第一积分中值定理例题-第 1 中值定理例题

第一积分中值定理的直观与“粗糙”解法 别跟我整那些虚的，第一积分中值定理就是那个把面积和体积直接扯在一起的家伙。别老想着去推导那些勒让德 - 切萨雷的变体公式，那玩意儿多啰嗦。咱们就抓着一根最直、最粗糙的竿子，看看它到底如何扯着走的。想象手里拿着一根粗 rope，两头各挂个重物，绳子中间被拉得拉得紧紧的，你问它哪根线长度等于绳子在某个高度上的投影？那肯定是中间那段最紧的线。定理说，只要函数是“算得过来”的（连续），这根绳子在某个点上的长度，要么等于函数在那个点的最大高度，要么等于最小高度，要么是它们中间某段。
听起来挺玄乎，但一旦你把函数画出来，你会发现，它实际上就是说：最大值 = 最小值 要么 最小值 = 最大值 要么 中间某一段 = 最小值/最大值。 咱们拿个具体的例子。 难点一：函数会不会“偷懒”？ 先说个最直观的难题：$f(x) = x^2$ 在区间 $[-1, 1]$ 上。画个图，这就是一个从原点出发，先下后上，再往上跳的抛物线。 区间长度是 $2$。 最小值是 $0$（在 $x=0$ 处），最大值是 $1$（在 $x=1$ 或 $x=-1$ 处）。 中间某段是多少？比如 $x=1$ 到 $x=0$ 这段，长度是 $1$。$1$ 既等于最大值，也等于最小值。 再看 $f(x) = sin(x)$ 在 $[0, 2pi]$ 上。最小值 $-1$，最大值 $1$。中间某段长度呢？比如 $x=pi$ 到 $x=0$，长度 $pi approx 3.14$。$1$ 不等于 $3.14$，也不等于 $-1$。 这就尴尬了。定理说“某段等于某值”，但 $pi$ 既不是 $1$ 也不是 $-1$。
难道定理不成立了吗？ 不是。 定理的前提是 $f(x)$ 务必是连续的。$sin(x)$ 自然连续。
那难题出在哪？出在那段“中间某一段”的定义上。 定理并没有说“任意一段中间都要成立”。它说的是：存有一段区间，要么存有一个点，使得长度等于极值。 对于 $sin(x)$ 这种震荡的函数，它的最大值和最小值之间有一段挺长的路径，这段路径上的函数值实际上一直在“爬升”和“下降”。 最接近“等于”的那一段，实际上是那些长度恰好等于 $1$ 的点。 比如，从极大值点 $x=pi/2$（$y=1$）往下走，走到 $x=pi$（$y=0$），这段长度是 $pi/2 approx 1.57$。 再往左走，走到 $x=0$，这段又是 $1.57$。 啊哈！
你看，$1.57$ 既不是 $1$ 也不是 $-1$。 什么的，我是不是搞混了最大值和最小值的定义？ 在 $[0, 2pi]$ 上，$y$ 的最大值是 $1$，最小值是 $-1$。 但定理里的“某段长度”，指的是被覆盖的区间长度，要么函数值的跨度？ 不，第一积分中值定理（第一型）说的是：区间长度 = 函数在某点差值。 公式是：$int_a^b f(x) dx = f(xi)(b-a)$。 这意味着：积分的值 = 函数在某点 $xi$ 处的值 $times$ 区间的长度。 故此，要是区间长度是 $2$，那么 $f(xi)$ 务必是 $1/2$。 那 $f(x) = sin(x)$ 在 $[0, 2pi]$ 上有解吗？ $f(0)=0$, $f(2pi)=0$。中间最大是 $1$，最小是 $-1$。自然有 $0.5$。 那对于 $f(x)=x^2$，区间 $[-1, 1]$，长度 $2$。需求 $f(xi) = 1/2$。 $x^2 = 0.5 Rightarrow x = pmsqrt{0.5} approx pm 0.707$。 这里有解！ 我之前揪心 $1 neq 1.57$ 是出于我把“函数值”和“区间长度”搞混了，要么把“极值”和“积分值”搞混了。 实际上，定理的核心是平衡。 $1$ 的力量（最大值）乘以 $1$ 的长度，等于 $1$。 $-1$ 的力量（最小值）乘以 $1$ 的长度，等于 $-1$。 $0$ 的力量乘以 $2$ 的长度，等于 $0$。 $1/2$ 的力量乘以 $2$ 的长度，等于 $1$。 所有的情况加起来，都等于积分结局。 故此，$sin(x)$ 没难题。$x^2$ 也没难题。 难点二：当函数波动忒欢如何办？ 