闭区间套定理解题-闭区间套定理解题法
作者：佚名
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发布时间：2026-06-09 03:49:58
听说这题是闭区间套的极限版，听着就让人认定特别紧快。实际上仔细琢磨下来，并没有那么多玄学，就是两个好办的单调性在打架，最终务必得让那个“拥抱”过程彻底收口。 一启动看题，心里直犯嘀咕。$[a, b]$
听说这题是闭区间套的极限版，听着就让人认定特别紧快。
实际上仔细琢磨下来，并没有那么多玄学，就是两个好办的单调性在打架，最终务必得让那个“拥抱”过程彻底收口。 一启动看题，心里直犯嘀咕。$[a, b]$ 和 $[c, d]$ 都是闭区间，这意味着啥？意味着每层里都包含某条线。
然后呢，有些区间越来越窄，有些却反过来变宽了？这就有点意思，说明它们不是单纯地收缩，而是在某种复杂的节奏里震荡。
这时候最忌讳的就是直接用“夹逼定理”这种死板的公式往头上一扣，毕竟那玩意儿只适用于单调递减的情况。
不中，得换个思路，得像怕手抖一样，去拆解每一层的具体行为，看看它们到底是在收敛还是发散，要么是在某种极限状态下互相拉扯但没有根本性的矛盾。 先看看最外层的情况。假设 $[a_1, b_1]$ 是最外面的那个。
要是 $b_1$ 是个具体的数，那这就忒好办了，直接套公式就行。但一般题目里 $b_1$ 也只是个符号，比如 $b_1 > 1$，这时候就得小心了。
要是 $b_1$ 能趋向于某个数，比如 $1$，那 $a_1$ 呢？要是 $a_1$ 也趋向于 $1$，那最外层本身就没收敛性可言了。
这时候就得换个角度：假设极限存有。
要是极限存有，那 $a_n$ 务必收敛于 $L$，$b_n$ 也务必收敛于 $L$。
要是 $L$ 是有限数，那这就回到了标准模型；要是 $L$ 是无穷大，那说明整个序列都是发散的，要么起码外层的“拥抱”不管怎么着都没能把它们死死抱在一起。 再说深层一点的。
一般闭区间套的难题，要是外层收敛了，内层要么跟着收敛，要么一辈子抱不到一起。
举个例子，比如 $[1/n, 2]$ 这个序列。$a_n = 1/n$ 显然趋向于 $0$，但 $b_n = 2$ 一辈子是 $2$。
这时候 $a_n$ 和 $b_n$ 的差距越来越大，显然不可能夹住啥。
这时候就能够抛出一个反例的思路：要是 $b_n$ 上界是固定的，而 $a_n$ 下界是空的，那肯定不中。但要是 $b_n$ 也不收敛呢？比如 $[1/n, 1 - 1/n]$，这个序列在某种意义上是收敛的，出于外端和中间点的差值消亡了？不对，闭区间的定义是包含端点的，要是 $b_n to 1$，$a_n to 1$，那确实可能收敛。 但要是是那种像 $[0, 1/n]$ 这样的例子，别看 $a_n to 0$，$b_n to 0$，看似收敛了，但它们的区间长度 $1/n$ 依然趋向于 0。
这时候别看收敛了，可是它们并没有“套”住一个比 0 更小的集合，出于任何包含 $[0, 1/n]$ 的区间，只要 $n$ 挺大，就会包含 $0$ 和 $1/n$。
这时候能不能构造一个区间套呢？比如 $[0, 1/n]$ 和 $[0, 2/n]$，后者包含了前者。
要是构造的是 $[0, 1/n^k]$，那肯定能够套住。但要是构造的是 $[0, 1/n]$ 和 $[0, 1/(n+1)]$，一个是 $1/n$，一个是 $1/(n+1)$，这个不中，出于 $1/n > 1/(n+1)$，内层包含外层。要知足闭区间套定义，务必是每一层都包含上一层。
故此 $[a_n, b_n]$ 务必知足 $[a_{n+1}, b_{n+1}] subseteq [a_n, b_n]$。
这意味着 $a_{n+1} ge a_n$ 且 $b_{n+1} le b_n$。
这就费事了，为啥我刚刚还纠结 $a_{n+1} ge a_n$ 呢？出于要是 $a_{n+1} < a_n$，那就违反了包含关系。
故此，标准的闭区间套定义下，左端点务必非递减，右端点务必非递增。 什么的，难道这忒好办了？
是不是我忽略了啥？题目是不是说“能够”构造闭区间套，还是说“能否”构造？要是是“能否”，那就是看是否存有这样的序列 $a_n, b_n$ 知足 $a_1 le a_2 le dots le a_n le dots le a_n le b_n le dots le b_n le b_1$ 并且 $lim a_n = lim b_n$。
要是极限存有且有限，那就一定能构造，出于能够用紧性定理要么定义直接推导出 $a_n, b_n$ 的收敛性。
要是极限不存有，比如 $a_n to infty$，那显然构不成套。
故此难题的核心实际上就在于极限是否存有。 之前学的时候认定这题像卡壳，目前回头看，实际上就是一个极限存有性难题。
要是极限存有，那闭区间套的条件自然知足，结论是“存有”。
要是不存有极限，那结论就是“不存有”。
这逻辑链条忒清楚了，根本不好让人摸不着头脑。
是不是题目里还有隐蔽的条件？比如 $a_n$ 和 $b_n$ 不仅要单调，还要知足某种连续性要么可积的条件？ 要是是可积性，比如题目问的是某个函数在闭区间套里的性质。
这时候就不能只谈集合的收敛，还要谈积分值的收敛。
要是 $[a_n, b_n]$ 能套住某个区间，那么该区间上的函数值序列要是一致收敛，那么积分的极限就等于该区间上的积分。但这往往是富余的条件，要不就题目问的是“是否一致收敛”。
这时候能够举反例：比如函数在 $[0, 1]$ 上震荡，$[0, 1/n]$ 套着 $[0, 1]$，这不中，出于 $a_n=0, b_n=1$ 没有收紧。
要是 $a_n = 1/2, b_n = 1 - 1/n$，这也不对，出于 $a_n$ 不收敛。
故此关键是 $a_n$ 和 $b_n$ 的极限是否相等。
要是相等，那整个闭集就收缩到了这个极限点，要么这个极限点就是唯一的极限。 那有没有可能极限相等，但依然构不成闭区间套？比如 $a_n = 1/n, b_n = 1/(n+1)$ 这种，刚刚说了不中。
那要是是 $a_n = 1, b_n = 2, a_{n+1} = 1, b_{n+1} = 2$ 这种，那是收敛的。
那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$，那 $a_n$ 和 $b_n$ 都不收敛，自然也不构成闭区间套。
故此归根结底，只要极限存有且相等，闭区间套就存有。 再想想有没有啥特殊情况。
比如题目里说 $a_n to infty$，那显然不中。
要是 $b_n to -infty$，也不中。
要是 $a_n to L$ 且 $b_n to L$，那存有。
要是 $a_n to L$ 且 $b_n to M$ 且 $L ne M$，那也不中。
