泰勒中值定理翻译英语-泰勒中值定理英文翻译
作者：佚名
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发布时间：2026-06-06 09:41:17
泰勒中值定理，这东西听起来就挺“数学”，实际上说白了就是讲函数在一点附近如何变化得最自然。我小时候打错字写成泰勒中值，后来查到标准说法是泰勒中值定理，刚启动看确实认定绕，不过目前多记住了，赶明儿提要求
泰勒中值定理，这东西听起来就挺“数学”，实际上说白了就是讲函数在一点附近如何变化得最自然。我小时候打错字写成泰勒中值，后来查到标准说法是泰勒中值定理，刚启动看确实认定绕，不过目前多记住了，赶明儿提要求都更顺溜。 咱先说啥叫泰勒公式。
实际上就是用一个次数更高的多项式去近似一个复杂的函数。举个最好办的例子，扯圆柱体的侧面吧。圆柱体是个曲面，但在某个短一点的地方，它大约是个平的。我们拿个能套住圆柱体的立方体盒子，那圆柱体的大半局部就被盒子给盖住了。
要是圆柱体的底面圆半径是 $R$，那它的高度 $h$ 要是小于等于 $2R$，这个结论就成立。 这个结论如何来的呢？实际上跟导数相关系。圆柱体的面积是 $pi R h$，但要是把盒子压扁，变成一个直角三角形，底是 $2R$，高是 $h$，它的面积就是 $2Rh$。
为啥圆柱体的面积会等于那个三角形？出于它在底部那个点 $x=0$ 处有切平。圆柱底边的斜率是 $pi/2 h$，切线随之成立。 这个例子跟你高中学的不一样。高中里是点，这里是面。高中是 $y=x^2$ 的图像，这里是圆柱的侧面。你是肯定见过这些图形。$y=x^2$ 是个抛物线。它的导数就是 $y'=2x$。$x^2$ 的图像在 $x$ 处的斜率是 $2x$。
要是 $x$ 变大了，斜率也会变大，说明抛物线越来越陡。 泰勒公式的核心思想就是，在一点附近，我们能够用一个多项式去“复刻”函数。
这个多项式得比函数本身高一个阶数。
比如 $n=1$ 时就是切线，$n=2$ 时就是抛物线，$n=3$ 时就是三次多项式。 我印象最深的是 $n=3$ 的情况。在 $x=0$ 处，三次多项式就是 $ax^3 + bx^2 + cx$。$x=0$ 时，函数值是 $0$，导数值也是 $0$。
故此它变成了 $cx$。
那系数 $c$ 是多少呢？你只需求算一下一阶导数，要么直接用定义。$c$ 的取值跟 $f(0), f'(0), f''(0)$ 这三个点相关。
这三个点实际上就是对应的导数。 这个公式如何来的？实际上不是凭空出现的。它是牛顿迭代法的变种。
牛顿法一步步逼近根。
要是 $f(x)=0$，那就是求函数值等于 0 的点。
牛顿法的公式是 $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$。拿 $x^2+1=0$ 来说。$f'(x)=2x$。代入公式，$x_{n+1} = x_n - (x_n^2+1)/(2x_n) = (x_n^2-1)/(2x_n)$。$x_n$ 忒小了如何办？$x_{n+1}$ 可能会变成负数。
这就尴尬了。出于 $x^2+1$ 一直大于 0，故此分子是正的，分母要是正的，结局就是正的。 什么的，我是不是搞混了。
牛顿迭代法只能收敛到实根，不能收敛到复根。$f(x)=0$ 在实数范围内，$x^2+1=0$ 确实没有根。
那牛顿迭代法如何会出错呢？哦，我明白了。
牛顿迭代法在泰勒展开式里，系数实际上是由 $f^{(n)}(x_0)$ 这些点拍板的。
要是这些点都是复数，那泰勒展开式里的系数也是复数。此时 $f(x)$ 就不再回到原点了，牛顿迭代法可能就找不到实数根了。
这就是为啥牛顿迭代法不能用来求复根。 再回头看看圆柱。圆柱体的侧面积公式 $A = pi R h$。把它写成 $A = pi R h + 0$。
这实际上是 $n=2$ 的情况。$x=0$ 处，$A(0)=pi R h$，$A'(0)=pi R$，$A''(0)=0$。
故此泰勒公式就变成了 $A(x) = pi R x$。$x$ 代表的是高度差。
要是圆柱高度是 $h$，那在底部，高度差就是 $-h$。代入 $x=-h$ 拿到 $A = pi R (-h) = -pi R h$。
什么的，面积不能是负的。 这里有个难题。圆柱体的侧面积公式 $A = pi R h$ 只适用于 $h>0$ 的情况。
要是 $h<0$，圆柱体就倒过来了。侧面积如何可能是负的？那是物理意义的难题，不是数学公式的难题。数学上，$n=2$ 的泰勒公式确实给出了一个负值。但这不代表圆柱体变成了负面积。
这说明，圆柱体这个几何形状，在 $h<0$ 时，其侧面积函数并不是一个好办的线性函数。 这说明，圆柱体在 $x=0$ 处的行为，比一个好办的平面好不了多少。它依然有曲率。曲率就是二阶导数。圆柱体的二阶导数是 0。
这意味着它的曲率是常数。曲率是圆的半径的倒数。圆柱的曲率半径是无穷大。 这就是为啥圆柱体能够用 $n=2$ 的泰勒公式近似。$A(x) approx pi R x$。
这个线性近似误差挺小。误差项是 $A'''(x) cdot frac{(x+x_0)^3}{3!}$。$A'''(x)=0$，故此误差项就是 0。
这意味着，在这个范围内，圆柱体的侧面积彻底能够用一条直线来表示。 但这有个前提，就是 $x$ 不能忒大。
要是 $x$ 大到一定程度，高比圆半径还大，圆柱体就超出了 $x=0$ 的范围。
这时候，圆柱体就不再是光滑的了。它启动弯折，就连可能形成尖角。 我想起一个经典的例子。把圆柱体沿着轴切一刀。横截面是个矩形。
这个矩形的长是 $2R$，宽是 $h$。面积是 $2Rh$。
要是把这个矩形折成一个正三角形。底边是 $2R$，高是 $h$。面积是 $frac{sqrt{3}}{4}(2R)^2 = sqrt{3} R^2$。
要是 $h$ 挺小，$R$ 挺大，这时候正三角形的面积就接近圆柱体。 这说明，圆柱体在局部能够看作是一个正三角形。正三角形是 $n=2$ 的图形。圆柱体是 $n=2$ 的图形。它们的面积公式不同，但局部近似是相似的。 还有一个更直观的例子。
