戴德金定理 证明

? 戴德金分割的形式定义

个戴德金分割将有理数集 ℚ 分为两个非空子集 A 和 B，满足：A 中的每个元素都小于 B 中的每个元素，且 A 无最大元。这个分割就定义了一个唯一的实数。

例如，定义 A = { x ∈ ℚ | x² < 2 或 x < 0 }，则对应的实数就是 √2。戴德金定理断言这样的分割恰好对应所有实数，且实数之间的大小关系由集合包含决定。

• 下类A 无最大元，保证了实数的唯一性
• 上类B 可能无最小元（无理数情形）
• 比较两个实数即比较其对应的下类集合

⚡ 反证法：消除“坏”界限

戴德金证明的最精妙处在于反证法。假设存在两个实数 α, β 且 α ≠ β，但无法确定 α < β 或 β < α。那么考虑它们对应的分割 (A₁, B₁) 和 (A₂, B₂)。

如果 A₁ 是 A₂ 的真子集，则根据定义 α < β。若两者互不包含，则必存在有理数 q 属于 A₁ 但不属于 A₂，同时存在 r 属于 A₂ 但不属于 A₁。通过有理数的线性序可推出矛盾。因此实数必然满足三歧性。

戴德金定理证明最终表明：实数集是一个完备的全序域，任何试图打破比较关系的假设都会导致集合论上的矛盾。