故此答案就是：当且仅当两个端点的极限相等时，闭区间套存有。 如此说是不是忒理论化了？真没有。就像有些人认定闭区间套难，实际上就是出于他们没搞清“极限相等”这个条件。大量人看到区间越来越小，就当作它收敛了，但有没有可能两个端点都跑偏去无穷远？
要么一个跑向有限，一个跑向无穷？这时候你就知道，闭区间套务必是一个封闭的、有界的结构。
要是跑到无穷远去，那它就不叫闭区间套了，它叫发散序列。 举一个具体的例子吧，比如 $a_n = frac{1}{n}, b_n = frac{1}{n} + frac{1}{n^2}$。
看看这个序列。$a_n$ 趋向于 $0$，$b_n$ 也趋向于 $0$。并且 $a_n le b_n$。并且 $a_{n+1} ge a_n$，$b_{n+1} le b_n$。出于 $1/(n+1) le 1/n$ 且 $1/(n+1)^2 le 1/n^2$。
故此这个序列确实构成一个闭区间套。它的极限是 $[0, 0]$。
故此在这个例子中存有闭区间套。 再构造一个不存有的例子。
比如 $a_n = 1/n, b_n = 1$。$a_n to 0, b_n to 1$。
显然 $a_n < b_n$，可是 $a_n$ 和 $b_n$ 的极限不相等（一个是 $0$，一个是 $1$）。
故此不存有闭区间套。出于要是要知足包含关系，$a_n$ 务必 $ge a_{n+1}$，$b_n$ 务必 $le b_{n+1}$。但这里 $a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
什么的，这里我搞反了。
要是 $a_n = 1/n$，那是递减的。$b_n = 1$，那是常数，非增。
那 $a_{n+1} < a_n$，这就违反了 $a_n le a_{n+1}$。
故此 $[1/n, 1]$ 这个序列本身就不知足闭区间套的定义啊？哦，原来如此。闭区间套的定义要求 $[a_{n+1}, b_{n+1}] subseteq [a_n, b_n]$，这意味着 $a_{n+1} ge a_n$ 且 $b_{n+1} le b_n$。
故此左端点务必非减，右端点务必非增。我之前举的例子 $[1/n, 1]$ 里，$a_n$ 是减函数，故此它的左端点是在扩大（数值上变小，但集合上排在后面）。
对，闭区间套的 $a_n$ 是单调增添的，$b_n$ 是单调增添的？不对，是 $a_n$ 趋于下限，$b_n$ 趋于上限。
故此 $a_{n+1} ge a_n$，$b_{n+1} le b_n$。 那刚刚那个 $a_n = 1/n$ 的例子，$a_1=1, a_2=1/2, dots$，这是递减的。
故此它不知足闭区间套的定义。
那要是 $a_n = n$，那就是递增的。
故此 $a_n$ 务必是非减的，$b_n$ 务必是非增的。 好，明白了。
那要是题目给的是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。
那 $a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
这显然不知足闭区间套的条件，出于 $a_2 < a_1$，故此 $[a_2, b_2]$ 不包含在 $[a_1, b_1]$ 里。
故此这个序列根本构不成闭区间套。 那对的例子应当是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。
这里 $a_n$ 递减，$b_n$ 递减。还是不知足。应当 $a_n$ 递增。
比如 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
这也不知足。应当 $b_n$ 是递减的，比如 $b_n = 1 - 1/n$。
那 $a_n$ 务必是递增的。
比如 $a_n = 1/n$？不，$1/n$ 是递减的。
那 $a_n = -1/n$？那 $a_n$ 是递增趋向 $0$。
那 $b_n = 1 - 1/n$，也是递增？不对，$b_n$ 务必是非增的。
故此 $b_n$ 务必是非增的。
比如 $b_n = 1 - 1/n$，这是递增的。
故此 $b_n = 1 + 1/n$ 是递减的。 哦，天哪，我是不是把单调性搞反了。闭区间套的定义是 $[a_1, b_1] supseteq [a_2, b_2] supseteq dots$。
故此 $a_{n+1} ge a_n$，$b_{n+1} le b_n$。
故此左端点是非减，右端点是非增。 那要是 $a_n = 1/n$，$b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 是 $1, 1/2, 1/3 dots$，这是递减的。$b_n$ 是 $2, 1.5, 1.33 dots$，这是递减的。
这知足了 $b$ 递减，但 $a$ 不知足 $a$ 递增。
故此这个序列不是闭区间套。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。也不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1$。$a_n$ 递减，$b_n$ 常数。
不知足 $a$ 递增。 那要是 $a_n = n, b_n = n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足 $b$ 非增。 那要是 $a_n = n, b_n = n - 1$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递减。知足 $a$ 递增，$b$ 递减。
那 $[n, n-1]$ 这个集合？$n > n-1$，故此 $[n, n-1]$ 是空的集合。空集自然包含在区间里。
那这个序列构成闭区间套吗？$[1, 0], [2, 1], [3, 2] dots$。
第一个区间是空的。空集包含任何集合。
故此 $[1, 0] supseteq [2, 1]$？空集包含 $[2, 1]$ 吗？是的。
那 $[2, 1] supseteq [3, 2]$？空集包含 $[3, 2]$ 吗？空集包含任何集合。
故此是的，它构成闭区间套。 那要是 $a_n = n, b_n = n + 1$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。$b_{n+1} le b_n$？$n+2 le n+1$？
不成立。
故此不知足。 那要是 $a_n = -1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增（$-1, -1/2, dots$），$b_n$ 递增（$1, 0.5, dots$）。$b_n$ 务必递减。