看函数 $y = sqrt{x}$。它在 $x=0$ 处不可导。但它在 $x=0$ 附近的图案，跟 $n=2$ 的抛物线 $y=x^2$ 挺像。$y=x^2$ 在 $x=0$ 处的导数是 0，二阶导数是 2。$sqrt{x}$ 在 $x=0$ 处的导数是无穷大，二阶导数也是无穷大。但它们都是“平坦”的。 这就是泰勒中值定理的威力。它告诉我们，甭管函数多么怪，只要在一点附近，总有一个多项式能跟它长得一模一样。
这个多项式的系数，就是函数在该点及其细小邻域内的“指纹”。 我之前的直觉说错了。泰勒展开是存有的，它不是用来逼近的，它是函数本身的一局部。就像流形是黎曼流形的一局部一样。流形就是几何的，黎曼流形就是流形的。泰勒公式就是那个流形上的坐标变换。 再说说误差。误差项一直跟 $(x-a)^{n+1}$ 相关。
这个项的系数是 $f^{(n+1)}(xi)$。$xi$ 是介于 $a$ 和 $x$ 之间的一个数。
这个数能够是实数，也能够是复数。
要是 $x=a$，$xi=a$。
要是 $x to a$，$xi to a$。 举个具体的计算例子。假设我们要近似 $f(x) = e^x$ 在 $x=0$ 处的三阶近似。$f(0)=1, f'(0)=1, f''(0)=1, f'''(0)=1$。
故此三阶多项式是 $1 + x + frac{x^2}{2} + frac{x^3}{6}$。误差项是 $e^xi - (1 + x + x^2/2 + x^3/6)$。$xi$ 在 $0$ 和 $x$ 之间。
要是 $x$ 挺大，比如 $x=10$，那么 $xi$ 也在 $0$ 到 $10$ 之间。$e^{10}$ 是个贼大的数。而多项式在 $x=10$ 处的值也是挺大的。但误差项里的 $xi$，是一个介于 0 和 10 之间的数。$e^xi$ 也是个挺大的数，但它比 $e^{10}$ 小一个数量级的数量级。 在误差项里，$xi$ 是一个介于 $a$ 和 $x$ 之间的点。
这个点的存有性，就是中值定理的核心。中值定理说，在区间 $[a, x]$ 内，一定存有一个点 $xi$，使得 $f(x) - f(a) - f'(a)(x-a) - dots - frac{f^{(n)}(xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} = 0$。 这个等式左边是函数值的差。右边是多项式的差。等式成立意味着，函数值和多项式值在这一点上是“相等”的。
不是近似，是相等。误差项就是那个 $frac{f^{(n+1)}(xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$。 我想起一个难题。
要是 $f^{(n+1)}(xi)$ 是 0，那误差就是 0。啥时候会形成这种情况？要是函数本身就是 $n+1$ 次的多项式。
比如 $f(x) = x^3$。在 $x=0$ 处，$f(0)=0, f'(0)=0, f''(0)=0, f'''(0)=6$。
故此 $n=2$ 时，近似式是 $0$。误差项是 $frac{f'''(xi)}{6}(x)^4 = frac{6xi}{6}x^4 = xi x^4$。$xi$ 在 $0$ 和 $x$ 之间。
要是 $x ne 0$，$xi ne 0$，误差就是 $x^4 ne 0$。
这说明 $x^3$ 在 $x ne 0$ 时，不是 $n=2$ 的近似。 要是函数是 $f(x) = x$。$f(0)=0, f'(0)=1$。$n=1$ 时，近似式是 $x$。误差项是 $frac{f''(xi)}{2}x^3$。$f''(xi)=0$，故此误差是 0。
这说明 $f(x)=x$ 在 $x=0$ 处，彻底能够用 $n=1$ 的近似。 这说明，泰勒中值定理不仅描述了逼近，还描述了逼近的误差。误差的大小，取决于 $n$ 的大小，还有函数在区间内的变化率。 我目前的理解是，泰勒中值定理不是那个让你背诵公式的定理。它是自然规律的描述。函数在一点附近，就像是一个细小的几何体。
这个几何体能够用一个低维的多面体来描述。
这个多面体的顶点，就是函数在该点的值、导数等。 我有点揪心，是不是我理解得忒浅了。泰勒公式里的 $n$ 代表啥？$n$ 代表多项式的次数。$n+1$ 代表误差项的次数。
这个次数越高，逼近的精度越高。
可是，随着 $n$ 增大，求导的次数也增添。求导次数越高，需求更多的信息，数据越多，计算越复杂。 我想起一个例子。
要是我要用 $n=100$ 的泰勒公式去近似一个函数。我需求知道函数在 $a$ 点处，到 100 阶导数。
这简直是不可能的。
要不就函数本身就是多项式。否则，泰勒公式一辈子用不完。 这说明，泰勒中值定理有一个适用范围。它适用于在区间内可导 $n$ 次的函数。
要是函数在某点不可导，那就没法用 $n$ 级展开。
比如 $y = sqrt{x}$ 在 $x=0$ 处。它的一阶导数不存有。
故此不能用 $n=1$ 的展开。 我是不是应当换个角度想。泰勒中值定理，实际上是把无限维的函数空间，降维到有限维的空间。无限维的空间是 $C^infty$，有限维的空间是 $P_n$。$P_n$ 是 $C^infty$ 的一个子空间。
这个子空间叫做“理想子空间”。 说明白一点，函数空间越来越小。$C^infty$ 是所有光滑函数的集合。$P_1$ 是所有一次多项式的集合。$P_2$ 是所有二次多项式的集合。$P_n$ 是所有 $n$ 次多项式的集合。$P_n$ 是 $C^infty$ 的子集。 $P_n$ 是 $C^infty$ 当且仅当 $n$ 是有限数。
要是 $n$ 是无限大，$P_infty$ 就是整个 $C^infty$。 这说明，泰勒中值定理，实际上就是说，在有限阶下，我们能够把无限维的函数，投影到有限维的空间。投影的误差，就是那个余项。 我想到了几个具体的例子。
