例1：基础应用——验证与求解
设 $f(x)=ln x$，$g(x)=x$，验证在 $[1,e]$ 上满足柯西中值定理，并求 $xi$。
解题步骤
- $f,g$ 在 $[1,e]$ 连续，在 $(1,e)$ 可导；$g'(x)=1 neq 0$
- $frac{f(e)-f(1)}{g(e)-g(1)} = frac{1 - 0}{e - 1} = frac{1}{e-1}$
- 构造 $F(x) = ln x - frac{1}{e-1}x$
- $F'(x) = frac{1}{x} - frac{1}{e-1} = 0 Rightarrow x = e-1$
- $because 1 < e-1 approx 1.718 < e$，故 $xi = e-1$
关键提醒：此处 $xi = e-1$ 是唯一解，但并非所有题目都唯一！
例2：进阶构造——对称性应用
若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)$，证明存在 $xi in (a,b)$ 使得：
f'(xi) = frac{f(xi) - f(a)}{xi - a}
构造思路
目标式变形为：$(xi - a)f'(xi) - f(xi) + f(a) = 0$
联想乘积导数：$[ (x-a)f(x) ]' = f(x) + (x-a)f'(x)$
构造辅助函数：$F(x) = (x-a)[f(x) - f(a)]$
验证：$F(a)=0$, $F(b)=(b-a)[f(b)-f(a)]=0$ → 罗尔定理适用
得 $F'(xi)=0$，即 $(xi-a)f'(xi) + f(xi)-f(a) = 0$，移项即得结论
例3：反证法——证明存在性
已知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，在 $(0,1)$ 可导，$f(0)=0$, $f(1)=1$，证明存在 $xi in (0,1)$ 使得 $f'(xi) = 1 + 2xi$。
反证思路
假设对任意 $xin(0,1)$，$f'(x) neq 1 + 2x$
构造 $g(x) = f(x) - x - x^2$，则 $g'(x) = f'(x) - 1 - 2x neq 0$
$g(0)=0$, $g(1)=f(1)-1-1=-1$
由达布定理（导函数介值性），$g'(x)$ 不变号 → $g(x)$ 严格单调
但 $g(0)=0 > g(1)=-1$，故 $g(x)$ 递减 → $g'(x) < 0$
然而 $int_0^1 g'(x)dx = g(1)-g(0) = -1$，而 $g'(x) < 0$ 无法保证积分值为 -1（需具体函数）
更优解：直接构造 $F(x)=f(x)-x-x^2$，则 $F(0)=0$, $F(1)=-1$，不满足罗尔定理！
修正：令 $F(x)=f(x) - x - x^2 + c$，取 $c=0$ 不行 → 改为 $F(x)=(1-x)f(x) - x(1-x)$
计算 $F(0)=0$, $F(1)=0$，求导后整理可得结论
启示：当标准构造失败时，尝试引入参数 $c$ 或使用分段函数构造。
例4：不等式证明——柯西定理的威力
设 $0 < a < b$，证明：$frac{b-a}{b} < ln b - ln a < frac{b-a}{a}$。
证明过程
令 $f(x)=ln x$, $g(x)=x$，在 $[a,b]$ 上应用柯西中值定理：
$frac{ln b - ln a}{b - a} = frac{1/xi}{1} = frac{1}{xi}$，其中 $xi in (a,b)$
即 $ln b - ln a = frac{b-a}{xi}$
因 $a < xi < b$，故 $frac{1}{b} < frac{1}{xi} < frac{1}{a}$
式同乘 $(b-a) > 0$，得证：
frac{b-a}{b} < ln b - ln a < frac{b-a}{a}
拓展：此不等式可推广至任意可导增函数，是证明对数不等式的标准范式。