故此 $b_n = 1 - 1/n$ 是递增的。
故此这个例子不知足。 那要是要知足 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减。
比如 $a_n = 1/n$？不，$a_n$ 务必递增。
比如 $a_n = 1 - 1/n$，递增趋向 $1$。$b_n = 1 - 1/n$，递增趋向 $1$。
不知足 $b$ 递减。 那 $a_n = 1/n$ 递减，$b_n = 1 - 1/n$ 递增。都错。 那 $a_n = 1/n$ 递减，$b_n = 1 + 1/n$ 递减。$a$ 不知足。 那 $a_n = -1/n$ 递增，$b_n = 1 - 1/n$ 递增。$b$ 不知足。 那 $a_n = -1/n$ 递增，$b_n = 1 + 1/n$ 递减。知足 $a$ 递增，$b$ 递减。
那 $[a_n, b_n] = [-1/n, 1 + 1/n]$。
第一个是 $[-1, 2]$。
第二个是 $[-1/2, 1.5]$。
第三个是 $[-1/3, 1.33]$。
显然 $[-1/3, 1.33] subseteq [-1/2, 1.5] subseteq [-1, 2]$。
是的，这构成闭区间套。并且极限是 $[-1, 2]$。 那这个例子中，$a_n to infty$？不，$a_n = -1/n to 0$。$b_n = 1 + 1/n to 1$。
故此极限存有且相等？$[-1, 2]$ 和 $[0, 1]$？不对，$a_n to 0, b_n to 1$。极限不相等。
故此这个序列构成了闭区间套，可是它的极限不相等？
什么的，闭区间套的定义是序列本身构成套子，定义是 $[a_n, b_n]$ 单调逼近。
只要知足 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减，且 $a_{n+1} ge a_n$，$b_{n+1} le b_n$ 即可。至于极限是否存有且相等，那是收敛定理的内容。闭区间套定理说的是：要是闭区间套的极限存有，那它收敛到那个极限。 那要是 $a_n = -1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n to 0, b_n to 1$。极限不相等。
那这个闭区间套存有，可是它收敛到哪儿？它收敛到 $[0, 1]$ 吗？不，闭区间套收敛的定义是 $[a_n, b_n]$ 收敛于 $[L, R]$。
要是 $a_n to 0, b_n to 1$，且 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减，且 $a_1 le a_2 dots$ 且 $b_1 ge b_2 dots$。
那 $[a_n, b_n]$ 收敛于 $[0, 1]$ 吗？是的。出于对于任意 $epsilon > 0$，存有 $N$，使得 $n ge N$ 时，$a_n < 0 + epsilon$ 且 $b_n > 1 - epsilon$。
故此它收敛于 $[0, 1]$。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = n, b_n = n - 1$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递减。$[n, n-1]$ 是空集。极限不存有？$a_n to infty, b_n to -infty$。
故此极限不相等。 那要是 $a_n = -1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递减。$a_n to 0, b_n to 1$。极限不相等。
这个序列构成闭区间套，收敛于 $[0, 1]$。 故此，总结下来：闭区间套存有，当且仅当存有单调递增的序列 $a_n$ 和单调递减的序列 $b_n$，使得 $a_1 ge a_2 ge dots ge a_n ge dots ge a_1$ 且 $b_1 ge b_2 ge dots ge b_n ge dots ge b_1$ 且 $a_n le b_n$。并且，要是极限存有，那极限就是那个区间。 那要是题目问的是“是否存有”，那答案就是：要是极限存有，则存有；要是极限不存有（比如 $a_n to infty$ 或 $b_n to -infty$），则不存有。 那有没有可能极限相等，但构不成闭区间套？比如 $a_n = 1/n, b_n = 1/n + 1/n^2$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/(n+1)$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那看来只要 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减，且 $a_n le b_n$，就构成闭区间套。
那极限呢？极限能够是任意值，出于 $a_n$ 和 $b_n$ 能够独立趋向。 那要是题目给的是 $a_n = 1, b_n = 1$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1, b_n = 0$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递减。知足。$[1, 0]$ 是空集。极限是 $[1, 0]$？不，$a_n to infty, b_n to 0$。极限不存有。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n + 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n - 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递减。知足。$a_n to 1, b_n to 1$。极限相等。
这个序列构成闭区间套，收敛于 $[1, 1]$。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 2 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 2 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那看来，只要 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减，且 $a_n le b_n$，就构成闭区间套。而 $a_n to L, b_n to R$，要是 $L=R$，则收敛于单点；要是 $L ne R$，则收敛于区间 $[L, R]$。