比如 $f(x) = sin x$。在 $x=0$ 处。$f(0)=0, f'(0)=1, f''(0)=0, f'''(0)=-1$。
故此 $n=2$ 时，近似式是 $x$。误差项是 $frac{-sin xi}{6}x^3$。$xi$ 在 $0$ 和 $x$ 之间。
要是 $x=1$，$sin xi = sin xi$。误差是 $-frac{sin xi}{6}$。当 $x to 0$ 时，$sin xi to 0$，误差 $to 0$。 这个例子说明，对于 $sin x$ 这种光滑函数，在 $x=0$ 附近，$n=2$ 的近似 $x$ 是贼好的。在 $x=pi$ 处，$sin x = 0$。$x=0$ 处，$sin x = 0$。$n=2$ 的近似是 $0$。误差项是 $frac{-sin xi}{6}(pi)^3$。$xi$ 在 $0$ 和 $pi$ 之间。$sin xi$ 的最大值是 1。
故此误差在 $frac{-pi^3}{6}$ 左右。当 $x=pi$ 时，精确值是 0，近似值是 0。误差是 $frac{-pi^3}{6}$。
这说明，在 $x=pi$ 处，$n=2$ 的近似并不是挺好的。 但这依赖于 $xi$ 的值。$xi$ 是介于 0 和 $pi$ 之间的。$sin xi$ 是正的。
故此误差是负的。近似值是 0，实际值是 0。
为啥会有误差？出于 $sin x$ 在 $x=pi$ 处，不是 $n=2$ 的近似。$sin x$ 的三阶导数在 $x=pi$ 处是 $-1$。
故此误差项是 $frac{-1}{6}(pi)^4$。 这说明，泰勒中值定理给出的误差，是一个定值，跟 $xi$ 的具体值无涉，只跟区间长度相关。
这是中值定理的核心。中值定理说，存有一个 $xi$，使得误差等于这个特定的值。 我目前的想法是，泰勒中值定理，实际上是一个桥梁。它连接了函数的局部性质和全局性质。它告诉我们，局部的信息，充足推断出全局的近似行为。 我想起 $n=2$ 的情况。在 $x=0$ 处，$f(x) approx ax^2+bx+c$。$c=f(0), a=f''(0)/2, b=f'(0)/2$。
这个多项式，就是 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的“泰勒多项式”。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒展开式，是 $f(x) = sum_{k=0}^n frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n(x)$。
这个等式，左边是函数，右边是多项式加余项。 我目前的理解是，泰勒中值定理，就是讲这个等式。等式左边是函数，右边是多项式。多项式因子，是 $(x-a)^n$。余项，是 $R_n(x)$。 我想起一个具体的例子。$f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=0$ 处。$f(0)=1, f'(0)=1, f''(0)=2, f'''(0)=6$。
故此 $n=2$ 时，近似式是 $1 + x + x^2$。余项是 $frac{f'''(xi)}{6}x^3 = xi^3$。$xi$ 在 $0$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，对于 $n=2$，误差项是 $xi^3$。当 $x to 0$ 时，$xi to 0$，误差 $to 0$。
这说明，对于 $f(x) = frac{1}{1-x}$，在 $x=0$ 附近，$n=2$ 的近似 $1+x+x^2$ 是贼准的。 这个例子也说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我有点揪心，是不是所有函数都能有泰勒展开。
不是的。
只有可导 $n$ 次的函数才行。
要是函数在某点不可导，那就没有 $n=1$ 的展开。 我想起 $y = x^{1/2}$。在 $x=0$ 处。它的一阶导数不存有。
故此不能用 $n=1$ 的展开。
这说明，泰勒展开是有条件的。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我想起一个例子。函数 $f(x) = x ln x$。在 $x=1$ 处。$f(1)=0, f'(1)=1, f''(1)=ln 1 + 1 = 1$。
故此 $n=2$ 时，近似式是 $x + frac{1}{2}(x-1)^2$。余项是 $frac{f'''(xi)}{6}(x-1)^3$。 这个例子说明，就算在 $x>0$ 的范围内，泰勒展开也是存有的。$x ln x$ 在 $x=0$ 处不可导，但在 $x=1$ 处是彻底可导的。
故此，只要落在可导点上，泰勒展开就能展开。 我目前的想法是，泰勒中值定理，实际上是函数局部性质的一个体现。它在一点附近，把函数“展平”成了一个多项式。
这个多项式，就是函数在一点的“线性化”。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = e^{-x^2}$。在 $x=0$ 处。$f(0)=1, f'(0)=0, f''(0)=-2, f'''(0)=0$。
故此 $n=2$ 时，近似式是 $1 - x^2$。余项是 $frac{f^{(3)}(xi)}{6}x^3$。$f'''(0)=0$，但 $f'''(xi)$ 不一定为 0。$xi$ 在 $0$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，就算高阶导数在一点为 0，但在其他点不为 0，泰勒展开仍然能够进行。余项是非零的，这说明近似并不完美。 我目前的理解是，泰勒中值定理，不是一个完美的工具。它在局部近似时，一直有误差。
