不满足海涅定理的函数-海涅定理不满足函数

海涅定理，也就是我们常说的海涅 - 伯恩斯坦定理，听起来是不是像警察破案？它说要是一个函数在开区间 $(a, b)$ 上连续，且在端点 $a$ 和 $b$ 处有界，那它肯定是有界的。
这听起来忒顺理成章了，仿佛只要把边界上的数据填上，中间随意乱闯的函数都得乖乖听话。但现实往往比你想象的更魔幻，总有一些家伙，明明在区间中间疯疯癫癫地乱跳，死活跳出区间去，要么干脆把边界上的数据玩弄于股掌之间，结局这个定理却笑它都没辙。 咱们拿个最基础的例子看看。设想一个函数 $f(x)$，定义在区间 $(0, 1)$ 上。假设在 $x=0$ 处，$f(x)$ 等于 100，在 $x=1$ 处，$f(x)$ 等于 0。
这彻底符合有界条件啊。但在中间，比如 $x=0.5$ 时，函数值突然变成了 100000，就连更大。你当作它违反了定理吗？自然没有。根据海涅定理，只要端点有界，中间的值可能无限大，也可能无限小，它根本不在乎中间多“疯”。 再举个例子，$f(x) = frac{1}{x - 0.5}$。
这个函数在 $(0, 1)$ 上实际上是有界的，最大也就到 2 要么 3 左右。但要是你把它改成 $f(x) = frac{1}{x - 0.25}$，咦？在 $x=0.25$ 附近，这个函数就彻底炸了。它没有爆破，但它跳过了 $x=0.25$ 这个点，直接飞到了右区间里去了。更绝的是，要是区间被选得不准，比如只给了 $(0.24, 0.26)$，那函数在 $x=0.25$ 附近就无解了，出于分母变成了负数，函数值直接变成了负无穷。
这时候连“定义域”都没了，海涅定理自然也就失效了。
这就像是你在玩一个游戏，规则是“不能碰到悬崖”，但你踩在悬崖边上，结局直接穿过了悬崖，自然你没违反规则，你是根本没在悬崖边上。 还有一种情况，那就是函数本身在区间内没有定义。
比如 $f(x) = sqrt{x}$，要是区间是 $(-1, 1)$，那在 $x=-1$ 处根本没法定义，也就谈不上有界与否了。
要么 $f(x) = frac{1}{x^2 - 1}$，在 $x=1$ 处有垂直渐近线，别看它是有界的（反正是有无穷大），但要是区间包含渐近线本身，那它在那个点“有界”的定义本身就不清楚不清了。
这时候海涅定理的“区间内连续且存有”这个前提实际上有点站不住脚，出于它忽略了函数可能根本就没有“家”。 还有一个隐蔽的“作弊”方式，就是让函数在边界附近表现得贼怪异。
比如构造一个函数，它紧贴着 $x=0$ 的下方一点点，然后突然在 $x to 0^+$ 时趋向于无穷大，但在 $x to 0^-$ 时趋近于 0。
这时候，在 $x=0$ 这个点上，函数是未定义的，故此不知足“在端点处有界”的严格条件。海涅定理会告诉你，出于没定义，故此不能作为端点聊聊。
这就好比法庭上有个证人，他在离案发现场 1 英尺的地方都看不见，你说他不在现场，那行不中？显然不中，你得说清楚证人到底在哪。
要是证人就在案发现场附近，只是还没被拍到，海涅定理会冷笑一声：“你得说清楚他在哪，别让他躲得没影。” 再来看另一个反例。寻思函数 $f(x) = tan(x)$，在区间 $(0, frac{pi}{2})$ 上。当 $x$ 趋近于 $frac{pi}{2}$ 时，函数值趋向于无穷大。别看它是有界的吗？不，它在区间内是无界的。但你知足海涅定理吗？你看，$tan(0) = 0$，在 $0$ 处是有界的；$tan(frac{pi}{2})$ 不存有。
故此它不知足定理的前提条件（端点务必存有且有限）。
这时候海涅定理告状了：“你想要有界函数，就得保证边界也得乖乖听话，不能让你自己把自己炸飞。” 还有一种情况是函数在区间内“跳跃”得忒了得，彻底破坏了连续性。
比如分段函数，在 $x=0$ 处从 $0$ 跳到 $100$，但中间没有任何过渡。别看端点有界，但出于它在 $(0, frac{1}{2})$ 里没有任何定义，故此也不知足“在区间内连续”这个条件。
这时候海涅定理的逻辑链条断了：没有连续，自然就不知足定理。
这就像是一个人在早上 8 点出门，下午 1 点突然变回路人，中间断档了，别看起点终点都算在设定范围内，但中间那一小时的功能性缺失，让海涅定理没法判定它是否有界。 实际上你会发现，海涅定理实际上是在做一种挺严格的“体检”。它检查你的身体（函数）在边界上有没有浮肿（有界）；也检查你的皮肤（连续性）有没有受伤（连续）；更检查你的目录（定义域）有没有漏页（存有定义）。
这三样条件缺一不可。
只要有一样是空的，要么有一样是爆炸的，海涅定理就懒得管它是真无界还是真无解，它直接说：“你不符合我的规格。” 故此，别被海涅定理给骗了。它不是万能的定心丸。当你看到一个函数在中间疯癫、端点却装得像个哑巴时，要么看到它在渐近线附近无解时，海涅定理立马就能给你定罪。而当你遇到那些在边界处别看数值挺大，但严格来说实际上也是“未定义”要么“跳跃”的函数时，海涅定理也会嫌它忒作，直接无视它。
这就是数学的魅力，有时候一个定理，可能只是在一个贼窄巴的逻辑陷阱里，试图抓住那些自当作是的“不完美”函数，结局往往是被那些真正完美的“反常”情况给骗了。