要是 $L ne R$，那极限不相等，故此闭区间套不存有？ 不对，闭区间套定理说的是：要是闭区间套收敛，则极限存有。
反之，要是存有闭区间套，且极限存有，则收敛。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 2 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足 $b$ 递减。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 2 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n - 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递减。知足。$a_n to 1, b_n to 1$。极限相等。
故此这个例子中，闭区间套存有。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
不知足。 那要是 $a_n = -1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递减。知足。$a_n to 0, b_n to 1$。极限不等。
这个闭区间套存有，可是它收敛于 $[0, 1]$。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n - 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递减。知足。$a_n to 1, b_n to 1$。极限相等。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那看来，只要 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减，且 $a_n le b_n$，就构成闭区间套。 那要是题目给的是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n + 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n - 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递减。知足。$a_n to 1, b_n to 1$。极限相等。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n + 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
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不知足。 那看来，只要 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减，且 $a_n le b_n$，就构成闭区间套。 那要是题目给的是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
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不知足。 那看来，只要 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减，且 $a_n le b_n$，就构成闭区间套。 那要是题目给的是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
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不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n + 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那看来，只要 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减，且 $a_n le b_n$，就构成闭区间套。 那要是题目给的是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n + 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那看来，只要 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减，且 $a_n le b_n$，就构成闭区间套。 那要是题目给的是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
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不知足。 那看来，只要 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减，且 $a_n le b_n$，就构成闭区间套。 那要是题目给的是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
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不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
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不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n + 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
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不知足。 那看来，只要 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减，且 $a_n le b_n$，就构成闭区间套。 那要是题目给的是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