再拿个更激进的例子。 $f(x)$ 在 $[0, 1]$ 上，先跳到 $10$，然后一直狂跌到 $0$，中间没如何停。 $T = int_0^1 f(x) dx$。 最大值 $M=10$，最小值 $m=0$。 定理说：存有 $xi in [0, 1]$，使得 $M = f(xi)(1-0)$ 要么 $m = f(xi)(1-0)$。 即：$f(xi) = 10$ 要么 $f(xi) = 0$。 这显然成立，出于在 $0$ 和 $1$ 之间，函数值肯定取遍了 $0$ 到 $10$ 之间的所有值。 那有没有可能 $f(xi) = 5$（某个中间值）？ 定理说的是“等于最大值”要么“等于最小值”。 啊，我发现了！ 一般的 erG 中值定理（第一型）里，$xi$ 是函数点。 公式 $f(xi)(b-a)$。 要是 $f(xi) = 5$，那么 $5 times 1 = 5$。 要是积分值是 $7.5$，那定理就乱了。 什么的，第一积分中值定理的表述一般是： $exists xi in (a, b)$ 使得 $f(xi) = frac{1}{b-a}int_a^b f(x)dx$。 也就是平均值定理。 那对于 $f(x)=10(x^2-1)$ 这种，积分值是多少？ $f(0) = -10$, $f(1) = 0$。 这是个三角形，底 $1$ 高 $10$，面积是 $5$。 平均值应当是 $5$。 那么 $f(xi) = 5$ 有解吗？自然，只要函数连续，且值域包含 $5$ 即可。 那我的上一个例子哪儿错了？ 哦，对了！我反复纠结的是“存有一段长度为 $L$ 的区间，使得函数值等于 $M$ 或 $m$"。 定理说的是：存有一个点 $xi$，使得函数值等于平均值。 这就好办了。
只要函数连续，平均值一定在最小值和最大值之间，并且一定能达到。 故此，对于 $f(x) = sin(x)$ 在 $[0, 2pi]$，平均值是多少？ $int_0^{2pi} sin(x) dx = 0$。 故此平均值是 $0$。 $0$ 肯定在 $[-1, 1]$ 之间，且实际上取到了 $0$ 的值。 故此定理成立。 我之前为啥认定难？出于我把“区间长度”和“函数值”搞反了，要么把“某段”理解成了“任意一段”，而实际上是“存有某点”。 难点三：那个“粗糙”的例子 咱们再换个角度，试着在一些“不完美”的地方找证据。 寻思函数 $f(x) = frac{1}{x}$ 在 $[1, 2]$。 $f(1) = 1$, $f(2) = 0.5$。 积分 $int_1^2 frac{1}{x} dx = ln(2) - ln(1) approx 0.693$。 平均值 $bar{f} = frac{0.693}{1} = 0.693$。 我们需求找一个 $x in (1, 2)$，使得 $f(x) = 0.693$。 $x = frac{1}{0.693} approx 1.44$。 $1 < 1.44 < 2$，在区间内。 完美。 这反驳了我之前“有些函数取不到平均值”的猜想。 出于连续函数的值域是一个闭区间 $[m, M]$。 平均值 $bar{f}$ 一定知足 $m le bar{f} le M$。 由介值定理，函数必能取到 $bar{f}$。 故此，定理一直成立的。 那为啥教材老讲“存有一段长度为 $L$ 的区间，使得函数值等于 $M$ 或 $m$”这种说法？ 出于那是第二积分中值定理的变体要么是积分第一中值定理在特定条件下的推论（比如单调区间）。 对于一般的连续函数，我们只要关切“点”。 要是函数在 $[a, b]$ 上单调，那么 $int_a^b f(x) dx$ 就等于 $f(a) cdot (b-a)$ 要么 $f(b) cdot (b-a)$。 这就回到了单调函数的特殊情况，也就是定理最底层的逻辑： 积分 = 端点值 $times$ 长度。 这不仅是巧合，而是连续函数在单调区间上的必然结局。 难点四：反直觉的“不成立”场景？ 有没有啥情况，第一积分中值定理不成立？ 没有。
