正弦定理用向量证明-向量法证正弦定理

要证 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$，实际上就相当便问：“三角形这个形状，是不是跟它的边长成比例？”别去翻书找定义，咱们直接把工厂的零件表和图纸揉在一起，像拆快递一样把三边和三个角的关系理顺了。 先看看边 $a$ 对应角 $A$，边 $b$ 对应角 $B$，边 $c$ 对应角 $C$。在三角形里，$a$ 和 $B$ 是“对”的关系，$b$ 和 $A$ 是“对”的关系。
要是你把三个角加起来，总和得是 $180^circ$，这个得先记住。
不过目前咱们不用和角公式打架，直接看向量的张角。 设向量 $overrightarrow{OB}$ 长度为 $b$，方向沿 $BC$ 边；$overrightarrow{OC}$ 长度为 $c$；$overrightarrow{AB}$ 长度就是 $a$。
哎呀，这里有个小难题，三角形边长和向量模长是一一对应的，但方向得对。$overrightarrow{BC}$ 的长度是 $a$，$overrightarrow{AC}$ 的长度是 $b$，$overrightarrow{AB}$ 的长度是 $c$。
要是我们把 $overrightarrow{AB}$ 平移，让它的起点跑到 $C$ 点，那它和 $overrightarrow{CO}$ 就成反向平行了。 好，目前来算一下 $overrightarrow{AB}$ 在 $AC$ 方向上的投影。设 $M$ 是 $AC$ 的中点，把 $M$ 当作圆心，$R$ 为半径画个扇形。
这就相当于把 $AC$ 这条线分成了两半。$overrightarrow{AB}$ 在这条线方向上的投影长度，实际上就是半径乘以那个角 $C$ 的正弦值——别急，后面还得乘上两个角。 另一个方向，$overrightarrow{OB}$ 在 $AB$ 边上的投影呢？$overrightarrow{OB}$ 的长度是 $c$（假设 $b=c$ 撇脱计算，不然还得拆分成 $b$ 和 $c$ 的向量）。
这个投影的绝对值，等于 $R$ 乘以 $frac{a}{2}$ 再乘以 $2$ 再乘以 $sin C$，也就是 $R cdot a cdot sin C$。 这时候你会发现，$overrightarrow{AB}$ 和 $overrightarrow{OB}$ 的夹角是 $180^circ - C$ 还是 $C$？要是是 $180-C$，那它的正弦值就是 $sin C$；要是是 $C$，那就是 $sin C$。
不管哪种，它们的数值关系都指向同一个方向。 这就把公式给凑出来了。$overrightarrow{AB}$ 在 $AC$ 上的投影是 $R cdot sin C$，而 $overrightarrow{OB}$ 在 $AB$ 上的投影也是 $R cdot sin C$。
这说明啥？说明 $AC$ 和 $AB$ 这两个长度，实际上就是 $2R$ 乘以 $sin C$ 的某种表现。 什么的，我是不是有点乱了？咱们换个更直白的说法。把 $overrightarrow{AB}$ 和 $overrightarrow{AC}$ 想象成两个力，它们的夹角是 $A$。$overrightarrow{OB}$ 平行于 $AC$，$overrightarrow{OC}$ 平行于 $AB$。 既然 $overrightarrow{OB}$ 平行于 $AC$，那 $overrightarrow{OB} cdot overrightarrow{AB}$ 就等于 $|overrightarrow{OB}| cdot |overrightarrow{AB}| cdot cos(180^circ - A)$。出于 $overrightarrow{OC}$ 平行于 $AB$，故此 $overrightarrow{OC} cdot overrightarrow{AC} = |overrightarrow{OC}| cdot |overrightarrow{AC}| cdot cos(180^circ - C)$。 这时候得把向量方程拉直写。$overrightarrow{AB} = overrightarrow{OB} - overrightarrow{OA}$，$overrightarrow{AC} = overrightarrow{OC} - overrightarrow{OA}$。代入后你会发现，左边是 $c - b cos C$，右边是 $c cos A$。
哎？这仿佛还没直接出正弦定理。 来，重新梳理逻辑链。把 $overrightarrow{AB}$ 分解成水平和垂直方向。水平分量是 $overrightarrow{AB} cdot hat{i}$，垂直分量是 $overrightarrow{AB} cdot hat{j}$。$overrightarrow{AC}$ 的水平分量是 $overrightarrow{AC} cdot hat{i}$，垂直分量是 $overrightarrow{AC} cdot hat{j}$。 $overrightarrow{OB}$ 平行于 $AC$，故此它的垂直分量彻底拍板于 $C$ 角的正弦值。$overrightarrow{OC}$ 平行于 $AB$，故此它的垂直分量（相对于 $AC$ 线）拍板于 $A$ 角的正弦值。 这就有点绕了。咱们试试边长和角度的直接对应。设 $overrightarrow{OA}$ 为原点 $(0,0)$。$B$ 点坐标$(c cos A, c sin A)$，$C$ 点坐标$(b cos(180-A), b sin(180-A))$，也就是$(b cos A, b sin A)$。 向量 $overrightarrow{AB} = (c cos A - b cos A, c sin A - b sin A) = (c - b)cos A, (c - b)sin A$。 向量 $overrightarrow{AC} = (b cos A - b cos A, b sin A - b sin A) = (0, 0)$？不对，我看错坐标了。$B$ 是 $(c cos A, c sin A)$，$C$ 是 $(b cos C, b sin C)$。 $overrightarrow{AB} = (c cos A - b cos C, c sin A - b sin C)$。 $overrightarrow{AC} = (b cos C - b cos A, b sin C - b sin A)$。 目前找 $overrightarrow{AB}$ 和 $AC$ 在垂直方向上的分量。$AC$ 线段本身是水平的吗？不是，题目里设 $AC$ 在一条直线上比较好算。 好，假设 $AC$ 在 $x$ 轴上，$A$ 在 $(0,0)$，$C$ 在 $(b, 0)$。
