圆的相关定理-圆相关定理

圆：画出去的那圈 圆，这东西看着挺“圆”的，实际上它是个挺“狠”的几何模型。想象一下，你拿根绳子，一头绑个钉子，手里拿着剪刀，只要剪得够狠，剪得够对，你拿到的这条线，就是圆。
这跟那会儿学的那些死板的公式没毛病，但它给人的感觉，比长方形和三角形要让人心里发毛。 那会儿学多边形，老师会说“点动成线”。圆呢？是“曲线绕轴转”。
这听起来有点玄乎，但做起来特别顺眼。
你想想那个圆规，那个铁钉就是圆心，那个尖头就是半径。画圆的时候，你就是个旋转机。但这机器忒“横”，它不会像正方形那样四个角死板地挨着。它让你认定，只要圆心在那，半径在那，剩下的空间就全自由了。 这自由感，往往害得了一些“不合理”要么“反直觉”的结论。
比方说，圆里的弦，有时候比直径还短，有时候却能接住两条直径。
这听起来像废话，但你别急，圆里的弦、弓形、扇形，这些玩意儿实际上特别“讲究”。 你要看一个圆，别只看它圆溜溜的周长。得看它的“空隙”。
那是弓形。
要是你画个圆，从头顶戳下来一刀切，下面那块弯弯的蛋糕片，就是弓形。
这块面积，如何算？别拿梯形那个笨办法来，圆有圆自己的算法。 举个例子，假设你有个半径 r 的圆。
你想算弓形的面积，自然得先把圆面积挖去一个扇形。扇形面积好算，就是 $frac{n}{360} times pi r^2$。剩下的，就是那个“亏”掉的三角形局部。
这个三角形，底边是弦长，高就是半径。
这就有点“不完美”了，出于三角形的高不一定落在底边上，要不就这个弦是直径。 要是弦不是直径呢？这时候就得小心点。圆里的弓形面积，实际上等于扇形面积减去那个不规则的三角形。
这个“三角形”是暴力解法，出于它不垂直于底边。
可是，只要你知道弦长和半径，要么知道圆心角，你就能推导出这个面积公式。 比如，你有个半径为 10 的圆。你切出去一个弓形，弦长是 12。
这时候，弦心距（也就是圆心到弦的垂直距离）是多少？勾股定理算一下：$x^2 + 6^2 = 10^2$，哦，这算出来弦心距是 8。
这就意味着，弓形的高度是 $10 - 8 = 2$。 那这个弓形面积呢？扇形的圆心角是多少？用三角函数算，$arccos(12/20)$ 这个反正切值得算出来，大约是 $53.13$ 度。扇形面积是 $frac{53.13}{360} times pi times 100 approx 45.2$。再减去那个底为 12、高为 8 的三角形面积 $0.5 times 12 times 8 = 48$？
什么的，这不对，三角形面积要是底乘以高再除以 2，这里高是 8。$0.5 times 12 times 8 = 48$。
那弓形面积是 $45.2 - 48$？负数了？这如何回事？ 啊，我刚刚算反了。弦长 12，半径 10。弦心距是 8。扇形的圆心角对应的扇形面积是 $frac{1}{2} r^2 theta$。三角形面积是 $frac{1}{2} times text{base} times text{height}$。
这里 base 是弦长 12，height 是 8。面积是 48。扇形面积是 $frac{1}{2} times 100 times arccos(6/10)$。$arccos(0.6)$ 约等于 $53.13$ 度，即 $53.13 times frac{pi}{180} approx 0.927$ 弧度。
那么扇形面积是 $0.5 times 100 times 0.927 = 46.35$。弓形面积 $46.35 - 48$ 还是错的。 哪儿出了难题？哦，弦长是 12，半径 10。弦心距 $sqrt{100 - 36} = sqrt{64} = 8$。没难题。
那扇形的圆心角，弦把圆分成的两个弧中，优弧对应的圆心角是 $360 - 2 alpha$，其中 $alpha$ 是半角。$sin(alpha/2) = 6/10 = 0.6$。$alpha/2 = arcsin(0.6) approx 36.87$ 度。总圆心角 $73.74$ 度。扇形面积 $frac{73.74}{360} times pi times 100 approx 63.1$。三角形面积 $0.5 times 12 times 8 = 48$。弓形面积 $63.1 - 48 = 15.1$。
对，这就合理了。 你看，圆里的东西，有时候非你莫属。
比如切蛋糕切得最薄的时候，就是弓形面积最小的情况，啥时候？当弦离圆心最近的时候，也就是弦心距最大也就是半径的时候。但这不可能，出于半径就是最大距离。
故此弦长越大，弓形面积越大。
这就解释了为啥圆里的弦越长，剩下的那块月牙就越像个大饼。 还有扇形呢。扇形是圆心角的一局部。
要是圆心角是 180 度，那就是半圆，面积自然是 $frac{1}{2} pi r^2$。
要是圆心角是 360 度，那就是整个圆。 圆还有内接和外接的变体。
比如圆内接等腰三角形，它的底边长等于半径。
这听起来像废话，但在画图的时候，你感觉它挺“正”。外切圆呢，就是和三角形各边都相切的那个圆。 有时候你会认定圆忒“懒”了。它不一定要把点死死地围住，有时候它只是轻轻碰一下。
比方说，圆外切于一个三角形，这个三角形的三个顶点，就在圆的圆周上。
反过来，圆内接于一个三角形，三角形的三个顶点就在圆周上。
这就像两个圈套住了一个圈，要么一个圈套住了两个圈。 这种嵌套关系，有时候会让人们形成错觉。
比方说，画一个圆，然后在里面画一个内接正三角形。你会发现，这个三角形的高，刚好等于圆的半径。
这是一个贼特殊的巧合，也是几何之美所在。 再看圆与圆相交。两个圆相交，会分成四个弓形。
这四个弓形的面积，实际上都跟两个圆的半径、公切线要么连心线相关。
要是两个圆半径相等，那这四个弓形是全等的吗？不一定，得看如何交。 举个更生活化的例子，想象两个大小一样的篮球，在地板上碰到。它们在地板上留下的印记，实际上是个圆，对吧？这个印记的圆心是两球心连线中点。
这个印记的半径如何算？就是两个半径的一半加上它们公切线的距离。
这跟圆叠在一起，要么两个圆相交，结论是一样的。 实际上，圆教给我们的，有时候挺让人意外的。它不像多边形那样让人眼花缭乱，出于它没有那么多固定的角和边。它准存有“无限”的概念，别看画出来是有限长度。它的面积如何算，公式是 $pi r^2$。
这个 $pi$ 是个无理数，是个常数，跟圆的形状相关，跟具体的数字没关系。
这让人认定，圆是最纯粹的“数学之圆”。 有时候，圆还会用来做“误差”的可视化。
比如测量数据，要是误差挺小，圆切得越平，误差就越小。
要是误差大，圆就变成个倾斜的椭圆了。
这就是为啥在大量科学图表里，为了好看，喜爱画个圆，哪怕数据本来就不准。 最终回个头，圆。它画在纸上，是个完美的图形。但在数学里，它包含了大量其他图形的“影子”。它是扇形的容器，是弓形的边界，是内接圆的极限。它没有名字，没有中心，除了它是圆心。 圆的魅力，就在于它把复杂的计算简化成了好办的加减乘除。别看那些 $pi$ 和反正切值让人头疼，但只要你手上有圆规，心里有公式，圆实际上挺好算的。它告诉你，有时候，最完美的样子，就是看透了它的规则。