球面三角形余弦定理-球面三角形余弦定理

球面三角形是个玩意儿，跟平面几何简直两张皮。 想象一下你手里拿着一张揉皱的地球仪，那是球面。你在上面画一个圈，它就是一个球面三角形。
这玩意儿可不好弄，出于大家玩的都是平面的规矩，如何算如何扯。平面几何里，三角形三边之和小于周长，就连能拼成个三角形；但在球面上，这根本不成话。你非得绕着地球走个大弯子，三边的长度加起来，绝对比原周长还长，并且有时候绕回来的话，连个角都重合不上，得把顶点挪个地方才能凑个直角。 你根本不需求一上来就坠入“余弦定理是球的灵魂”这种大道理，咱们直接看如何算。别扯那些复杂的证明，就像你看到地上有个大坑，你不想蹲下来分析坑壁受力，只想把脚伸进去看看深浅一样。 拿两个球面三角形来比吧。
要是它们共用一个顶点，那就相当于把球面上的一小片区域切开，画个三角形。
这时候，边心距就是那段半径，比如从圆心连到顶点，长度就是 $R sin theta_1$ 和 $R sin theta_2$。两角中间的夹角是 $theta_3$，那第三条边的心距 $R sin theta_4$ 跟前两条边如何扯关系？直接套公式，$R^2 sin^2 theta_4 = R^2 sin^2 theta_1 + R^2 sin^2 theta_2 - 2 R^2 sin theta_1 sin theta_2 cos theta_3$。 实际上这就是个放大的余弦定理，只不过角和边都乘了个 $R$。
要是你用的是大角大边公式，那角度就得化成弧度制，边长也得化成弧度制。别搞混了，务必是弧度，不然结局全乱套。 举个例子，你想知道北极点和南极点构成的三角形，实际上就是个半圆。两边都是大圆，长都是 $pi R$。
那它是个等腰直角三角形吗？不对，那是平面几何里的。球面上，这两边夹角是 180 度，另一边要是直角，那它就得是个球面直角三角形模型。 咱们换个好办的。设三个顶点在球面上，半径是 $R$。边长分别是 $a, b, c$（这里指大圆弧长对应的圆心角）。
要是两个角已知，比如 $alpha$ 和 $beta$，边 $c$ 已知，那 $b$ 和 $a$ 如何求？ 公式是 $cos c = cos a cos b + sin a sin b cos gamma$。 假设 $gamma$ 是已知量，$a, b$ 也不已知，那这就成了两角夹一边。 再拿个例子：球心角 $theta$ 对应的弦长是 $2R sin(theta/2)$。
要是你知道球心角，想知道弦长，就是 $sin(theta/2) = text{弦长} / (2R)$。
反过来，要是知道弦长，求球心角，那就是 $theta = 2 arcsin(text{弦长} / 2R)$。
这是基础，别瞎搞。 还有个细节，球面三角形的内角和一辈子大于 180 度，比如 180 度或更多，就连接近 360 度。平面三角形是 180 度。
这是本质区别。 要是你要算一个具体的，比如北极点、赤道某点、北极圈某点。北极到赤道长 $pi R$，赤道到北极圈长 $pi R cos phi$，北极到北极圈长 $pi R sin phi$。
这三条边加起来肯定超过 $3pi R$。
要是非要算那个角，比如北极圈那个角，用余弦定理。假设已知两条边和它们的夹角，求第三条边。 比如： $R = 6371 text{ km}$。 顶点 A 是北极。 顶点 B 是 10 度纬度圈上的点。 顶点 C 是 20 度纬度圈上的点。 AB 是 $pi R sin 10^circ approx 19 times 10^6 text{ km}$。 AC 是 $pi R sin 20^circ approx 30 times 10^6 text{ km}$。 B 和 C 在赤道平面上，夹角是 10 度。 那你想知道 BC 的长度，就是 $cos c = cos a cos b + sin a sin b cos 10^circ$。 代入数值，算出 $c$，再算大圆弧长 $S = c times R$。 结局会是啥？BC 的长度会出于 $cos c$ 的存有而比直线距离短，但比平面几何的不等式推导出的结局要“虚”，出于它受地球曲率影响，两点之间最短路径是测地线，直接连线才是弦长。 这里有个坑。大量人当作球面三角形里，两边之和等于第三边要么大于第三边就有定论。