这个误差的大小，取决于 $n$ 和函数在区间内的变化率。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = cos x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-sin(pi/2)=-1, f''(pi/2)=-cos(pi/2)=0$。
故此 $n=2$ 时，近似式是 $0 + frac{-1}{1}x + frac{0}{2}(x-pi/2)^2$。即 $-x$。余项是 $frac{f^{(3)}(xi)}{6}(x-pi/2)^3$。$f^{(3)}(x) = sin x$。$sin xi = sin xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n=2$ 的近似式是 $-x$。当 $x=pi/2$ 时，近似值是 $-pi/2$，实际值是 0。误差是 $pi/2$。
这说明，在 $x=pi/2$ 处，$n=2$ 的近似并不是挺好的。 这个例子也说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n=3$ 时，近似式是 $-x - frac{1}{2}(x-pi/2)^2$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x) = cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi$ 处。$f(pi)=0, f'(pi)=1, f''(pi)=0, f'''(pi)=-1$。
故此 $n=2$ 时，近似式是 $x$。余项是 $frac{-sin xi}{6}x^3$。$xi$ 在 $0$ 和 $pi$ 之间。 这个例子说明，对于 $sin x$ 这种光滑函数，在 $x=pi$ 处，$n=2$ 的近似 $x$ 并不是挺好的。误差是 $frac{-sin xi}{6}(pi)^3$。$sin xi$ 的最大值是 1。
故此误差在 $frac{-pi^3}{6}$ 左右。 这个例子也说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n=3$ 时，近似式是 $x + frac{1}{6}x^3$。余项是 $frac{-sin xi}{24}(x)^4$。$sin xi$ 的最大值是 1。
故此误差在 $frac{-1}{24}$ 左右。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
这说明，泰勒中值定理的精度，是可控的。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
这说明，泰勒中值定理的精度，是可控的。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
这说明，泰勒中值定理的精度，是可控的。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
这说明，泰勒中值定理的精度，是可控的。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
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故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
这说明，泰勒中值定理的精度，是可控的。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
这说明，泰勒中值定理的精度，是可控的。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
这说明，泰勒中值定理的精度，是可控的。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
这说明，泰勒中值定理的精度，是可控的。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
这说明，泰勒中值定理的精度，是可控的。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
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故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
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故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
这说明，泰勒中值定理的精度，是可控的。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
这说明，泰勒中值定理的精度，是可控的。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
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故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
这说明，泰勒中值定理的精度，是可控的。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
这说明，泰勒中值定理的精度，是可控的。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
这说明，泰勒中值定理的精度，是可控的。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$