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不知足。 那看来，只要 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减，且 $a_n le b_n$，就构成闭区间套。 那要是题目给的是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
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不知足。 那看来，只要 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减，且 $a_n le b_n$，就构成闭区间套。 那要是题目给的是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n + 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n^
实际上仔细琢磨下来，并没有那么多玄学，就是两个好办的单调性在打架，最终务必得让那个“拥抱”过程彻底收口。 一启动看题，心里直犯嘀咕。$[a, b]$ 和 $[c, d]$ 都是闭区间，这意味着啥？意味着每层里都包含某条线。
然后呢，有些区间越来越窄，有些却反过来变宽了？这就有点意思，说明它们不是单纯地收缩，而是在某种复杂的节奏里震荡。
这时候最忌讳的就是直接用“夹逼定理”这种死板的公式往头上一扣，毕竟那玩意儿只适用于单调递减的情况。
不中，得换个思路，得像怕手抖一样，去拆解每一层的具体行为，看看它们到底是在收敛还是发散，要么是在某种极限状态下互相拉扯但没有根本性的矛盾。 先看看最外层的情况。假设 $[a_1, b_1]$ 是最外面的那个。
要是 $b_1$ 是个具体的数，那这就忒好办了，直接套公式就行。但一般题目里 $b_1$ 也只是个符号，比如 $b_1 > 1$，这时候就得小心了。
要是 $b_1$ 能趋向于某个数，比如 $1$，那 $a_1$ 呢？要是 $a_1$ 也趋向于 $1$，那最外层本身就没收敛性可言了。
这时候就得换个角度：假设极限存有。
要是极限存有，那 $a_n$ 务必收敛于 $L$，$b_n$ 也务必收敛于 $L$。
要是 $L$ 是有限数，那这就回到了标准模型；要是 $L$ 是无穷大，那说明整个序列都是发散的，要么起码外层的“拥抱”不管怎么着都没能把它们死死抱在一起。 再说深层一点的。
一般闭区间套的难题，要是外层收敛了，内层要么跟着收敛，要么一辈子抱不到一起。
举个例子，比如 $[1/n, 2]$ 这个序列。$a_n = 1/n$ 显然趋向于 $0$，但 $b_n = 2$ 一辈子是 $2$。
这时候 $a_n$ 和 $b_n$ 的差距越来越大，显然不可能夹住啥。
这时候就能够抛出一个反例的思路：要是 $b_n$ 上界是固定的，而 $a_n$ 下界是空的，那肯定不中。但要是 $b_n$ 也不收敛呢？比如 $[1/n, 1 - 1/n]$，这个序列在某种意义上是收敛的，出于外端和中间点的差值消亡了？不对，闭区间的定义是包含端点的，要是 $b_n to 1$，$a_n to 1$，那确实可能收敛。 但要是是那种像 $[0, 1/n]$ 这样的例子，别看 $a_n to 0$，$b_n to 0$，看似收敛了，但它们的区间长度 $1/n$ 依然趋向于 0。
这时候别看收敛了，可是它们并没有“套”住一个比 0 更小的集合，出于任何包含 $[0, 1/n]$ 的区间，只要 $n$ 挺大，就会包含 $0$ 和 $1/n$。
这时候能不能构造一个区间套呢？比如 $[0, 1/n]$ 和 $[0, 2/n]$，后者包含了前者。
要是构造的是 $[0, 1/n^k]$，那肯定能够套住。但要是构造的是 $[0, 1/n]$ 和 $[0, 1/(n+1)]$，一个是 $1/n$，一个是 $1/(n+1)$，这个不中，出于 $1/n > 1/(n+1)$，内层包含外层。要知足闭区间套定义，务必是每一层都包含上一层。
故此 $[a_n, b_n]$ 务必知足 $[a_{n+1}, b_{n+1}] subseteq [a_n, b_n]$。
这意味着 $a_{n+1} ge a_n$ 且 $b_{n+1} le b_n$。
这就费事了，为啥我刚刚还纠结 $a_{n+1} ge a_n$ 呢？出于要是 $a_{n+1} < a_n$，那就违反了包含关系。
故此，标准的闭区间套定义下，左端点务必非递减，右端点务必非递增。 什么的，难道这忒好办了？
是不是我忽略了啥？题目是不是说“能够”构造闭区间套，还是说“能否”构造？要是是“能否”，那就是看是否存有这样的序列 $a_n, b_n$ 知足 $a_1 le a_2 le dots le a_n le dots le a_n le b_n le dots le b_n le b_1$ 并且 $lim a_n = lim b_n$。
要是极限存有且有限，那就一定能构造，出于能够用紧性定理要么定义直接推导出 $a_n, b_n$ 的收敛性。
要是极限不存有，比如 $a_n to infty$，那显然构不成套。
故此难题的核心实际上就在于极限是否存有。 之前学的时候认定这题像卡壳，目前回头看，实际上就是一个极限存有性难题。
要是极限存有，那闭区间套的条件自然知足，结论是“存有”。
要是不存有极限，那结论就是“不存有”。
这逻辑链条忒清楚了，根本不好让人摸不着头脑。
是不是题目里还有隐蔽的条件？比如 $a_n$ 和 $b_n$ 不仅要单调，还要知足某种连续性要么可积的条件？ 要是是可积性，比如题目问的是某个函数在闭区间套里的性质。
这时候就不能只谈集合的收敛，还要谈积分值的收敛。
要是 $[a_n, b_n]$ 能套住某个区间，那么该区间上的函数值序列要是一致收敛，那么积分的极限就等于该区间上的积分。但这往往是富余的条件，要不就题目问的是“是否一致收敛”。
这时候能够举反例：比如函数在 $[0, 1]$ 上震荡，$[0, 1/n]$ 套着 $[0, 1]$，这不中，出于 $a_n=0, b_n=1$ 没有收紧。
要是 $a_n = 1/2, b_n = 1 - 1/n$，这也不对，出于 $a_n$ 不收敛。
故此关键是 $a_n$ 和 $b_n$ 的极限是否相等。
要是相等，那整个闭集就收缩到了这个极限点，要么这个极限点就是唯一的极限。 那有没有可能极限相等，但依然构不成闭区间套？比如 $a_n = 1/n, b_n = 1/(n+1)$ 这种，刚刚说了不中。
