立体几何公理及定理-立体几何五性定理

在三维空间里，木头大约就是最熟悉的材料了，记得上次做课室家具，就用它做工作台。咱们不用像课本里那样，先罗列一堆公理，再背背定理，像背课文一样。咱们直接上干货，把这东西掰开了揉碎了讲。 你想象一下，把木桌子那一张桌子，把你那把椅子搬进这个场子去。别看它们都是物体，但它们是实实在在存有的。在立体几何里，我们定义一个根本事实：要是两个图形大小彻底一样，位置也都一模一样，那它们就一定重合。
也就是说，你拿着尺子量一下，长度、角度都没错，只要把它们叠在一起，它们彻底盖住同一个区域。
这实际上就是公理三，但咱们不叫它“重合”，叫它“重合”更合适，就是它们本就是同一个东西的不同名称。 再说说平行线吧。在二维纸上，两条线要么相交要么平行。但在三维空间里，情况略微复杂点，两条线可能平行，也可能相交，也可能像两条平行的轨道，永不相交。
这就引出了公理四：要是两条直线在同一平面内，它们要么相交，要么平行。
你想想，要是它们既不平行也不相交，那它们就得在空间里“打架”，比如一条斜着上去，一条斜着躺下，中间有空隙，这就是异面直线。 说到异面直线，最好办让人迷糊的就是“异面”这个词。生活中我们极少看到，但真见了，比如电梯井里的两条柱子，它们垂直，但它们所在的平面是垂直的。
要是我把这两条柱子拉直，你会发现它们一辈子碰不到，哪怕你绕着它们转圈，它们也没有公共点。
这就是异面直线的典型特征：既不平行，又不相交，并且不在同一个平面上。公理五说，要是两条直线不在同一个平面内，它们要么平行，要么相交，要么异面。
这实际上就是说，异面直线这一类，就是不可能共面的。 接下来是公理七，这个挺有意思。
要是一条直线和平面里的一条直线平行，并且这条直线也不在这个平面内，那它就会和这个平面平行。想象一下，拿一支铅笔插进装满水的桶里，只要铅笔的尾部没碰到桶底，笔尖只要和桶底里的那根木棍平行，那整支笔就一辈子悬空着，不会沉底，也不会刺破水面。
这就是公理七的通俗解释，用数学语言说就是“线面平行”。 公理八讲得好办但也挺关键，就是要是两个平面没有公共点，那它们就是平行平面。你们可能认定这跟平面平行没啥区别，但仔细想想，两个平面要是有一点点接触，那就不是平行的了。
比如两个窗户的玻璃，要是没缝，那是重合的；要是中间有一层纸，那它们就不是平面。
只有彻底没交集，一个在楼上，一个在楼下，中间断开，这就是公理八。 公理九有点意思，它是说要是两条相交直线分别在一个平面内，并且这两条直线不平行，那这两个平面就重合，也就是同一个平面。
这听起来有点绕，咱们换个角度。想象你拿两根铅笔，它们在指尖相交，一根插在书桌上，另一根直插到天花板上。
要是你拿一张白纸，让这两根铅笔的投影都落在纸上，那这就意味着这两个平面是重合的。出于要是它们不重合，那它们就是异面要么平行，但既然相交，那它们务必共用空间的一个方向，故此平面重合。 公理十也是讲平行的。
要是两个平面分别有一条直线，这两条直线互相平行，并且这两条直线也不在同一个平面内，那这两个平面就平行。
这就像两个抽屉门，要是你从侧面看，发现门框里的两条水平线是平行的，并且它们不在同一个面上，那这两个门框所在的平面就是平行的。 最终公理十一，就是要是一条直线和一个平面平行，经过这条直线的任何一个平面，都和这个平面平行。
这话说起来有点绕，实际上挺好办。拿一个杯子，杯口朝上放桌子上，再拿另一张纸盖在杯口上，让杯底和纸的一边接触。
这时候纸和杯子也是平行的。
要是你再在杯口和纸之间插上一根中间没有的棒子，这根棒子肯定也和杯子、和纸都平行。
这就是公理十一，用来说明平行关系的传递性。 看到没，这些都是立体几何的基础。咱们不用整规整齐地排这些，就像咱们平时讲话一样，哪句顺嘴说哪句。
比如刚刚那根中间的棒子，要是它插在杯口和纸之间，那它肯定也和杯口、也和纸都平行。
这就是公理十一。 还有啊，要是两个平面平行，第三个平面和其中一个相交，那它也和另一个相交。
这就像两个平行的水泥墙，你往这两个墙之间掏空一个洞，那这个洞口肯定和两个墙都相交。 好了，这些公理和定理，实际上就是我们做立体几何的规矩。咱们不用死记硬背，就像咱们平时处理事件，讲究的是逻辑，讲究的是实际。遇到新难题，先看看能不能用公理解释清楚，要么用定理推导出来。 比如你在做一道题，问两个平面如何判断。你不用去翻书找定义，你看能不能用公理五来找关系。
要是它们不平行也不相交，那它们就是异面。
这时候你就知道了它们的关系。
要是它们平行，那就用公理八。
要是它们相交，那它们就在同一个平面里，用公理九。 再举个例子，比如你要算一个棱柱的体积。棱柱是固定形状的，上下两个底面和侧面都是一样的。
这时候你能够用公理三，底面和侧面重合。
要么用公理七，侧棱平行于底面。
这时候你就不需求去背具体的公式了，你只需求知道它们的关系，就能推导出体积的计算方式。 在立体几何里，公理就像是地基，定理就像是盖楼用的砖瓦。地基不能乱动，砖瓦摆放要遵循规律，但咱们做工程时，不一定要按教科书上的顺序一列出来。就像咱们盖房子，有时候先搭屋顶，有时候先搭地基，有时候先挖坑，顺序不关键，关键的是能不能盖住，能不能住人。 有时候咱们会发现，用公理推出来的结论和直接用定理算出来的结局是一样的。
这挺正常，数学就是这样，逻辑严密，但也灵活。就像你说的，咱们讲话不用层层递进，也不用那么多套话，有时候讲话忒直白，反而显得生硬。 故此啊，咱们做立体几何，就是把这些公理和定理拿过来，看看如何用在实际情况里。
不管是画个图，还是算个数，只要逻辑通顺，就是好方式。
不用死记硬背，不用整规整齐地罗列，咱们就按照自己的节奏来，哪儿明白了哪儿说，哪儿没明白哪儿问，这样交流起来才顺畅，对不对？ 公理和定理，就是咱们手里的工具，工具好用就好，不用追求完美，追求实用。在空间里，只要关系对，就算对的。
这才是立体几何最本质的东西，也是最能让人形成感觉的地方。