只要 $f(x)$ 是连续的，它就一定成立。 要是 $f(x)$ 不连续，比如 $f(x)$ 在 $c$ 处有个跳跃。 区间是 $[0, 1]$，$f(0)=0$, $f(1)=1$。 但在 $x=0.5$ 处，函数突然跳到了 $100$。 那在 $x=0.6$ 处，函数值可能等于 $50$。 要是 $int_0^1 f(x) dx = 10$。 平均值 $10$。 我们需求 $f(xi) = 10$。 要是函数在 $0.6$ 处跳到了 $100$，在 $0.5$ 处是 $0$。 那函数值肯定能取到 $10$。 要不就函数是离散的，要么确实不连续且挖掉了平均值。 但定理针对的是“连续”函数。 故此，结论贼明确：只要知足“连续”，就不可能“不成立”。 既然不可能不成立，那还有啥难处？ 难处在于，对于震荡函数，我们挺难一眼看出“某一段”等于平均值。 比如 $f(x) = sin(x)$，平均值是 $0$。 有没有一段距离为 $L$，使得这段上函数的所有值都等于 $0$？ 在 $[0, 2pi]$ 上，值等于 $0$ 的长度是 $2pi$（整段）。 故此定理说“存有一段长度为 $2pi$ 的区间，使得函数值等于 $0$"。 这在数学上是废话，出于函数值就是 $0$，自然等于。 但一般我们聊聊的是“函数值等于 $M$ 或 $m$"。 对于 $sin(x)$，平均值是 $0$。 是否存有一段长度 $L$，使得这段上的函数值等于 $1$？ 在 $[0, 2pi]$ 上，函数值等于 $1$ 的区间是 $[frac{pi}{2}, frac{5pi}{2}]$（减去 $2pi$ 后是 $[frac{pi}{2}, frac{5pi}{2}]$ 去掉 $2pi$ 局部？不对）。 $sin(x)=1$ 的解是 $x = frac{pi}{2} + 2kpi$。 在 $[0, 2pi]$ 上，只有一个点 $x=frac{pi}{2}$，长度是 $0$。 故此不存有长度为 $0$ 的区间使得函数值为 $1$？ 什么的，定理的第一型是 $int_a^b f(x) dx = f(xi)(b-a)$。 这里的 $xi$ 是一个点。 要是是 $f(xi)=1$，那 $f(xi)(b-a) = 1 times 2pi = 2pi approx 6.28$。 但积分值实际上是 $0$。 故此 $f(xi)$ 务必等于 $0$。 故此 $xi$ 务必是取到 $0$ 的地方。 那对于 $f(x)=sin(x)$，$xi$ 能够取 $0$ 或 $pi$ 等。 定理成立。 难点五：如何把“挺难”变得更“难”？ 我想到了一个如何把这道题变得像“坑”一样的情况。 假设我们构造一个函数，它在 $[0, 1]$ 上，先快速上升，然后慢腾腾震荡，最终又快速下降。 目标：让它取不到平均值。 这在数学上是不可能的。 那要是题目不要求“存有 $xi$ 使得 $f(xi)=text{平均}$"，而是说“存有一段区间，使得这段上的积分等于平均值”？ 那是第二中值定理。 第一中值定理只要求点。 故此，只要函数连续，点一定存有。 那“怎么着构造”不出来？ 没得办法。 要不就函数不连续。 比如 $f(x)$ 在 $0.5$ 处有挖洞。 $0$ 到 $0.5$，函数是 $1$。$0.5$ 到 $1$，函数是 $0$。 积分值 $0.25$。 平均值 $0.25$。 我们需求 $f(xi) = 0.25$。 函数在 $0 le x le 0.5$ 上是 $1$，在 $0.5 le x le 1$ 上是 $0$。 故此在 $[0, 0.5]$ 上取不到 $0.25$。 在 $[0.5, 1]$ 上取不到 $0.25$。 那 $f(xi)$ 一辈子取不到 $0.25$？ 不对，定理说 $exists xi in (a, b)$。 要是函数在 $a$ 和 $b$ 处有定义。 要是 $f$ 在 $(0, 0.5)$ 上是 $1$，在 $(0.5, 1)$ 上是 $0$。 那 $xi$ 务必在这两个区间的并集里。 要是 $xi in (0, 0.5)$，则 $f(xi)=1 neq 0.25$。 要是 $xi in (0.5, 1)$，则 $f(xi)=0 neq 0.25$。 要是函数在 $0$ 和 $0.5$ 处有定义，且 $f(0)=0.25$？ 定理一般说 $xi in (a, b)$。 要是 $f$ 在端点处有定义但 $xi$ 不能取端点。 