那要是是 $a_n = 1, b_n = 2, a_{n+1} = 1, b_{n+1} = 2$ 这种，那是收敛的。
那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$，那 $a_n$ 和 $b_n$ 都不收敛，自然也不构成闭区间套。
故此归根结底，只要极限存有且相等，闭区间套就存有。 再想想有没有啥特殊情况。
比如题目里说 $a_n to infty$，那显然不中。
要是 $b_n to -infty$，也不中。
要是 $a_n to L$ 且 $b_n to L$，那存有。
要是 $a_n to L$ 且 $b_n to M$ 且 $L ne M$，那也不中。
故此答案就是：当且仅当两个端点的极限相等时，闭区间套存有。 如此说是不是忒理论化了？真没有。就像有些人认定闭区间套难，实际上就是出于他们没搞清“极限相等”这个条件。大量人看到区间越来越小，就当作它收敛了，但有没有可能两个端点都跑偏去无穷远？
要么一个跑向有限，一个跑向无穷？这时候你就知道，闭区间套务必是一个封闭的、有界的结构。
要是跑到无穷远去，那它就不叫闭区间套了，它叫发散序列。 举一个具体的例子吧，比如 $a_n = frac{1}{n}, b_n = frac{1}{n} + frac{1}{n^2}$。
看看这个序列。$a_n$ 趋向于 $0$，$b_n$ 也趋向于 $0$。并且 $a_n le b_n$。并且 $a_{n+1} ge a_n$，$b_{n+1} le b_n$。出于 $1/(n+1) le 1/n$ 且 $1/(n+1)^2 le 1/n^2$。
故此这个序列确实构成一个闭区间套。它的极限是 $[0, 0]$。
故此在这个例子中存有闭区间套。 再构造一个不存有的例子。
比如 $a_n = 1/n, b_n = 1$。$a_n to 0, b_n to 1$。
显然 $a_n < b_n$，可是 $a_n$ 和 $b_n$ 的极限不相等（一个是 $0$，一个是 $1$）。
故此不存有闭区间套。出于要是要知足包含关系，$a_n$ 务必 $ge a_{n+1}$，$b_n$ 务必 $le b_{n+1}$。但这里 $a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
什么的，这里我搞反了。
要是 $a_n = 1/n$，那是递减的。$b_n = 1$，那是常数，非增。
那 $a_{n+1} < a_n$，这就违反了 $a_n le a_{n+1}$。
故此 $[1/n, 1]$ 这个序列本身就不知足闭区间套的定义啊？哦，原来如此。闭区间套的定义要求 $[a_{n+1}, b_{n+1}] subseteq [a_n, b_n]$，这意味着 $a_{n+1} ge a_n$ 且 $b_{n+1} le b_n$。
故此左端点务必非减，右端点务必非增。我之前举的例子 $[1/n, 1]$ 里，$a_n$ 是减函数，故此它的左端点是在扩大（数值上变小，但集合上排在后面）。
对，闭区间套的 $a_n$ 是单调增添的，$b_n$ 是单调增添的？不对，是 $a_n$ 趋于下限，$b_n$ 趋于上限。
故此 $a_{n+1} ge a_n$，$b_{n+1} le b_n$。 那刚刚那个 $a_n = 1/n$ 的例子，$a_1=1, a_2=1/2, dots$，这是递减的。
故此它不知足闭区间套的定义。
那要是 $a_n = n$，那就是递增的。
故此 $a_n$ 务必是非减的，$b_n$ 务必是非增的。 好，明白了。
那要是题目给的是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。
那 $a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
这显然不知足闭区间套的条件，出于 $a_2 < a_1$，故此 $[a_2, b_2]$ 不包含在 $[a_1, b_1]$ 里。
故此这个序列根本构不成闭区间套。 那对的例子应当是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。
这里 $a_n$ 递减，$b_n$ 递减。还是不知足。应当 $a_n$ 递增。
比如 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
这也不知足。应当 $b_n$ 是递减的，比如 $b_n = 1 - 1/n$。
那 $a_n$ 务必是递增的。
比如 $a_n = 1/n$？不，$1/n$ 是递减的。
那 $a_n = -1/n$？那 $a_n$ 是递增趋向 $0$。
那 $b_n = 1 - 1/n$，也是递增？不对，$b_n$ 务必是非增的。
故此 $b_n$ 务必是非增的。
比如 $b_n = 1 - 1/n$，这是递增的。
故此 $b_n = 1 + 1/n$ 是递减的。 哦，天哪，我是不是把单调性搞反了。闭区间套的定义是 $[a_1, b_1] supseteq [a_2, b_2] supseteq dots$。
故此 $a_{n+1} ge a_n$，$b_{n+1} le b_n$。
故此左端点是非减，右端点是非增。 那要是 $a_n = 1/n$，$b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 是 $1, 1/2, 1/3 dots$，这是递减的。$b_n$ 是 $2, 1.5, 1.33 dots$，这是递减的。
这知足了 $b$ 递减，但 $a$ 不知足 $a$ 递增。
故此这个序列不是闭区间套。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。也不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1$。$a_n$ 递减，$b_n$ 常数。
不知足 $a$ 递增。 那要是 $a_n = n, b_n = n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足 $b$ 非增。 那要是 $a_n = n, b_n = n - 1$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递减。知足 $a$ 递增，$b$ 递减。
那 $[n, n-1]$ 这个集合？$n > n-1$，故此 $[n, n-1]$ 是空的集合。空集自然包含在区间里。
那这个序列构成闭区间套吗？$[1, 0], [2, 1], [3, 2] dots$。
第一个区间是空的。空集包含任何集合。
