带通采样定理知乎-带通采样采样定理知乎

在信号处理这个界子里，带通采样这事儿，说白了就是让信号在工夫里“跑偏”了，然后再回来。 想象一下，你手里拿着一段音频，内容是个人在客厅里唱歌。信号源是“人声”，频率范围大约在 150 到 300 赫兹之间。
这时候要是你直接去采样，用标准的那个 20 点采样率（44.1kHz），那采样出来的点数大约只有 1.5 万个。结局你拿到一堆乱码，啥都有，连人声的声音都没啥样了。
这就是传统的奈奎斯特采样定理在带通信号面前碰壁的缘由——出于采样点忒少，抓不住声音的频率成分。 要解决这个难题，最好办的办法就是“带通采样”，也就是让你的采样点也跟着“跑偏”。想象一下，把采样时钟也调高了，比如跑到 100 千赫兹去了。
这时候，采样频率 $fs$ 从 44.1k 变成了 100k。根据公式 $N = fs / f_{sig}$，你需求的点数就变成 $100000 / 300 approx 333$ 个点。333 个点，每个点间隔 300 微秒。
这时候，你能拿到一张挺清楚的“人声”频谱图了。 为啥非要动刀动斧去搬动采样点呢？出于人的耳朵能听到的声音，频率范围并不如何均匀。能不能直接拉通频的采样频率 $fs$ 呢？这是个大难题。
要是用刚体拉频，采样点的间距 $T$ 就固定了。在 300Hz 到 1500Hz 这段高频区域，工夫间隔 $T$ 变短了；到了低频区域，$T$ 又变长了。但信号处理讲究的是相位连续性，要是采样点不是均匀分布的，信号的相位在采样之间会形成剧烈跳变，信号直接烂了。
故此，带通采样不能动不动就拉频，得让采样点均匀分布。 如何做呢？这就得靠数学魔法。最优雅的方案是复指数调制。你能够把采样基函数从 $e^{j2pi f_s t}$ 变成 $e^{j(f_s - Delta f)t}$。
这里 $Delta f$ 就是你要偏的偏移量。通过这种调制，原本均匀采样的信号，在频域上就变成了一段段重叠的带通信号。
这就好比你本来在一条直线上拍照，目前把整个相机的快门速度加快，与此同时让相机在你移动的路上多拍几个位置。
这样拍出来的照片，别看物理上位置有点乱，但经过解码处理，你就能拼凑出原始的画面。 为了验证这个理论，我们拿一个具体的例子算一下。假设人声频率只有 100Hz 到 200Hz，采样方式选了偏移 100Hz。
那么新的采样频率 $f_s$ 就得是 $2 times 100 = 200$Hz。但这还不够，出于你要能覆盖到 200Hz 这个上限，务必知足 $f_s > 2 times f_{max}$。
故此 $f_s$ 得大于 400Hz。
要是强行拉成 400Hz，刚好卡在边缘，好办出错。
这时候，我们采用一种更稳妥的带通采样策略：设 $f_s = 800Hz$，偏移量 $Delta f = 400Hz$。 这样下来，实际的采样频率是 $f_s - Delta f = 400Hz$，刚好能覆盖 0 到 200Hz 的人声范围，并且采样点严格均匀。
这时候，人声信号在频谱上自然地分裂成上下两个子带。下边的子带从 0 到 400Hz，上边的子带从 400Hz 到 800Hz。 这时候你可能会问，直接拉频不中吗？比如设 $f_s = 400Hz$，偏移到 200Hz，这样采样频率就是 200Hz。但这不中啊，出于频率范围 100-200Hz 的最大频率刚好等于新的采样频率的一半，也就是 100Hz。
这就触犯了奈奎斯特准则的底线，模混效应严重，信号会彻底糊成一团。
故此，核心还是得看原始信号的中心频率和最大频率。
要是原始信号的中心频率远高于当前采样频率的半宽，那非均匀采样（即带通采样）就是务必的；反之，要是信号挺窄且中心频率低，直接拉频往往更好办粗暴。 再说说实际操作中如何实现这些数值。
比如你手里有个带通信号，中心频率是 1kHz，带宽 200Hz。
要是你选 $f_s = 4500Hz$，那带宽对应的点数 $N = 4500 / 200 = 22.5$。
这说明你的离散数据点只够覆盖 22 个点，显然不够。
这时候你需求用复指数调制。设 $f_s$ 不变，但信号在调制前乘以 $e^{j2pi Delta f t}$，这里 $Delta f$ 选为 $f_s / 2 = 2250Hz$。 调制后的信号，在频域上实际上就是两个带通信号叠加。一个是下边带，频率范围从 0 到 1000Hz；另一个是上边带，频率范围从 2250Hz 到 3250Hz。
这两个带通信号在频域上互不干扰（要是不重叠），且带宽都小于 $f_s/2$，此时用常规无采样定理（好办 FFT）就能完美还原。 在这个过程中，数据量实际上并没有变。假设原来有 4000 个采样点，目前也是 4000 个。你只是转变了它们代表的物理意义：原本代表的是连续工夫的采样，目前代表的是经过调制后的复数采样。处理的时候，只需求对这 4000 个复数数据进行 FFT，要么进行 IFFT 逆变换。最终的倒带过程，就是把这些离散的能量点重新映射回连续的工夫轴。 这就好比你在纸上写一串乱码，然后突然拍板把这串乱码在纸上平移一格，还是平移两格。
你看，这串乱码平移了，但你原本的逻辑没变，只是换了个坐标系来看。带通采样就是人造的坐标系变换，它强行要求采样点均匀，但这恰恰解决了带通信号那个“频率不均匀”的痛点。 有没有啥坑呢？自然有。主要是在实时处理的时候。
要是你要实时做这个变换，计算复指数调制 $e^{jDelta f t}$ 和对应的逆调制，需求对每一个采样点做乘法运算。
这在硬件上计算量庞大，特别是在高采样率的时候。
不过好在，大量现代 DSP 芯片都有李萨如图形形成器要么专门的复数乘法单元，只要选对参数，实时性还是能搞定的。
另外，Hz 的数值一般都是非整数的，这在硬件上挺难直接精确管住，一般需求落入到特定的整数频率网格中，要么牺牲一点精度换取性能。 总结一下，带通采样的本质，就是让采样点不均匀，通过调制把它们强行变得均匀。
这听起来是不是挺反直觉的？实际上不然，出于物理工夫上的采样点务必均匀，否则相位就不连续。但要是我们准信号本身在频域上分布不均匀，通过把工夫轴也做变换（调制），就能把非均匀分布变成了均匀分布，再采样。 最终的算账，对于 100-200Hz 的人声，用 800Hz 的采样率，偏移 400Hz，这已经是最优解了。采样周期 1.25ms，正好能整个涵盖低频到高频的所有内容，且不会形成混叠。
这就像是给信号戴上了一副特殊的“透镜”，只让它看到它该看的东西，而不让它看到那些它不该看的高频噪音。
这就是带通采样在数字世界里安身立命的根本，既符合数学逻辑，又完美契合了人类的听觉特性。