两个周期函数相加定理——两函数周期相加定理

同周期正弦+余弦

f(x)=sin x，g(x)=cos x

解：周期均为 2pi，比为1（有理数）。和为 sqrt{2}sin(x+pi/4)，最小正周期仍为 2pi。

✓ 易错点：误认为周期翻倍

周期为 pi 与 2pi

f(x)=tan x（周期 pi），g(x)=sin x（周期 2pi）

解：比为 1/2，可公度。和函数最小正周期为 2pi（因 tan x 在 pi 处有间断点，实际定义域需排除 frac{pi}{2}+kpi）。

⚠️ 注意：定义域交集非整个 mathbb{R} 时，需单独验证周期性

周期为 1 与 sqrt{2}

f(x)={x}（小数部分函数，周期1），g(x)=sin(2pi x/sqrt{2})

解：周期比 1 : sqrt{2} 为无理数，和函数为准周期函数，非周期函数。

周期为 2 与 3

f(x)=sin(pi x)（周期2），g(x)=cos(2pi x/3)（周期3）

解：比 2/3 为有理数。LCM(2,3)=6，最小正周期为6。

周期为 a 与 ka（kinmathbb{Z}^+）

f(x)=sin(x/a)，g(x)=sin(x/(ka))

解：周期分别为 2pi a 与 2pi ka，比为 1/k。和函数周期为 2pi ka。

周期为 T 的偶函数 + 周期为 T 的奇函数

f(-x)=f(x)，g(-x)=-g(x)

解：和函数 h(-x)=f(x)-g(x) neq pm h(x)，既非奇也非偶，但周期仍为 T（因 h(x+T)=f(x+T)+g(x+T)=f(x)+g(x)=h(x)）。

周期为 1 的 Dirichlet 函数 + 周期为 1 的 Thomae 函数

两者均周期为1，但和函数在有理点与无理点行为迥异，不满足周期函数定义（需在定义域内处处成立）。

⚠️ 结论：周期函数之和未必是周期函数（需考虑定义域完整性）

周期为 T 的函数 + 周期为 T 的常数函数

f(x+T)=f(x)，c(x)=C

解：和函数 f(x)+C 的最小正周期与 f(x) 相同。

周期为 2pi 的傅里叶级数部分和

S_n(x) = sum_{k=0}^n a_k cos(kx) + b_k sin(kx)

解：每一项周期为 2pi/k（kge1），整体周期为 2pi（因所有项在 2pi 处同步）。

周期为 T 的函数 + 周期为 T/2 的函数（非谐波）

f(x)=sin(2pi x/T)，g(x)=sin(4pi x/T + pi/3)

解：周期分别为 T 与 T/2，比为2（有理数）。和函数周期为 T（非 T/2），因 f(x+T/2) = -f(x)，g(x+T/2)=g(x)，故 h(x+T/2) = -f(x)+g(x) ne h(x)。

电路信号处理

在交流电路中，电压可表示为 V(t) = V_1 sin(omega_1 t) + V_2 sin(omega_2 t)。若 omega_1/omega_2 为有理数，则波形周期重复，可设计同步整流；若为无理数，则产生“拍频”现象，需用频谱分析处理。

通信系统中的调制

AM（调幅）信号：载波 cos(omega_c t) 与基带信号 m(t) 相乘（非相加），但频谱分析中需考虑各频率分量的周期性。若载波与调制信号频率比为有理数，则输出为周期信号，利于解调。

图像压缩与DCT变换

JPEG 标准使用二维离散余弦变换（DCT），其基函数为 cosleft(frac{pi u x}{N}right)。图像块的周期性假设直接影响压缩效率——若图像块近似周期，则高频分量较少，压缩比更高。

生物信号建模

心电信号（ECG）可近似为多个周期函数叠加（基波+谐波）。若各成分周期可公度，则信号严格周期，便于心律分析；若存在不可公度成分（如呼吸干扰），则信号呈准周期性，需用非线性动力学方法处理。