那要是 $f(0)=1, f(0.5)=1, f(1)=0$。 $0$ 到 $0.5$ 都是 $1$。$0.5$ 到 $1$ 都是 $0$。 那 $xi$ 只能取 $0$ 或 $0.5$ 或 $1$。 $f(0)=1, f(0.5)=1, f(1)=0$。 平均值 $0.25$。 没有一个点等于 $0.25$。 那定理失效了？ 不，定理失效的前提是 $f$ 不连续。 要是 $f$ 在 $0$ 处挖掉了 $0.25$，但在 $1$ 处补上了 $0.25$？ 不，定理要求 $f$ 在整个区间上连续。 要是 $f$ 在 $[a, b]$ 上连续，那么 $lim_{x to a^+} f(x) = f(a)$。 故此要是不连续，定理不成立。 那要是连续的，就一定成立。 故此，任何“连续函数都没有平均值”的构造，都是不可能的。 出于连续函数的值域是连通的，平均值必然在其中。 故此，印在红叉上的题目，说“某个连续函数不成立”，那是题目出错了，要么我理解错了。 难点六：总结与“不完美”的结尾 好了，关于这道题，我就到此为止了。 别跟我讲“柯西中值定理”，那是第二型的，和第一型关系不大。 别跟我讲“反例”，出于反例的前提一般就是“不连续”。 第一积分中值定理的一个经典应用场景是证明积分不等式。 比如 $int_a^b f(x) dx$ 要是 $f$ 单调，那么它等于 $f(a)(b-a)$ 或 $f(b)(b-a)$。 这实际上就是定理的特例。 对于一般情况，我们只需求关心平均值定理。 即：$int_a^b f(x) dx = f(xi)(b-a)$。 只要 $f$ 连续，$bar{f}$ 在 $[m, M]$ 内，且 $bar{f} in f[(a, b)]$。 故此 $exists xi$。 下面举个具体的、有点“土”的例子。 设 $f(x)$ 在 $[0, 2]$ 上。 $f(0) = 0$, $f(2) = 2$。 $f(x)$ 是线性的吗？$f(x) = x$。 积分 $int_0^2 x dx = 2$。 平均值 $bar{f} = 1$。 我们需求 $f(xi) = 1$。 $x = 1$。 $0 < 1 < 2$。 成立。 再构造一个。 $f(x) = x^2$。 $int_0^1 x^2 dx = 1/3$。 平均值 $1/3$。 需求 $x^2 = 1/3$。 $x = 1/sqrt{3} approx 0.577$。 $0 < 0.577 < 1$。 成立。 结论：不要试图去寻找反例，出于物理定律（数学定律）不准存有。 只要函数是“活”的（连续的），它就能“走”到平均值那里。 这就是为啥教科书一直把重点放在“证明存有性”上，而不是“计算具体值”。 出于计算具体值是我们能做的，但证明“能到”是我们务必做的。 这就好比问：“人能不能从地球走到月球？” 不能。出于你还没到月球，要么还没走上去。 但问：“人能不能从地球走到月亮旁边（假设地球半径大）？” 能。 故此，对于 $f(x) = sin(x)$，问“有没有一段长度等于 $pi$，使得函数值等于 $0$？” 能。 问“有没有一段长度等于 $pi$，使得函数值等于 $1$？” 不能。出于函数值等于 $1$ 的点只有孤立的那些，没有连续的一段长度为 $pi$ 且值为 $1$。 哦！
这里有个误解。 第一积分中值定理的表述是：$exists xi in (a, b)$ 使得 $f(xi) = text{Avg}$。 它不要求“存有一段长度 $L$ 使得函数值恒等于 $C$”。 它只要求“存有一个点 $xi$，它的函数值是 $C$”。 这点我一直搞混啊。 定理说的是：$int_a^b f(x) dx = f(xi)(b-a)$。 这意味着：积分值 $= $ 函数在某点的值 $times$ 长度。 故此，$f(xi)$ 务必等于平均值。 它不要求 $f(xi)$ 等于最大值或最小值，也不要求 $f(xi)$ 等于某个常数（要不就 $M=m$）。 它要求 $f(xi)$ 等于平均值。 而平均值一定在 $[m, M]$ 之间。 故此，只要函数连续，平均值就一定取到了。 故此定理成立。 我之前纠结“某段”是出于我想把定理想成“区间中值定理”（Lebesgue），那是彻底不同的东西。 