向量三点共线定理-向量三点共线定理

向量三点共线定理，说白了就是向量如何算如何求。
那会儿上学的时候，老师总把点积、模长、方向余弦这些概念搅在一起讲，让你认定头大。
实际上那会儿都是为了让公式好看，结局一用，味儿都不对了。 实际上，向量三点共线这事儿，核心就两个词：同向要么反向。
不管你是平面向量，还是空间向量，只要三个点 $A, B, C$ 排成一条直线，它们的向量 $vec{AB}$ 和 $vec{AC}$ 就得是平行的。
这就好比你拿两根筷子，只要它们能叠在一起要么推倒，就说明它们共线。 这时候咱们最常用的方式就是基底法。先挑个“万能”的向量作为基底，比如在一个平面里，就挑一个非零向量 $vec{m}$ 当主轴，然后随意选一个点 $O$，把其他两个向量 $vec{OA}$ 和 $vec{OB}$ 都用 $vec{m}$ 表示出来。
然后算出 $vec{OA}$ 和 $vec{OB}$ 的夹角 $theta$，最终用正弦函数算 $sintheta$。
要是 $sintheta=0$，那就说明角度要么是 $0$ 要么是 $pi$，这就是共线的铁证。 举个实际例子吧。假设在 $triangle ABC$ 里，点 $P$ 在 $BC$ 边上移动。为了搞清楚 $P$ 和 $A$ 的位置关系，我们能够设 $vec{BC} = vec{a}$，$vec{BA} = vec{b}$。
要是 $P$ 点在 $BC$ 上，那 $vec{BP}$ 肯定能够写成 $lambda vec{BC}$ 的形式，也就是 $vec{BP} = lambda vec{a}$。
这时候向量 $vec{AP}$ 就能够表示成了 $vec{b}$ 和 $vec{a}$ 的线性组合，系数和为 1。
只要这个条件知足，$vec{AP}$ 和 $vec{AB}$ 就一定是共线的，出于它们的起点和终点都在那条直线上。 再看空间的情况，比如长方体里的体对角线。设原点为 $O$，三个相邻棱长为 $x, y, z$。
那几条关键的对角线向量分别是 $vec{OA}=(x,y,z)$，$vec{OB}=(x,y,0)$，$vec{OC}=(x,0,z)$，$vec{OD}=(0,y,z)$，$vec{OE}=(0,y,0)$，$vec{OF}=(0,0,z)$。
要是我们要证明 $O, A, C$ 共线，实际上只需求看 $vec{OA}$ 和 $vec{OC}$ 的坐标是否成比例。
比如当 $x=1, y=2, z=3$ 时，$vec{OA}=(1,2,3)$，$vec{OC}=(1,0,3)$，显然这两个向量不能与此同时表示成同一个向量乘以常数，故此不共线。但要是取 $y=0$，那 $vec{OA}=(1,0,3)$，$vec{OC}=(1,0,3)$，它们彻底一样，自然共线了。 这里有个小窍门，有时候不用求角度，直接看参数方程。
比如直线 $l_1$ 经过点 $A$，方向向量 $vec{v_1}$；直线 $l_2$ 经过点 $B$，方向向量 $vec{v_2}$。两直线共线的话，$vec{v_1}$ 和 $vec{v_2}$ 就得平行。
要是算出它们的叉积 $vec{v_1} times vec{v_2} = vec{0}$，那就算 99% 的概率共线了。自然，这只是特例，严谨点还得代回公式验证一下。 实际上向量共线定理在选坐标系的选择题里时常能见到。选错原点害得基底搞错了，最终向量不成比例，那就没法做。
比如求直线方程，要是原点选在了直线中间某点，那 $vec{OA}$ 和 $vec{OB}$ 就不共线，后续的推导就得卡住了。
故此一启动定原点的位置就挺关键，最好选直线上的点要么特殊点。 另外，当三个点共线时，任意两个向量都共线。
反过来，要是任意两个向量都共线，那它们一定共线。
这就是共线的传递性。
有时候题目会故意给你两个不共线的向量，让你猜第三个向量是不是共线，这时候能够通过排除法要么代入验证。 最终总结一下吧，向量三点共线，就是看它们能不能用同一个基底线性表示，要么看方向余弦是不是 0。
不管是高中还是大学，这玩意儿都是根本功。
只要把基底选准，$vec{OA}$ 和 $vec{OB}$ 的夹角算出来，$sintheta$ 要是 0，那就稳了。也不用死记硬背那些复杂的行列式公式，朴素的代数运算往往更直观，也能避开大量低级毛病。希望这些体会能帮你在做题的时候少走弯路，毕竟数学这东西，悟得深了，比背再多公式都管用。