那 $B$ 的坐标就是 $(c cos A, c sin A)$。 $overrightarrow{AB} = (c cos A, c sin A)$。 $overrightarrow{AC} = (b, 0)$。 $overrightarrow{BC} = (b - c cos A, -c sin A)$。 我们看看 $overrightarrow{AB}$ 和 $overrightarrow{BC}$ 的关系。$overrightarrow{BC} = overrightarrow{AC} - overrightarrow{AB}$。 $c sin A = c sin A$。没难题。 $b = b$。没难题。 $b - c cos A = c cos A - b$？不对，这是 $x$ 坐标的差。 $b = (c cos A + b - c cos A) = c cos A + b - c cos A$。 什么的，向量投影法。$overrightarrow{AB}$ 在 $overrightarrow{AC}$ 方向上的投影长度是 $|c sin A|$。出于 $AB$ 与 $AC$ 夹角是 $A$，投影是 $c cos A$。 不对，$B$ 的 $y$ 坐标是 $c sin A$，$x$ 坐标是 $c cos A$。$C$ 的 $y$ 坐标是 $0$。 故此 $overrightarrow{AB}$ 在 $AC$ 线上的投影是 $c cos A$。 $overrightarrow{BC}$ 在 $AC$ 线上的投影是 $b - c cos A$。 $overrightarrow{BA}$ 的投影是 $c cos A$。 故此 $b = c cos A + c cos A = 2 c cos A$？不对，$C$ 到 $A$ 的距离是 $b$，$A$ 到 $B$ 的垂足分距是 $c cos A$。
故此 $AC = AB + dots$？ 啊，找到了。$b = c cos A + c cos A$ 只有在 $AC$ 平分 $AB$ 时才成立，这不一般。 应当是：$overrightarrow{AC}$ 的长度是 $b$。$overrightarrow{AB}$ 在 $overrightarrow{AC}$ 上的投影是 $c cos A$。 $overrightarrow{BC}$ 在 $overrightarrow{AC}$ 上的投影是 $b - c cos A$。 $overrightarrow{AB} = overrightarrow{AC} + overrightarrow{CB}$。 $overrightarrow{AC}$ 投影是 $b$。 $overrightarrow{CB}$ 投影是 $-c cos A$（出于 $B$ 的投影在 $A$ 右边 $c cos A$ 处，$C$ 在 $A$ 左边 $b$ 处？不对）。 让我们重新画个图。$A$ 为原点，$AC$ 在 $x$ 轴正向。$B$ 点坐标 $(x_B, y_B)$。 $AB = c$，故此 $x_B = c cos A$，$y_B = c sin A$。 $AC = b$，故此 $C$ 点坐标 $(b, 0)$。 $overrightarrow{AB} = (c cos A, c sin A)$。 $overrightarrow{AC} = (b, 0)$。 $overrightarrow{BC} = C - B = (b - c cos A, -c sin A)$。 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = c cos A cdot b = bc cos A$。 $|overrightarrow{AB}| |overrightarrow{AC}| cos A = bc cos A$。吻合。 目前我们要找 $|overrightarrow{AB}| = c$ 和 $|overrightarrow{BC}| = a$ 的关系。 $c^2 = x_B^2 + y_B^2 = (c cos A)^2 + (c sin A)^2 = c^2$。 $a^2 = (b - c cos A)^2 + (-c sin A)^2 = b^2 - 2bc cos A + c^2 cos^2 A + c^2 sin^2 A = b^2 - 2bc cos A + c^2$。 故此 $a^2 - b^2 = -2bc cos A$。 即 $2bc cos A = b^2 - a^2$。 这看起来像余弦定理的变体，但缺了 $B$ 的项。 什么的，题目是正弦定理，我要的是 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。 刚刚算出 $2bc cos A = b^2 - a^2$。 取 $B$ 点，$b = c cos A + c cos A$ 是错的。 对的 $x_B$ 坐标计算：$A$ 是原点，$C$ 在 $(b, 0)$。$B$ 在 $(c cos A, c sin A)$。 $overrightarrow{BA} = (-c cos A, -c sin A)$。投影到 $AC$ 是 $bc cos A$。 $overrightarrow{BC} = (b - c cos A, -c sin A)$。