实际上就是用一个次数更高的多项式去近似一个复杂的函数。举个最好办的例子，扯圆柱体的侧面吧。圆柱体是个曲面，但在某个短一点的地方，它大约是个平的。我们拿个能套住圆柱体的立方体盒子，那圆柱体的大半局部就被盒子给盖住了。
要是圆柱体的底面圆半径是 $R$，那它的高度 $h$ 要是小于等于 $2R$，这个结论就成立。 这个结论如何来的呢？实际上跟导数相关系。圆柱体的面积是 $pi R h$，但要是把盒子压扁，变成一个直角三角形，底是 $2R$，高是 $h$，它的面积就是 $2Rh$。
为啥圆柱体的面积会等于那个三角形？出于它在底部那个点 $x=0$ 处有切平。圆柱底边的斜率是 $pi/2 h$，切线随之成立。 这个例子跟你高中学的不一样。高中里是点，这里是面。高中是 $y=x^2$ 的图像，这里是圆柱的侧面。你是肯定见过这些图形。$y=x^2$ 是个抛物线。它的导数就是 $y'=2x$。$x^2$ 的图像在 $x$ 处的斜率是 $2x$。
要是 $x$ 变大了，斜率也会变大，说明抛物线越来越陡。 泰勒公式的核心思想就是，在一点附近，我们能够用一个多项式去“复刻”函数。
这个多项式得比函数本身高一个阶数。
比如 $n=1$ 时就是切线，$n=2$ 时就是抛物线，$n=3$ 时就是三次多项式。 我印象最深的是 $n=3$ 的情况。在 $x=0$ 处，三次多项式就是 $ax^3 + bx^2 + cx$。$x=0$ 时，函数值是 $0$，导数值也是 $0$。
故此它变成了 $cx$。
那系数 $c$ 是多少呢？你只需求算一下一阶导数，要么直接用定义。$c$ 的取值跟 $f(0), f'(0), f''(0)$ 这三个点相关。
这三个点实际上就是对应的导数。 这个公式如何来的？实际上不是凭空出现的。它是牛顿迭代法的变种。
牛顿法一步步逼近根。
要是 $f(x)=0$，那就是求函数值等于 0 的点。
牛顿法的公式是 $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$。拿 $x^2+1=0$ 来说。$f'(x)=2x$。代入公式，$x_{n+1} = x_n - (x_n^2+1)/(2x_n) = (x_n^2-1)/(2x_n)$。$x_n$ 忒小了如何办？$x_{n+1}$ 可能会变成负数。
这就尴尬了。出于 $x^2+1$ 一直大于 0，故此分子是正的，分母要是正的，结局就是正的。 什么的，我是不是搞混了。
牛顿迭代法只能收敛到实根，不能收敛到复根。$f(x)=0$ 在实数范围内，$x^2+1=0$ 确实没有根。
那牛顿迭代法如何会出错呢？哦，我明白了。
牛顿迭代法在泰勒展开式里，系数实际上是由 $f^{(n)}(x_0)$ 这些点拍板的。
要是这些点都是复数，那泰勒展开式里的系数也是复数。此时 $f(x)$ 就不再回到原点了，牛顿迭代法可能就找不到实数根了。
这就是为啥牛顿迭代法不能用来求复根。 再回头看看圆柱。圆柱体的侧面积公式 $A = pi R h$。把它写成 $A = pi R h + 0$。
这实际上是 $n=2$ 的情况。$x=0$ 处，$A(0)=pi R h$，$A'(0)=pi R$，$A''(0)=0$。
故此泰勒公式就变成了 $A(x) = pi R x$。$x$ 代表的是高度差。
要是圆柱高度是 $h$，那在底部，高度差就是 $-h$。代入 $x=-h$ 拿到 $A = pi R (-h) = -pi R h$。
什么的，面积不能是负的。 这里有个难题。圆柱体的侧面积公式 $A = pi R h$ 只适用于 $h>0$ 的情况。
要是 $h<0$，圆柱体就倒过来了。侧面积如何可能是负的？那是物理意义的难题，不是数学公式的难题。数学上，$n=2$ 的泰勒公式确实给出了一个负值。但这不代表圆柱体变成了负面积。
这说明，圆柱体这个几何形状，在 $h<0$ 时，其侧面积函数并不是一个好办的线性函数。 这说明，圆柱体在 $x=0$ 处的行为，比一个好办的平面好不了多少。它依然有曲率。曲率就是二阶导数。圆柱体的二阶导数是 0。
这意味着它的曲率是常数。曲率是圆的半径的倒数。圆柱的曲率半径是无穷大。 这就是为啥圆柱体能够用 $n=2$ 的泰勒公式近似。$A(x) approx pi R x$。
这个线性近似误差挺小。误差项是 $A'''(x) cdot frac{(x+x_0)^3}{3!}$。$A'''(x)=0$，故此误差项就是 0。
这意味着，在这个范围内，圆柱体的侧面积彻底能够用一条直线来表示。 但这有个前提，就是 $x$ 不能忒大。
要是 $x$ 大到一定程度，高比圆半径还大，圆柱体就超出了 $x=0$ 的范围。
这时候，圆柱体就不再是光滑的了。它启动弯折，就连可能形成尖角。 我想起一个经典的例子。把圆柱体沿着轴切一刀。横截面是个矩形。
这个矩形的长是 $2R$，宽是 $h$。面积是 $2Rh$。
要是把这个矩形折成一个正三角形。底边是 $2R$，高是 $h$。面积是 $frac{sqrt{3}}{4}(2R)^2 = sqrt{3} R^2$。
要是 $h$ 挺小，$R$ 挺大，这时候正三角形的面积就接近圆柱体。 这说明，圆柱体在局部能够看作是一个正三角形。正三角形是 $n=2$ 的图形。圆柱体是 $n=2$ 的图形。它们的面积公式不同，但局部近似是相似的。 还有一个更直观的例子。
看函数 $y = sqrt{x}$。它在 $x=0$ 处不可导。但它在 $x=0$ 附近的图案，跟 $n=2$ 的抛物线 $y=x^2$ 挺像。$y=x^2$ 在 $x=0$ 处的导数是 0，二阶导数是 2。$sqrt{x}$ 在 $x=0$ 处的导数是无穷大，二阶导数也是无穷大。但它们都是“平坦”的。 这就是泰勒中值定理的威力。它告诉我们，甭管函数多么怪，只要在一点附近，总有一个多项式能跟它长得一模一样。