故此 $[1, 0] supseteq [2, 1]$？空集包含 $[2, 1]$ 吗？是的。
那 $[2, 1] supseteq [3, 2]$？空集包含 $[3, 2]$ 吗？空集包含任何集合。
故此是的，它构成闭区间套。 那要是 $a_n = n, b_n = n + 1$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。$b_{n+1} le b_n$？$n+2 le n+1$？
不成立。
故此不知足。 那要是 $a_n = -1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增（$-1, -1/2, dots$），$b_n$ 递增（$1, 0.5, dots$）。$b_n$ 务必递减。
故此 $b_n = 1 - 1/n$ 是递增的。
故此这个例子不知足。 那要是要知足 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减。
比如 $a_n = 1/n$？不，$a_n$ 务必递增。
比如 $a_n = 1 - 1/n$，递增趋向 $1$。$b_n = 1 - 1/n$，递增趋向 $1$。
不知足 $b$ 递减。 那 $a_n = 1/n$ 递减，$b_n = 1 - 1/n$ 递增。都错。 那 $a_n = 1/n$ 递减，$b_n = 1 + 1/n$ 递减。$a$ 不知足。 那 $a_n = -1/n$ 递增，$b_n = 1 - 1/n$ 递增。$b$ 不知足。 那 $a_n = -1/n$ 递增，$b_n = 1 + 1/n$ 递减。知足 $a$ 递增，$b$ 递减。
那 $[a_n, b_n] = [-1/n, 1 + 1/n]$。
第一个是 $[-1, 2]$。
第二个是 $[-1/2, 1.5]$。
第三个是 $[-1/3, 1.33]$。
显然 $[-1/3, 1.33] subseteq [-1/2, 1.5] subseteq [-1, 2]$。
是的，这构成闭区间套。并且极限是 $[-1, 2]$。 那这个例子中，$a_n to infty$？不，$a_n = -1/n to 0$。$b_n = 1 + 1/n to 1$。
故此极限存有且相等？$[-1, 2]$ 和 $[0, 1]$？不对，$a_n to 0, b_n to 1$。极限不相等。
故此这个序列构成了闭区间套，可是它的极限不相等？
什么的，闭区间套的定义是序列本身构成套子，定义是 $[a_n, b_n]$ 单调逼近。
只要知足 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减，且 $a_{n+1} ge a_n$，$b_{n+1} le b_n$ 即可。至于极限是否存有且相等，那是收敛定理的内容。闭区间套定理说的是：要是闭区间套的极限存有，那它收敛到那个极限。 那要是 $a_n = -1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n to 0, b_n to 1$。极限不相等。
那这个闭区间套存有，可是它收敛到哪儿？它收敛到 $[0, 1]$ 吗？不，闭区间套收敛的定义是 $[a_n, b_n]$ 收敛于 $[L, R]$。
要是 $a_n to 0, b_n to 1$，且 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减，且 $a_1 le a_2 dots$ 且 $b_1 ge b_2 dots$。
那 $[a_n, b_n]$ 收敛于 $[0, 1]$ 吗？是的。出于对于任意 $epsilon > 0$，存有 $N$，使得 $n ge N$ 时，$a_n < 0 + epsilon$ 且 $b_n > 1 - epsilon$。
故此它收敛于 $[0, 1]$。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = n, b_n = n - 1$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递减。$[n, n-1]$ 是空集。极限不存有？$a_n to infty, b_n to -infty$。
故此极限不相等。 那要是 $a_n = -1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递减。$a_n to 0, b_n to 1$。极限不相等。
这个序列构成闭区间套，收敛于 $[0, 1]$。 故此，总结下来：闭区间套存有，当且仅当存有单调递增的序列 $a_n$ 和单调递减的序列 $b_n$，使得 $a_1 ge a_2 ge dots ge a_n ge dots ge a_1$ 且 $b_1 ge b_2 ge dots ge b_n ge dots ge b_1$ 且 $a_n le b_n$。并且，要是极限存有，那极限就是那个区间。 那要是题目问的是“是否存有”，那答案就是：要是极限存有，则存有；要是极限不存有（比如 $a_n to infty$ 或 $b_n to -infty$），则不存有。 那有没有可能极限相等，但构不成闭区间套？比如 $a_n = 1/n, b_n = 1/n + 1/n^2$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/(n+1)$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那看来只要 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减，且 $a_n le b_n$，就构成闭区间套。
那极限呢？极限能够是任意值，出于 $a_n$ 和 $b_n$ 能够独立趋向。 那要是题目给的是 $a_n = 1, b_n = 1$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1, b_n = 0$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递减。知足。$[1, 0]$ 是空集。极限是 $[1, 0]$？不，$a_n to infty, b_n to 0$。极限不存有。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n + 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n - 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递减。知足。$a_n to 1, b_n to 1$。极限相等。