投影到 $BA$ 是 $c cos A$。 $overrightarrow{AC} = (b, 0)$。投影到 $BC$ 是 $b - c cos A$？不对。 $overrightarrow{BC} cdot overrightarrow{AC} = (b - c cos A)b + (-c sin A) cdot 0 = b(b - c cos A)$。 $|overrightarrow{BC}| |overrightarrow{AC}| cos A = a cdot b cdot cos A$。 故此 $b(b - c cos A) = ab cos A$。 消去 $b$（$b neq 0$）：$b - c cos A = a cos A$。 $b = a cos A + c cos A = (a + c) cos A$。 这又回到了角平分线公式错了。$b = a cos A + c cos A$ 只有在 $A$ 是钝角且 $B, C$ 在外部时才可能成立，要么 $A$ 是锐角时，$B$ 的投影在 $AC$ 外。 啊，我搞反了向量的方向。$overrightarrow{AB}$ 和 $overrightarrow{AC}$ 的夹角是 $A$。 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = bc cos A$。 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C$。 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A$。 让我换个思路。 $overrightarrow{BC} = overrightarrow{AC} - overrightarrow{AB}$。 $|overrightarrow{BC}|^2 = |overrightarrow{AC}|^2 + |overrightarrow{AB}|^2 - 2 overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{AB}$。 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A$。 这步没错，就是余弦定理。但我还没用到正弦定理。 正弦定理是 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B}$。 要是 $frac{a}{sin A} = k$，则 $a = k sin A$，$b = k sin B$，$c = k sin C$。 代入余弦定理：$(k sin A)^2 = (k sin B)^2 + (k sin C)^2 - 2(k sin B)(k sin C) cos A$。 $k^2 sin^2 A = k^2 sin^2 B + k^2 sin^2 C - 2k^2 sin B sin C cos A$。 消去 $k^2$：$sin^2 A = sin^2 B + sin^2 C - 2 sin B sin C cos A$。 这看起来不对劲。$sin^2 A = sin^2(B+C)$。 出于 $A+B+C = pi$，故此 $A = pi - (B+C)$，$sin A = sin(B+C)$。 $sin^2(A) = sin^2(B+C)$。 展开 $sin^2(B+C) = (sin B cos C + cos B sin C)^2$。 $= sin^2 B cos^2 C + cos^2 B sin^2 C + 2 sin B cos C cos B sin C$。 $= sin^2 B (1 - sin^2 C) + cos^2 B sin^2 C + sin 2B sin 2C / 2$？ $= sin^2 B - sin^2 B sin^2 C + cos^2 B sin^2 C + sin 2B sin 2C / 2$。 $= sin^2 B + sin^2 C (cos^2 B - sin^2 B) + sin 2B sin 2C / 2$。 $= sin^2 B + sin^2 C cos 2B + sin 2B sin 2C / 2$。 这忒复杂了，并且方向反了。 $sin^2 A = sin^2(B+C)$。 $sin^2(B+C) = sin^2 B + cos^2 B - 2 sin B cos C dots$。 实际上有一个好办的几何解释。 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = bc cos A$。 $overrightarrow{AB} = (c cos A, c sin A)$。 $overrightarrow{AC} = (b, 0)$。 $overrightarrow{BC} = (b - c cos A, -c sin A)$。 $|overrightarrow{BC}|^2 = (b - c cos A)^2 + c^2 sin^2 A = b^2 - 2bc cos A + c^2 cos^2 A + c^2 sin^2 A = b^2 + c^2 - 2bc cos A$。 这也没错。 那如何出 $a = 2R sin A$？ $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} implies a sin B = b sin A$。 $a sin B = b sin A = b sin(pi - (A+B)) = b sin(A+B) = b(sin A cos B + cos A sin B)$。 $a sin B = b sin A cos B + b cos A sin B$。 $sin B (a - b cos A) = b sin A$。 $sin B = frac{b sin A}{a - b cos A}$。 代入 $a = k sin A, b = k sin B$。 $sin B = frac{k sin A sin B}{k sin A - k sin B cos A} = frac{sin A sin B}{sin A - sin B cos A}$。 $1 = frac{sin A}{sin A - sin B cos A}$。 $sin A - sin B cos A = sin A$。 $-sin B cos A = 0$。 这只有在 $B=0$ 或 $A=pi/2$ 时成立。说明我前面的推导哪儿错了。 啊！$overrightarrow{AB} = (c cos A, c sin A)$。 $overrightarrow{AC} = (b, 0)$。 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = bc cos A$。 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C$。 这也没错。 那是不是正弦定理本身不是这样？ $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} implies a sin B = b sin A$。 代入 $a = 2R sin A$ 和 $b = 2R sin B$。 $a sin B = 2R sin A sin B$。 $b sin A = 2R sin B sin A$。 相等。 那回到之前的方程：$sin B (a - b cos A) = b sin A$。 $1 = frac{sin A}{sin A - sin B cos A}$。 $sin A - sin B cos A = sin A$。 矛盾！ 说明 $overrightarrow{AC}$ 和 $overrightarrow{BC}$ 的投影关系有难题。 $overrightarrow{AC}$ 在 $BC$ 方向上的投影是 $b cos C$。 $overrightarrow{AC}$ 在 $AB$ 方向上的投影是 $b cos A$。 $overrightarrow{AB}$ 在 $AC$ 方向上的投影是 $c cos A$。 $overrightarrow{AB}$ 在 $BC$ 方向上的投影是 $c cos C$。 $overrightarrow{BC}$ 的长度是 $a$。 $a = 2R sin A$。 $b = 2R sin B$。 $c = 2R sin C$。 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = bc cos A = 4R^2 sin B sin C cos A$。 又 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = |overrightarrow{AB}| |overrightarrow{AC}| cos A = bc cos A$。 这没难题。 $overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{BC} = b cos C - b cos A + dots$？ $overrightarrow{AC} = (b, 0)$（假设 $AC$ 在 $x$ 轴）。 $overrightarrow{BC} = (a cos C, -a sin C)$。 $overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{BC} = ab cos C$。 $|overrightarrow{AC}| |overrightarrow{BC}| cos C = bc cos C$。 $b cos C = a cos C$？不对。 $overrightarrow{AB} = overrightarrow{AC} - overrightarrow{BC}$。 $c cos A = b cos C - a cos C$。 $c cos A = (b - a) cos C$。 $c = (b - a) frac{cos C}{cos A}$。 这个公式是对的，但如何推导出正弦定理？ $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B}$。 $a = b frac{sin A}{sin B}$。 $c = a frac{sin C}{sin A} = b frac{sin C}{sin B}$。 故此 $b - a = b - b frac{sin C}{sin B} = b (1 - frac{sin C}{sin B})$。 $c cos A = b (1 - frac{sin C}{sin B}) cos C$。 $c cos A = b (sin B - sin C) cos C / sin B$。 这里面有 $sin B - sin C = 2 cos frac{B+C}{2} sin frac{B-C}{2}$。 这忒繁琐了。 或许用向量积？ $overrightarrow{AB} times overrightarrow{BC} = 0$（共线）。 $overrightarrow{AB} times overrightarrow{AC} = 0$。 $|overrightarrow{AB}||overrightarrow{BC}|sin A = |overrightarrow{AC}||overrightarrow{AB}|sin C$？ $|overrightarrow{AB}|^2 + |overrightarrow{AC}|^2 = |overrightarrow{BC}|^2$？不对，这是余弦定理。 等一下，我是不是想复杂了？ $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{BC} = c cdot a cos(180 - C) = -ac cos C$。 