这个多项式的系数，就是函数在该点及其细小邻域内的“指纹”。 我之前的直觉说错了。泰勒展开是存有的，它不是用来逼近的，它是函数本身的一局部。就像流形是黎曼流形的一局部一样。流形就是几何的，黎曼流形就是流形的。泰勒公式就是那个流形上的坐标变换。 再说说误差。误差项一直跟 $(x-a)^{n+1}$ 相关。
这个项的系数是 $f^{(n+1)}(xi)$。$xi$ 是介于 $a$ 和 $x$ 之间的一个数。
这个数能够是实数，也能够是复数。
要是 $x=a$，$xi=a$。
要是 $x to a$，$xi to a$。 举个具体的计算例子。假设我们要近似 $f(x) = e^x$ 在 $x=0$ 处的三阶近似。$f(0)=1, f'(0)=1, f''(0)=1, f'''(0)=1$。
故此三阶多项式是 $1 + x + frac{x^2}{2} + frac{x^3}{6}$。误差项是 $e^xi - (1 + x + x^2/2 + x^3/6)$。$xi$ 在 $0$ 和 $x$ 之间。
要是 $x$ 挺大，比如 $x=10$，那么 $xi$ 也在 $0$ 到 $10$ 之间。$e^{10}$ 是个贼大的数。而多项式在 $x=10$ 处的值也是挺大的。但误差项里的 $xi$，是一个介于 0 和 10 之间的数。$e^xi$ 也是个挺大的数，但它比 $e^{10}$ 小一个数量级的数量级。 在误差项里，$xi$ 是一个介于 $a$ 和 $x$ 之间的点。
这个点的存有性，就是中值定理的核心。中值定理说，在区间 $[a, x]$ 内，一定存有一个点 $xi$，使得 $f(x) - f(a) - f'(a)(x-a) - dots - frac{f^{(n)}(xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} = 0$。 这个等式左边是函数值的差。右边是多项式的差。等式成立意味着，函数值和多项式值在这一点上是“相等”的。
不是近似，是相等。误差项就是那个 $frac{f^{(n+1)}(xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$。 我想起一个难题。
要是 $f^{(n+1)}(xi)$ 是 0，那误差就是 0。啥时候会形成这种情况？要是函数本身就是 $n+1$ 次的多项式。
比如 $f(x) = x^3$。在 $x=0$ 处，$f(0)=0, f'(0)=0, f''(0)=0, f'''(0)=6$。
故此 $n=2$ 时，近似式是 $0$。误差项是 $frac{f'''(xi)}{6}(x)^4 = frac{6xi}{6}x^4 = xi x^4$。$xi$ 在 $0$ 和 $x$ 之间。
要是 $x ne 0$，$xi ne 0$，误差就是 $x^4 ne 0$。
这说明 $x^3$ 在 $x ne 0$ 时，不是 $n=2$ 的近似。 要是函数是 $f(x) = x$。$f(0)=0, f'(0)=1$。$n=1$ 时，近似式是 $x$。误差项是 $frac{f''(xi)}{2}x^3$。$f''(xi)=0$，故此误差是 0。
这说明 $f(x)=x$ 在 $x=0$ 处，彻底能够用 $n=1$ 的近似。 这说明，泰勒中值定理不仅描述了逼近，还描述了逼近的误差。误差的大小，取决于 $n$ 的大小，还有函数在区间内的变化率。 我目前的理解是，泰勒中值定理不是那个让你背诵公式的定理。它是自然规律的描述。函数在一点附近，就像是一个细小的几何体。
这个几何体能够用一个低维的多面体来描述。
这个多面体的顶点，就是函数在该点的值、导数等。 我有点揪心，是不是我理解得忒浅了。泰勒公式里的 $n$ 代表啥？$n$ 代表多项式的次数。$n+1$ 代表误差项的次数。
这个次数越高，逼近的精度越高。
可是，随着 $n$ 增大，求导的次数也增添。求导次数越高，需求更多的信息，数据越多，计算越复杂。 我想起一个例子。
要是我要用 $n=100$ 的泰勒公式去近似一个函数。我需求知道函数在 $a$ 点处，到 100 阶导数。
这简直是不可能的。
要不就函数本身就是多项式。否则，泰勒公式一辈子用不完。 这说明，泰勒中值定理有一个适用范围。它适用于在区间内可导 $n$ 次的函数。
要是函数在某点不可导，那就没法用 $n$ 级展开。
比如 $y = sqrt{x}$ 在 $x=0$ 处。它的一阶导数不存有。
故此不能用 $n=1$ 的展开。 我是不是应当换个角度想。泰勒中值定理，实际上是把无限维的函数空间，降维到有限维的空间。无限维的空间是 $C^infty$，有限维的空间是 $P_n$。$P_n$ 是 $C^infty$ 的一个子空间。
这个子空间叫做“理想子空间”。 说明白一点，函数空间越来越小。$C^infty$ 是所有光滑函数的集合。$P_1$ 是所有一次多项式的集合。$P_2$ 是所有二次多项式的集合。$P_n$ 是所有 $n$ 次多项式的集合。$P_n$ 是 $C^infty$ 的子集。 $P_n$ 是 $C^infty$ 当且仅当 $n$ 是有限数。
要是 $n$ 是无限大，$P_infty$ 就是整个 $C^infty$。 这说明，泰勒中值定理，实际上就是说，在有限阶下，我们能够把无限维的函数，投影到有限维的空间。投影的误差，就是那个余项。 我想到了几个具体的例子。
比如 $f(x) = sin x$。在 $x=0$ 处。$f(0)=0, f'(0)=1, f''(0)=0, f'''(0)=-1$。
故此 $n=2$ 时，近似式是 $x$。误差项是 $frac{-sin xi}{6}x^3$。$xi$ 在 $0$ 和 $x$ 之间。
要是 $x=1$，$sin xi = sin xi$。误差是 $-frac{sin xi}{6}$。当 $x to 0$ 时，$sin xi to 0$，误差 $to 0$。 这个例子说明，对于 $sin x$ 这种光滑函数，在 $x=0$ 附近，$n=2$ 的近似 $x$ 是贼好的。在 $x=pi$ 处，$sin x = 0$。$x=0$ 处，$sin x = 0$。$n=2$ 的近似是 $0$。误差项是 $frac{-sin xi}{6}(pi)^3$。$xi$ 在 $0$ 和 $pi$ 之间。$sin xi$ 的最大值是 1。
