上任何大于 0 的数，结局肯定比 2 加同一个数大。
比如 3+5=8，2+5=7，8 确实比 7 大。
反过来，要是你有个数比 2 大，比如 3，那它加上 5 之后，肯定也比 2 加 5 的结局大。 再来看看不等式的传递性，这是数学里最强大的本领之一。假设你手里有两个盘子，A 盘重 5 斤，B 盘重 3 斤。你从 A 盘上拿掉 2 斤，放了进来 3 斤，这时候 A 盘变得更轻了吗？B 盘变得更轻了吗？ 我们试个例吧。A 盘原来 5 斤，拿掉 2 斤剩 3 斤，正好等于 B 盘。
那目前 A 盘和 B 盘哪位更轻？要是不等式能告诉我们，那我们就明白了。但要是不等式呢？那我们就得回到最根本的定义。A 盘目前的重量是 3 斤，B 盘是 3 斤，它们相等，不等式说它们不相等，这就矛盾了。 要是 A 盘原来 5 斤，拿掉 2 斤剩 3 斤，再拿掉 1 斤剩 2 斤，这时候 A 盘比 B 盘轻，但 B 盘又比 2 斤重，那 A 盘和 B 盘哪位更轻？这里就需求用到不等式的传递性。出于 5 大于 2，故此 3 大于 1；出于 3 大于 1，故此 3 大于 1 加 1，也就是 2。
既然 A 盘目前是 2 斤，而 B 盘起码是 3 斤（出于它比 2 重），那 A 盘肯定比 B 盘轻。 要是 A 盘原来 5 斤，拿掉 2 斤剩 3 斤，再拿掉 1 斤剩 2 斤。
这时候 A 盘是 2 斤。
要是 B 盘是 3 斤，那 2 小于 3，不等式成立。但要是 B 盘是 1.5 斤，那 2 大于 1.5，不等式不成立。
这说明不等式不是死板的真理，而是依赖于具体数值的关系。
不过，对于那些确定的关系，比如"3 大于 1"，不等式就绝对可靠。 实际上大量生活中的规则，本质上就是不等式的表现。
比如你去超市买东西，买两瓶可乐要 40 元，买两瓶苏打水要 40 元，但买四瓶可乐要 60 元，买四瓶苏打水要 60 元。
这里 40 元大于 20 元，40 元大于 20 元，但 60 元并不大于 40 元。
这就像不等式的传递性：要是 A 大于 B，且 C 大于 D，那么 A 加 C 不一定大于 B 加 D，要不就你知道 C 比 D 小多少。 还有一个有趣的例子。你有一块正方形桌子，边长是 2 米。它的面积是 4 平方米。
要是你把这块桌子对折一次，变成两个长条，每个条的长度是 2 米，中间还空出一半。
这时候，这两个条的总面积还是 4 平方米，但这 4 平方米分散在不规则的长条里了。我们能不能说，任意一个长条长度都大于原来的边长？不能啊，原来的边长是 2 米，目前的长条只有 1 米。
故此，有时候数值变小了，面积却变大了，这时候不等式就失效了。 实际上，不等式之故此关键，是出于它教会我们一种“比较”的思维方式。在数学的世界里，没有绝对的“对”，只有相对的“大小”。就像两个小孩比较哪位高，我们不用去问“哪位更高才是最好的”，我们只需求比较“哪位更高”。
不等式就是那个尺子，它帮我们量出世界的相对高度。 回到最初的难题，不等式公式定理证明，实际上就是一个不断“比较”的过程。我们要证明 3 大于 2，就要不断问：3 是不是比 2 大？
是不是 3 比 2 加些东西还大？
是不是 3 比 2 减去些东西还大？通过不断的“比较”和“逻辑推演”，我们最终得出了那个确定的结论。 有时候，我们就连不需求整个的证明，只需求知道“我比 2 大，2 加 1 肯定比 2 大，故此我也比 3 大”这种思路，就已经充足自信地去答题了。
毕竟，在数学的王国里，只要逻辑链条没断，那我们就是一束光，照亮了每一个未知的数字。