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = bc cos A$。 $overrightarrow{BC} cdot overrightarrow{AC} = ab cos C$。 $overrightarrow{AB} - overrightarrow{AC} = overrightarrow{CB}$。 $(overrightarrow{AB} - overrightarrow{AC})^2 = a^2 - 2 overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} + b^2$。 $c^2 - 2bc cos A + b^2 = a^2$。 还是没出结局。 好吧，不管了，反正向量法不就是把边长看作投影吗？ $a = 2R sin A$。 $b = 2R sin B$。 $c = 2R sin C$。 证明过程： 定义 $R$ 为外接圆半径。 $overrightarrow{AB} = overrightarrow{OB} - overrightarrow{OA}$。 $|overrightarrow{AB}| = c$。 $|overrightarrow{OB}| = b$。 $|overrightarrow{OC}| = a$。 $angle BOC = A$。 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{OB} = cb cos A$。 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{OA} = 0$？不对。 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{BC} = -ac cos C$。 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = bc cos A$。 $overrightarrow{BC} cdot overrightarrow{AC} = ab cos C$。 $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A$。 $b^2 = c^2 + a^2 - 2ac cos B$。 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C$。 消去 $cos A$。 从第一个方程：$2bc cos A = b^2 - a^2$。 $cos A = frac{b^2 - a^2}{2bc}$。 代入第二个方程： $b^2 = c^2 + a^2 - 2a frac{b^2 - a^2}{2bc} cdot c = c^2 + a^2 - frac{a(b^2 - a^2)}{b}$。 $b^2(b) = bc^2 + ab^2 - a^3 - ab dots$ 不对。 $b^3 = bc^2 + a^2b - a^2c$？ $b^3 = b c^2 + a^2 b - a^2 c$？ $b^3 = b c^2 + a^2 b - a^2 c - a^2 b + a^2 c$? $b^3 = c^2 b + a^2 b - a^2 c - a^2 b + a^2 c = b c^2$。 $b^3 = b c^2 implies b^2 = c^2 implies b=c$。 这也忒怪了，说明啥？说明 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{BC}$ 的符号搞错了。 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{BC} = |overrightarrow{AB}| |overrightarrow{BC}| cos(180 - C) = -ac cos C$。 $overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{BC} = ab cos C$。 $overrightarrow{AB} = overrightarrow{AC} + overrightarrow{CB}$。 $|overrightarrow{AB}|^2 = |overrightarrow{AC}|^2 + |overrightarrow{CB}|^2 + 2 overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{CB}$。 $c^2 = b^2 + a^2 + 2 b cdot a cos C$。 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C$。 这是余弦定理。 我要证明 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B}$。 $a / sin A = b / sin B iff a sin B = b sin A$。 $a sin B = a sin B$。 $b sin A = b sin A$。 这恒成立啊。 故此，只要证明 $a = 2R sin A$，$b = 2R sin B$，$c = 2R sin C$ 即可。 用向量证明： $overrightarrow{AB} = overrightarrow{OB} - overrightarrow{OA}$。 $|overrightarrow{AB}| = c$。 $|overrightarrow{OB}| = b$。 $|overrightarrow{OA}| = a$（假设 $O$ 是 $BC$ 中点？不对，$O$ 是外心）。 设外心为 $O$。 $overrightarrow{OA} perp BC$，$|overrightarrow{OB}| = |overrightarrow{OC}| = R$。 $overrightarrow{BC} perp overrightarrow{AD}$，其中 $D$ 是 $BC$ 中点。 $|overrightarrow{OA}| = R$。 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = c b cos A$。 $overrightarrow{OB} cdot overrightarrow{OC} = R^2 cos A$。 $overrightarrow{OA} cdot overrightarrow{OB} = R b cos A$。 $a = |overrightarrow{BC}| = 2 R sin A$。 $overrightarrow{BC} = overrightarrow{AC} - overrightarrow{AB}$。 $overrightarrow{BC} cdot overrightarrow{BC} = |overrightarrow{BC}|^2 = a^2$。 $overrightarrow{BC} cdot overrightarrow{AC} = ab cos C$。 $overrightarrow{BC} cdot overrightarrow{AB} = -ac cos C$。 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = c b cos A$。 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{OB} = c R cos B$。 $overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{OC} = a R cos C$。 $overrightarrow{OC} cdot overrightarrow{OB} = R^2 cos C$。 $overrightarrow{AC} = overrightarrow{AB} + overrightarrow{BC}$。 $|overrightarrow{AC}|^2 = c^2 + a^2 + 2 c a cos B$。 $b^2 = c^2 + a^2 - 2ab cos C$。 $b^2 - c^2 = a^2 - 2ab cos C + 2ca cos B$。 $b^2 - c^2 = a^2 + 2ca (cos B - cos C) / 2$。 $b^2 - c^2 = a^2 + ac (cos B - cos C)$。 $b^2 - c^2 = a^2 + ac (-2 sin frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2})$。 $b^2 - c^2 = a^2 - 2ac sin frac{A+B}{2} sin frac{A-B}{2}$。 $b^2 - c^2 = a^2 - ac cos (A-B)$。 $b^2 - c^2 = a^2 + ac cos(C-B)$。 这忒绕了。 实际上正弦定理的证明不需求如此复杂。 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = bc cos A$。 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{OA} = 0$？不对。 $overrightarrow{AB} = overrightarrow{OB} - overrightarrow{OA}$。 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = (overrightarrow{OB} - overrightarrow{OA}) cdot (overrightarrow{OC} - overrightarrow{OA})$。 $= overrightarrow{OB} cdot overrightarrow{OC} - overrightarrow{OB} cdot overrightarrow{OA} - overrightarrow{OA} cdot overrightarrow{OC} + |overrightarrow{OA}|^2$。 $= R^2 cos A - R b cos A - R a cos C + a^2$。 $= a^2 + R^2 cos A - a R cos C - b R cos A$。 $= a(a - R cos C) + R cos A (a - b)$。 这也没出结局。 算了，直接写结论。 $a = 2R sin A$。 $b = 2R sin B$。 $c = 2R sin C$。 故此 $frac{a}{sin A} = 2R = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。 向量法核心就是证明 $|overrightarrow{AB}| = 2R sin A$。 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = bc cos A$。 $overrightarrow{BC} cdot overrightarrow{AB} = -ac cos C$。 $overrightarrow{BC} cdot overrightarrow{AC} = ab cos C$。 $overrightarrow{AB} = overrightarrow{AC} + overrightarrow{CB}$。 $c^2 = b^2 + a^2 + 2 overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{CB}$。 $c^2 = b^2 + a^2 - 2 overrightarrow{AC} cdot overrightarrow{BC}$。 $c^2 = b^2 + a^2 - 2 ab cos C$。 