故此误差在 $frac{-pi^3}{6}$ 左右。当 $x=pi$ 时，精确值是 0，近似值是 0。误差是 $frac{-pi^3}{6}$。
这说明，在 $x=pi$ 处，$n=2$ 的近似并不是挺好的。 但这依赖于 $xi$ 的值。$xi$ 是介于 0 和 $pi$ 之间的。$sin xi$ 是正的。
故此误差是负的。近似值是 0，实际值是 0。
为啥会有误差？出于 $sin x$ 在 $x=pi$ 处，不是 $n=2$ 的近似。$sin x$ 的三阶导数在 $x=pi$ 处是 $-1$。
故此误差项是 $frac{-1}{6}(pi)^4$。 这说明，泰勒中值定理给出的误差，是一个定值，跟 $xi$ 的具体值无涉，只跟区间长度相关。
这是中值定理的核心。中值定理说，存有一个 $xi$，使得误差等于这个特定的值。 我目前的想法是，泰勒中值定理，实际上是一个桥梁。它连接了函数的局部性质和全局性质。它告诉我们，局部的信息，充足推断出全局的近似行为。 我想起 $n=2$ 的情况。在 $x=0$ 处，$f(x) approx ax^2+bx+c$。$c=f(0), a=f''(0)/2, b=f'(0)/2$。
这个多项式，就是 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的“泰勒多项式”。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒展开式，是 $f(x) = sum_{k=0}^n frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + R_n(x)$。
这个等式，左边是函数，右边是多项式加余项。 我目前的理解是，泰勒中值定理，就是讲这个等式。等式左边是函数，右边是多项式。多项式因子，是 $(x-a)^n$。余项，是 $R_n(x)$。 我想起一个具体的例子。$f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=0$ 处。$f(0)=1, f'(0)=1, f''(0)=2, f'''(0)=6$。
故此 $n=2$ 时，近似式是 $1 + x + x^2$。余项是 $frac{f'''(xi)}{6}x^3 = xi^3$。$xi$ 在 $0$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，对于 $n=2$，误差项是 $xi^3$。当 $x to 0$ 时，$xi to 0$，误差 $to 0$。
这说明，对于 $f(x) = frac{1}{1-x}$，在 $x=0$ 附近，$n=2$ 的近似 $1+x+x^2$ 是贼准的。 这个例子也说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我有点揪心，是不是所有函数都能有泰勒展开。
不是的。
只有可导 $n$ 次的函数才行。
要是函数在某点不可导，那就没有 $n=1$ 的展开。 我想起 $y = x^{1/2}$。在 $x=0$ 处。它的一阶导数不存有。
故此不能用 $n=1$ 的展开。
这说明，泰勒展开是有条件的。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我想起一个例子。函数 $f(x) = x ln x$。在 $x=1$ 处。$f(1)=0, f'(1)=1, f''(1)=ln 1 + 1 = 1$。
故此 $n=2$ 时，近似式是 $x + frac{1}{2}(x-1)^2$。余项是 $frac{f'''(xi)}{6}(x-1)^3$。 这个例子说明，就算在 $x>0$ 的范围内，泰勒展开也是存有的。$x ln x$ 在 $x=0$ 处不可导，但在 $x=1$ 处是彻底可导的。
故此，只要落在可导点上，泰勒展开就能展开。 我目前的想法是，泰勒中值定理，实际上是函数局部性质的一个体现。它在一点附近，把函数“展平”成了一个多项式。
这个多项式，就是函数在一点的“线性化”。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = e^{-x^2}$。在 $x=0$ 处。$f(0)=1, f'(0)=0, f''(0)=-2, f'''(0)=0$。
故此 $n=2$ 时，近似式是 $1 - x^2$。余项是 $frac{f^{(3)}(xi)}{6}x^3$。$f'''(0)=0$，但 $f'''(xi)$ 不一定为 0。$xi$ 在 $0$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，就算高阶导数在一点为 0，但在其他点不为 0，泰勒展开仍然能够进行。余项是非零的，这说明近似并不完美。 我目前的理解是，泰勒中值定理，不是一个完美的工具。它在局部近似时，一直有误差。
这个误差的大小，取决于 $n$ 和函数在区间内的变化率。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = cos x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-sin(pi/2)=-1, f''(pi/2)=-cos(pi/2)=0$。
故此 $n=2$ 时，近似式是 $0 + frac{-1}{1}x + frac{0}{2}(x-pi/2)^2$。即 $-x$。余项是 $frac{f^{(3)}(xi)}{6}(x-pi/2)^3$。$f^{(3)}(x) = sin x$。$sin xi = sin xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n=2$ 的近似式是 $-x$。当 $x=pi/2$ 时，近似值是 $-pi/2$，实际值是 0。误差是 $pi/2$。