第一型中值定理是关于点的。 第二型（积分第一中值定理的另一种表述）是关于区间的。 要是是第二型，那就是 $exists xi in (a, b)$ 使得 $f(xi)(b-a) = int_a^b f(x) dx$。 这实际上和第一型一样，只是 $xi$ 的定义域可能不同（广义中值定理）。 但一般我们说的第一积分中值定理就是指 $int f = f(xi)(b-a)$。 故此，只要 $f$ 连续，$bar{f}$ 一定存有。 故此，不存有“连续函数取不到平均值”的情况。 最终的一个小插曲： 有人问：“那要是函数在区间两端都不等于平均值呢？” 比如 $f(0) = 100$, $f(1) = -100$。 平均值 $50$。 函数在 $0.5$ 处取 $50$。 故此 $xi$ 能够是 $0.5$。 $f(xi)=50$。 这没难题。 那要是 $f(x)$ 是态度的函数（比如经济学模型），$f'(x) = 1$。 那 $int_0^1 f(x) dx = f(1) - f(0)$。 要是 $f(0)=10, f(1)=15$。 $int = 5$。 $f(xi) = 5$。 $x = 5$。 $5 in (0, 1)$？ $5 notin (0, 1)$。 哦，这里发现了！ 要是 $f(x) = x + 10$。 $int_0^1 (x+10) dx = [x^2/2 + 10x]_0^1 = 0.5 + 10 = 10.5$。 平均值 $10.5$。 需求 $f(xi) = 10.5$。 $x+10 = 10.5 Rightarrow x = 0.5$。 $0 < 0.5 < 1$。 成立。 刚刚那个 $f'(x)=1$ 的例子，是 $f(x) = x + C$。 $int_a^b (x+C) dx = int_a^b x dx + C(b-a) = frac{1}{2}(b-a)^2 + C(b-a)$。 平均值 $bar{f} = frac{1}{2}(b-a) + C$。 我们需求 $a+C = frac{1}{2}(b-a) + C$。 $a = frac{1}{2}(b-a) Rightarrow 2a = b-a Rightarrow 3a = b Rightarrow a = b/3$。 哦！ 要是 $a=0, b=1$。 $a = 0, b/3 = 0.33 neq 0$。 故此 $f(0) neq bar{f}$。 $f(1) neq bar{f}$。 那有没有 $xi in (0, 1)$ 使得 $f(xi) = bar{f}$？ $f(xi) = xi + C = frac{1}{2}(1-0) + C = 0.5 + C$。 $xi = 0.5 + C - C = 0.5$。 $0.5 in (0, 1)$。 成立。 我刚刚算错了，把 $f(x)$ 当成了常数加 $x$，算错了积分公式。 $int x dx = x^2/2$。 $1^2/2 - 0 = 0.5$。 没错。 那要是要让 $f(a) = bar{f}$ 或 $f(b) = bar{f}$ 不成立，只需求 $a neq b/3$ 且 $b neq 4b/3$ (即 $a neq 0$) 且 $a neq 0$。 实际上 $f(b) = bar{f} Rightarrow b = b/3$? 不对。 $f(b) = b+C$. $bar{f} = 0.5 + C$. $b+C = 0.5+C Rightarrow b=0.5$. 故此要是 $b=0.5$，则 $f(b)=bar{f}$。 要是区间是 $[0, 1]$。 $b=1 neq 0.5$。 $a=0 neq 0.5$。 故此端点不等于平均值。 但这不影响定理，出于定理说存有 $xi$，不一定端点。 定理说：在区间内部的某一点。 故此，只要函数是连续的，定理就绝对成立。 至于“端点不等于平均值”，这只是意味着我们不能选端点作为 $xi$。 这贼完美。 故此，这道题就作/拉倒。 不要往康德那跑。 不要往 $delta$ 那跑。 就是：连续函数一定能取到平均值。 这就是积分中值定理的精髓。 哪怕函数长得再丑，只要连续，它就是“平均的”。 这就够了。