这也没错。 好吧，反正数学上这是定理。 $frac{a}{sin A} = 2R$。 $a = 2R sin A$。 $b = 2R sin B$。 $c = 2R sin C$。 故此 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。 证明完毕。 向量法实际上就是把边长看作向量的模，利用点积公式和余弦定理结合，最终归结为 $a = 2R sin A$。 其中 $R$ 是外接圆半径。 $overrightarrow{AB} = overrightarrow{OB} - overrightarrow{OA}$。 $|overrightarrow{AB}| = c$。 $|overrightarrow{OB}| = b$。 $|overrightarrow{OC}| = a$。 $angle BOC = A$。 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{OB} = cb cos A$。 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{OA} = 0$？不对。 $overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{AC} = bc cos A$。 $overrightarrow{BC} cdot overrightarrow{AC} = ab cos C$。 $overrightarrow{BC} cdot overrightarrow{AB} = -ac cos C$。 $overrightarrow{AC} = overrightarrow{AB} + overrightarrow{BC}$。 $b^2 = c^2 + a^2 + 2 overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{BC}$。 $b^2 = c^2 + a^2 - 2 ac cos B$。 $2 ac cos B = c^2 + a^2 - b^2$。 $2 b R cos B = c^2 + a^2 - b^2$？ $b = 2R sin B implies b^2 = 4R^2 sin^2 B$。 $2 a (2R sin A) cos B = c^2 + a^2 - b^2$。 $4R a sin A cos B = c^2 + a^2 - b^2$。 $2R sin A cos B = frac{c^2 + a^2 - b^2}{2a}$。 由余弦定理 $cos A = frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$。 $2R sin A = frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c}$。 $c cdot 2R sin A cos B = frac{b^2 + c^2 - a^2}{2} + a^2 - b^2$? $c cdot 2R sin A cos B = frac{b^2 + c^2 - a^2}{2} + frac{2a^2 - 2b^2}{2}$。 $c cdot 2R sin A cos B = frac{c^2 + a^2 - b^2}{2}$。 $c cdot 2R sin A cos B = frac{1}{2} (overrightarrow{BA} cdot overrightarrow{BC})$？ $overrightarrow{BA} cdot overrightarrow{BC} = c cdot a cos B$。 $c cdot 2R sin A cos B = overrightarrow{BA} cdot overrightarrow{BC}$。 $c cdot 2R sin A = overrightarrow{BA} cdot overrightarrow{BC} / cos B$。 $c cdot 2R sin A cos B = c cdot a cos B$。 $2R sin A = a$。 得证。 故此 $frac{a}{sin A} = 2R$。 同理 $frac{b}{sin B} = 2R$。 $frac{c}{sin C} = 2R$。 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。 OK，思路通了。 用向量语言描述这个过程。 $overrightarrow{BA} cdot overrightarrow{BC} = a c cos B$。 $overrightarrow{BA} = overrightarrow{OA} - overrightarrow{OB}$。 $overrightarrow{BC} = overrightarrow{OC} - overrightarrow{OB}$。 $(overrightarrow{OA} - overrightarrow{OB}) cdot (overrightarrow{OC} - overrightarrow{OB}) = a^2 + b^2 + ca cos B$？ $|overrightarrow{BA}|^2 = a^2 + b^2 - 2 overrightarrow{AB} cdot overrightarrow{OB}$。 $|overrightarrow{BA}|^2 = a^2 + b^2 - 2 ac cos B$。 $ac cos B = frac{a^2 + c^2 - b^2}{2}$? 不对。 $|overrightarrow{BA}|^2 = c^2$。 $a^2 + b^2 - 2 ac cos B = c^2$。 $2 ac cos B = a^2 + b^2 - c^2$。 $c cdot 2R sin A cos B = frac{a^2 + b^2 - c^2}{2}$。 $c cdot 2R sin A = frac{a^2 + b^2 - c^2}{2} / cos B$。 $a = 2R sin A$。 证明搞定。 写作时注意：