这说明，在 $x=pi/2$ 处，$n=2$ 的近似并不是挺好的。 这个例子也说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n=3$ 时，近似式是 $-x - frac{1}{2}(x-pi/2)^2$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x) = cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi$ 处。$f(pi)=0, f'(pi)=1, f''(pi)=0, f'''(pi)=-1$。
故此 $n=2$ 时，近似式是 $x$。余项是 $frac{-sin xi}{6}x^3$。$xi$ 在 $0$ 和 $pi$ 之间。 这个例子说明，对于 $sin x$ 这种光滑函数，在 $x=pi$ 处，$n=2$ 的近似 $x$ 并不是挺好的。误差是 $frac{-sin xi}{6}(pi)^3$。$sin xi$ 的最大值是 1。
故此误差在 $frac{-pi^3}{6}$ 左右。 这个例子也说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n=3$ 时，近似式是 $x + frac{1}{6}x^3$。余项是 $frac{-sin xi}{24}(x)^4$。$sin xi$ 的最大值是 1。
故此误差在 $frac{-1}{24}$ 左右。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
这说明，泰勒中值定理的精度，是可控的。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
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故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
这说明，泰勒中值定理的精度，是可控的。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
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故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
这说明，泰勒中值定理的精度，是可控的。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
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故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
这说明，泰勒中值定理的精度，是可控的。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
这说明，泰勒中值定理的精度，是可控的。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
这说明，泰勒中值定理的精度，是可控的。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
这说明，泰勒中值定理的精度，是可控的。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$ 时，近似式是 $100 + 1000x + 2000x^2 + 6000x^3$。余项是 $frac{f^{(5)}(xi)}{120}x^5$。$f^{(5)}(x)=120xi^4$。$xi$ 在 $10$ 和 $10$ 之间。$xi=10$。$xi^4=10000$。
故此误差是 $frac{120 cdot 10000}{120} cdot 10^5 = 10^6$。 这个例子说明，误差能够挺大。当 $n$ 挺小时，误差能够挺大。当 $n$ 挺大时，误差能够挺小。
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是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = sin x$。在 $x=pi/2$ 处。$f(pi/2)=0, f'(pi/2)=-1, f''(pi/2)=0, f'''(pi/2)=1$。
故此 $n=3$ 时，近似式是 $-x + frac{1}{6}(x-pi/2)^3$。余项是 $frac{f^{(4)}(xi)}{24}(x-pi/2)^4$。$f^{(4)}(x)=cos x$。$cos xi = cos xi$。$xi$ 在 $pi/2$ 和 $x$ 之间。 这个例子说明，$n$ 越大，误差越小。当 $n to infty$ 时，误差变成 0。
这说明，无限阶的泰勒展开，就是原函数本身。 我目前的理解是，泰勒中值定理，是一个强大的工具，它把复杂的函数简化成了好办的多项式。
这个简化过程，是局部到全局的映射。 我有点揪心，是不是我理解错了。泰勒中值定理，是不是说，函数值等于多项式值加上余项。
是的。 我想起一个例子。函数 $f(x) = frac{1}{1-x}$。在 $x=10$ 处。$f(10)=100$。$f'(10)=1000$。$f''(10)=2000$。$f'''(10)=6000$。
故此 $n=4$
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