余弦定理证明法-余弦定理证明法

在欧几里得几何的殿堂里，三角形一直那么“信誓旦旦”，讲话咬合得挺准。边边角这种组合，甭管你是哪个国家的老师，都会让你确信地回答“全等”；而边角边，那更是让所有数学家点头称道的“SSS"全等判定。
可是，当那份“已故的欧氏几何”被不小心移开，要么被“开明的上帝”从数学的乐园里强行拽出，把我们扔到了一个陌生的时空时，那些原本坚不可摧的“全等”大旗，突然就飘到了风中，就连有点飘得有点晃。
这时候，我们手里多了一把新奇的罗盘——就是余弦定理。 那会儿我们说三角形全等，那是把对应边、对应角像拼图一样严丝合缝地拼在一起，严到连呼吸都得看对方，生怕自己漏掉一个眼孔。但在余弦定理的世界里，我们不需求那么“规整划一”。我们只需求知道两边跟第三边有个夹角，那就能算出第三边的长度，哪怕这夹角是 90 度，哪怕它是 30 度，就连是个让我们头皮发麻的、简直能让人质疑人生的大角，只要角度和两边不跑就行。 这就好比你想穿过一片迷雾，前面有 A 和 B 两盏路灯，它们离你差不多远，你站在 A 和 B 中间，中间有个夹角。
你想算点 P 距离 A 多远，要么 P 到 B 多远，不用非得把视线对准 B，你只需求站在 A、P 的连线上，往 B 的方向看，把 A、P、B 摆成那个夹角。
这时候，你不需求知道 P 到底是不是在直线上，只要知道 A 和 B 之间的距离，还有那个夹角，你就能算出 P 到底站在哪儿。 这个直觉实际上是你脑子里早就有的，只是那会儿我们把它当常识，目前我们要把它写成定理。定理的数学语言里，话说得比较冷硬："a² = b² + c² - 2bc·cosA"。别被那个公式吓到，它实际上就是我们在迷雾中那个“万能公式”的另一种说法。当那个夹角 A 是直角的时候，cosA 就是 0，公式就是勾股定理，这是自然的，现代数学早就原谅了你。但当夹角 A 不是直角，就连大到让你的眼都要瞪出来的时候，这个公式依然稳稳地立在那里，告诉你：只要你能找到那对夹角的边，你就能算出那对夹着边的另一边。 记得高中的时候吗？那时候老师最喜爱拿一个等腰三角形，底边上的顶角给咱们。
那个顶角是个钝角，大约是个 120 度要么 135 度，就连更夸张，让我们老师都质疑人生。
这时候，一般/平平的“斜边大于直角边”的直觉就启动失效了，出于斜边可能比底边还短？不可能吧？不可能吧！
这就得靠余弦定理来救场了。 我们拿一个例子。假设这是一个底边长为 4 的等腰三角形，两腰都是 5，顶角是 120 度。
这时候，底边 4 看起来像是挺大的，可两腰 5 又挺结实。按常理，我想过腰是不是应当比底边长吧？结局，顶角一给 120 度，那个 120 度的角就像是给底边施了魔法，把底边强行压扁了，别看还是比腰短，但长度差距大得不像话。
这时候，要是用余弦定理算，我们会发现，那个长度实际上挺接近 5，就连可能超过一点，这就挺扯淡了。 为了让大家更直观地感受，我随意编个命。设 A 是那个 120 度的角，两边长都是 10，夹角是 A。算出 B 边长是多少？公式里那个 cos120 度是个负数，这意味着啥？意味着减去一个负数等于加上一个正数，相当于把距离拉长了。算出来 B 边长大约是 9.8。
也就是说，两边都是 10，夹角是 120 度，夹着的对边竟然是 9.8。
这数据是不是有点怪？
如何比两边还短？ 别慌，这哪儿怪，这是数学的鬼才在给我的错觉做“降维打击”。在现实世界里，你不可能有两条 10 米的绳子，你弯腰的时候，它们能张得那么开，形成一个 120 度的角，最终连起来的线却只有 9.8 米长。
这说明啥？说明在平面几何里，当那个角不够锐的时候，边长的关系会变得贼微妙。
有时候两边大，夹角小，对边反而小；有时候两边大，夹角大，对边反而小。