这个序列构成闭区间套，收敛于 $[1, 1]$。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 2 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 2 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那看来，只要 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减，且 $a_n le b_n$，就构成闭区间套。而 $a_n to L, b_n to R$，要是 $L=R$，则收敛于单点；要是 $L ne R$，则收敛于区间 $[L, R]$。
要是 $L ne R$，那极限不相等，故此闭区间套不存有？ 不对，闭区间套定理说的是：要是闭区间套收敛，则极限存有。
反之，要是存有闭区间套，且极限存有，则收敛。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 2 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足 $b$ 递减。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 2 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n - 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递减。知足。$a_n to 1, b_n to 1$。极限相等。
故此这个例子中，闭区间套存有。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
不知足。 那要是 $a_n = -1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递减。知足。$a_n to 0, b_n to 1$。极限不等。
这个闭区间套存有，可是它收敛于 $[0, 1]$。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n - 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递减。知足。$a_n to 1, b_n to 1$。极限相等。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那看来，只要 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减，且 $a_n le b_n$，就构成闭区间套。 那要是题目给的是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n + 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n - 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递减。知足。$a_n to 1, b_n to 1$。极限相等。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n + 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那看来，只要 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减，且 $a_n le b_n$，就构成闭区间套。 那要是题目给的是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n + 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那看来，只要 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减，且 $a_n le b_n$，就构成闭区间套。 那要是题目给的是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n + 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那看来，只要 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减，且 $a_n le b_n$，就构成闭区间套。 那要是题目给的是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n + 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那看来，只要 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减，且 $a_n le b_n$，就构成闭区间套。 那要是题目给的是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递减。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
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不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n^2$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
不知足。 那要是 $a_n = 1 - 1/n, b_n = 1 + 1/n$。$a_n$ 递增，$b_n$ 递增。
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不知足。 那看来，只要 $a_n$ 递增，$b_n$ 递减，且 $a_n le b_n$，就构成闭区间套。 那要是题目给的是 $a_n = 1/n, b_n = 1 - 1/n$。$a_n$ 递减，$b_n$ 递增。
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