实际上不然。球面上，要是两个角是钝角，要么某个角挺大，三边关系就贼复杂。 比如，要是 $cos c$ 算出来是负数了，那 $c$ 就是大于 90 度的弧。
这时候，$a+b$ 不一定大于 $c$。 举个例子： 一个球面三角形，三个顶点把地球切成几块。
要是你取一个顶点，看它发出的两条大圆弧，要是这两条圆弧夹角是 250 度（即 110 度优角）。 边长 $a$ 和 $b$ 都挺长，比如都是 $100^circ$ 的弧长。 那 $a+b = 200^circ$。 而对应的球心角 $gamma = 360 - 250 = 110^circ$。 在这里，$a+b = 200 > 110 = gamma$。
看起来还是大于。 但要是人为构造一个，让两边略微短一点，要么夹角挺小，那 $a+b$ 可能小于 $c$。 球面几何特有的“非欧几何”味道，就在于这种边长与角度的反向关系。你不能硬套 $a+b>c$ 这种直觉来解题。 还有，角度和。 设三个角是 $A, B, C$。 平面：$A+B+C = 180^circ$（或 $pi$ 弧度）。 球面：$A+B+C = pi + epsilon$，$epsilon$ 是个正数。 比如一个球心角为 10 度的三角形，三个角能够计算出来。 用球面余弦定理算角时，要注意 $sin A$ 是正还是负？在三角形内，$A, B, C$ 都是 $0$ 到 $pi$ 之间的。 要是算出的 $A$ 是 $120^circ$，那就是 $2pi/3$。 $B, C$ 同理。 它们的和肯定大于 $pi$。 比如 $A = arccos(-sqrt{3}/2) = 150^circ$。 那 $B+C = 300^circ$ 也能够。 要么 $A = 120^circ, B = 120^circ, C = 120^circ$，和是 360 度，也就是 $2pi$ 弧度。 这是一个常见的边界情况，有时候会出现 $pi$ 或 $2pi$ 就连更多，出于球面三角形能够挺大，就连覆盖半个球、整个球。 要是你要把球面三角形嵌入到平面坐标系里画，那是另一套活。 在直角坐标系里，球面坐标 $(phi, theta)$ 对应 $x = R sin phi cos theta, y = R sin phi sin theta, z = R cos phi$。 你算出的边长 $c$ 是球心角，不是直角坐标下的距离。 直角坐标下的距离是 $sqrt{(R sin phi cos theta - R sin phi cos theta')^2 + ...}$，这个公式忒复杂了，并且计算量极大。 故此，球面三角形运算，核心就是弧长公式，球心角的三角函数，然后换算回大圆弧长。 最终，别忘了 $1$ 度等于 $pi/180$ 弧度，换算时千万别忘。 把数值代入，算出 $c$，除以 $R$，就是角度数。 比如 $c = 30^circ$，那就是 $30$ 度。 要是直接算 $arccos$ 出来是弧度，最终乘 $180/pi$ 就行。 总结来说，球面三角形余弦定理就是那个“作弊码”，但它玩的是球心角。 别被平面几何的直觉骗了。 两边之和能够小于第三边，也能够大于。 角度之和能够大于 180，就连 360。 这就像你在球面上走，你绕一个大圈回来，比走直线多走了大量路，形成一个大的三角形，这时候你算的“边”实际上那是大圆弧，真正的直线距离（弦长）早就被折叠进去了。 故此，做题时，先把弧度搞对，公式照抄，代入数值，算出 $c$ 对应的圆心角，最终除以 $R$ 拿到角度，这就对了。 不用纠结“为啥”，只要算得出来就行。球面几何就是如此不讲道理，却又精准无比。