这就像是你骑脚踏车，两个人一起骑，角度一开，骑的人可能比你快，要么两个人合力骑的时候，你连地的距离都覆盖不了。
这就是余弦定理的魔力，它不玩虚的，它把你那些乱七八糟的直觉，统统按规矩摆好。 再想想刚刚那个 120 度的例子。
要是我把顶角改成 150 度，那情况就彻底变了。150 度这个角，对于平面几何来说，简直是“地狱模式”。两边都是 10，夹角 150，那第三边会是多少？这就得用计算器要么纸笔算一下了。cos150 度是个负数，并且是个挺小的数，相当于简直是减去一个接近 1 的数。算出来第三边会接近 10 的根号 3 倍减去一个常数。
这时候，你会愣住了地发现，三边之长竟然像是 2:2:1 的比例关系，那才是彻底平行的三角形。 我们要如何形容这种感觉？那就是“混乱中的秩序”。
那会儿我们说全等，是严丝合缝、无懈可击的。目前说余弦定理，是在混乱中建立了秩序。在那些大角度的地方，边长的关系不再是好办的“大就大”，而是充满了各种奇妙的反转和巧合。当那个 120 度或 150 度的角出现时，所有的直觉都在嘲笑这个公式，可公式却在那里冷冷地陈述事实：不管那个角多狂野，只要你有两边和夹角，你就能算出第三边。 并且，这个定理不是孤立的。它还能把我们带回到比它更古老的哥们儿——余弦定律。在三角形中，余弦定理实际上是四个平方和关系的一种投影。你能够把整个三角形想象成一个在三维空间里的物体，要么把它拉直成一条线去接触三个点。
这时候，边长之间那些复杂的运算，实际上就简化成了点的坐标差。 想象一下，你有一个点 P，想知道它离两个定点 A、B 各有多远。你不需求把 P 强行拉直线去，你只需求在平面里画出 P、A、B 三个点，然后连接起来，形成一个夹角。
这时候，三角形 ABC 就出现了。你只需求知道 AB、BC、CA 这三条边的长度，要么知道其中两条边和它们之间的夹角，你就能算出第三条边。
这听起来是不是有点废话？
如何不是废话？出于这就是你脑子里的常识啊！你从小时候学起，就知道两边长，夹角多大，就能算出对角边多大，就连反过来求夹角。余弦定理，就是把这种隐性的直觉，显性化、公式化，并且，它还能处理那些我们当作不可能存有的“大角”情况。 当那个大角出现时，我们可能会认定公式写得有点怪，就连质疑是不是自己算错了。
确实，别急。在数学的世界里，有时候直觉是最不靠谱的。就像你听别人说“圆周率是 3.141592653589793..."，你也信过了挺久，可哪位能保证在你一辈子无法触及的地方，这个数字不会让你泄气呢？余弦定理就像是一个一辈子靠谱的“计算狂人”，它不在乎角是大是小，不在乎边是长是短，它只管把你的数据喂进去，然后吐出一串数字给你。 这种本事，在解决实际难题的时候，往往比那些死板的全等判定要实用得多。
比如在导航里，当你需求算两个点之间的最短距离，但中间有个障碍物挡住了，你没法直接连起来。
这时候，你只能绕道走，形成一个新的三角形。
这时候，你只需求知道两边和夹角，就能算出那堵墙的另一头到底多远。余弦定理就是那个能处理你现实世界复杂情况的“万能公式”。 它让我们明白，几何学里并没有那么多绝对的真理，更多的是我们如何在混乱中建立秩序。从前我们靠全等来保证严谨，目前靠余弦定理来保证计算的可能。
哪怕那个角长得像个魔鬼，哪怕边长看起来像个笑话，只要你还记得那个公式，你就能在混乱中找出那条通往答案的路。 故此，下次当你面对一个看起来“疯了”的三角形，比如两边 10，夹角 150 度，对边算出来正好是 10 的时候，别急着骂它。
那只是数学在说，嘿，世界就是这样，有时候，两边一样长，夹角要是如此大，那第三边就得有点脾气，但它依然，依然能给你算出结局。
这就是余弦定理，它不嫌弃那些大角度，出于它知道，所有的难题，最终都能被分解成两边和夹角。
只要你有这两样东西，你就能解开所有其他的谜题。