例1：验证 f(x) = sqrt{x} 在 [1,∞) 上是否一致连续
思路：利用 Lipschitz 条件或中值定理
解：
对任意
x, y ≥ 1，不妨设
x > y，由拉格朗日中值定理：
|f(x) − f(y)| = |f′(c)|(x−y) = frac{1}{2sqrt{c}} |x−y| ≤ frac{1}{2} |x−y| （因 c ≥ 1）
故取
δ = 2ε，当 |x−y| < δ 时，有 |f(x)−f(y)| < ε。
结论：
一致连续（且是 Lipschitz 连续）
延伸：若区间为 (0,1]，则不能用 Lipschitz，但因可延拓为 [0,1] 上连续函数，仍一致连续。
例2：证明 f(x) = sin(x²) 在 (0,∞) 上不一致连续
关键：震荡频率随 x 增大而加快，振幅不变
解：
取
ε₀ = 1。对任意
δ > 0，取正整数
n 使得：
xₙ = sqrt{2nπ + frac{π}{2}}, quad yₙ = sqrt{2nπ}
则：
|xₙ − yₙ| = frac{π/2}{sqrt{2nπ + π/2} + sqrt{2nπ}} → 0（当
n→∞）
但：
|f(xₙ) − f(yₙ)| = |sin(2nπ + π/2) − sin(2nπ)| = |1 − 0| = 1 ≥ ε₀
结论：不一致连续
例3：设 f 在 ℝ 上一致连续，且对任意 x，数列 f(x+n) 收敛，证明：lim_{x→∞} f(x) 存在
思路：利用一致连续控制“步长误差”，再用收敛性得极限
解：
令
aₙ = f(n)，由题设知
aₙ 收敛，设极限为
L。
对任意
ε > 0，由一致连续性，存在
δ > 0，使 |x−y| < δ ⇒ |f(x)−f(y)| < ε/2。
取整数
N，使当
n ≥ N 时 |aₙ − L| < ε/2。
对任意
x > N+1，取整数
n ≥ N 使
n ≤ x < n+1，则 |x−n| < 1。
若取
δ = 1（或更小），则：
|f(x) − L| ≤ |f(x) − f(n)| + |f(n) − L| < ε/2 + ε/2 = ε
结论：
lim_{x→∞} f(x) = L
例4：证明：若 f ∈ C[a,∞) 且 lim_{x→∞} f(x) = A 存在，则 f 在 [a,∞) 上一致连续
经典结论，常作为大题或证明题核心步骤
标准证明：
对任意 ε > 0：
• 由极限存在，存在 M > a，使当 x > M 时 |f(x)−A| < ε/3
• 在 [a, M+1] 上，f 一致连续（闭区间连续），故存在 δ₁ > 0，使对 x,y ∈ [a,M+1]，|x−y| < δ₁ ⇒ |f(x)−f(y)| < ε
• 令 δ = min{δ₁, 1}，对任意 x,y ∈ [a,∞) 且 |x−y| < δ：
− 若 x,y ≤ M+1，则 |f(x)−f(y)| < ε
− 若 x > M，则 y > M−δ ≥ M−1，故 f(x),f(y) ∈ (A−ε/3, A+ε/3)，得 |f(x)−f(y)| < 2ε/3 < ε
证毕
例5：设 f 在 ℝ 上满足 |f(x)−f(y)| ≤ |x−y|^{α}（α > 1），证明 f 为常数
高阶技巧：利用一致连续与可导性关系
解：
对任意
x，考虑差商：
left| frac{f(x+h) − f(x)}{h} right| ≤ |h|^{α−1} → 0 quad (h→0)
故 f′(x) = 0 对所有 x 成立 ⇒ f 为常数
注：此题本质用到了一致连续 ⇒ 连续 ⇒ 可导（导数为零），是
一致连续性与微分学的深刻联系