1.避免教科书式。
2.不准连接词。
3.段落松散。
4.数据举例。
5.口语化。 启动写。 用户：正弦定理用向量证明（降 AI 痕迹要求）
1.不要教科书式表达。
2.不准使用：“起初、其次、最终、总而言之、值得注意的是、毋庸置疑”。
3.段落长短不一，结构略松散，不必层层递进。
4.恰当举例局部数据。
5.准少量重复、口语词和不完美表达，总字数1500字以上。 向量证明正弦定理： 先把三角形看作三根棍子搭成的三角形。边 $a$ 是 $BC$，边 $b$ 是 $AC$，边 $c$ 是 $AB$。角 $A$ 是 $AB$ 和 $AC$ 的夹角。角 $C$ 是 $BC$ 和 $AC$ 的夹角。角 $B$ 是 $AB$ 和 $BC$ 的夹角。 外心 $O$ 是个特殊点，到三边距离相等，等于外接圆半径 $R$。
这意味着 $OA=OB=OC=R$。 向量 $overrightarrow{AB} = overrightarrow{OB} - overrightarrow{OA}$。 向量 $overrightarrow{AC} = overrightarrow{OC} - overrightarrow{OA}$。 向量 $overrightarrow{BC} = overrightarrow{OC} - overrightarrow{OB}$。 我们要证 $frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。 先算 $a = |overrightarrow{BC}|$。 $|overrightarrow{BC}|^2 = |overrightarrow{OC} - overrightarrow{OB}|^2 = R^2 + R^2 - 2 R^2 cos A = 2 R^2 (1 - cos A)$。 $a^2 = 4 R^2 sin^2 (A/2)$。 $a = 2 R sin(A/2)$？不对。 $1 - cos A = 2 sin^2(A/2)$。 $a^2 = 4 R^2 sin^2(A/2)$。 $a = 2 R sin(A/2)$。 这不对，$a = 2R sin A$ 是错的，应当是 $a = 2R sin A$？ 啊，$overrightarrow{BC}$ 的长度是 $2R sin A$？ $overrightarrow{BC} = overrightarrow{OC} - overrightarrow{OB}$。 $|overrightarrow{BC}|^2 = 2R^2 - 2R^2 cos A = 4R^2 sin^2(A/2)$。 故此 $a = 2R sin(A/2)$。 但正弦定理是 $a = 2R sin A$。 这说明我的向量定义要么角度搞错了。 $angle BOC = 2A$。 $overrightarrow{OB} cdot overrightarrow{OC} = R^2 cos(2A)$。 $a^2 = 2R^2 (1 - cos 2A) = 4R^2 sin^2 A$。 $a = 2R sin A$。 对了，$angle BOC = 2A$。 向量 $overrightarrow{OB}$ 和 $overrightarrow{OC}$ 的夹角是 $2A$。 故此 $a = 2R sin A$。 同理，$b = |overrightarrow{AC}| = 2R sin B$。 $c = |overrightarrow{AB}| = 2R sin C$。 故此 $frac{a}{sin A} = 2R = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$。 证毕。 举例数据： 假设三角形三边长为 $3, 4, 5$。
这是一个直角三角形，$A=90^circ, B=60^circ, C=30^circ$。 $a=5, b=4, c=3$。 $sin A = sin 90^circ = 1$。 $sin B = sin 60^circ = sqrt{3}/2$。 $sin C = sin 30^circ = 1/2$。 左边 $frac{a}{sin A} = 5/1 = 5$。 右边 $frac{b}{sin B} = 4 / (sqrt{3}/2) = 8/sqrt{3}$。 右边 $frac{c}{sin C} = 3 / (1/2) = 6$。 $5 neq 8/sqrt{3} approx 4.61$。 哪儿错了？ 啊，$b=4$ 对应 $B$，$a=5$ 对应 $A$，$c=3$ 对应 $C$。 $frac{a}{sin A} = 5$。 $frac{b}{sin B} = 4 / (sqrt{3}/2) approx 4.61$。 $frac{c}{sin C} = 6$。 这不等于。说明 $a,b,c$ 和 $sin A, sin B, sin C$ 的对应关系搞混了？ 应当是 $a/sin A = b/sin B = c/sin C$。 $a=5, A=90 implies a/sin A = 5$。 $b=4, B=60 implies b/sin B = 4.61$。 $c=3, C=30 implies c/sin C = 6$。 这说明 $3, 4, 5$ 的边长顺序不对应角 $A, B, C$。 应当是 $A$ 对 $a$，$B$ 对 $b$，$C$ 对 $c$。 要是 $a=5, b=4, c=3$，则 $A=90, B=60, C=30$。 那么 $a/sin A = 5/1 = 5$。 $b/sin B = 4 / 0.866 approx 4.61$。 $c/sin C = 3 / 0.5 = 6$。 这不等于。 这说明 $a,b,c$ 跟 $A,B,C$ 的对应关系有难题？ 不对，$a=BC$，$b=AC$，$c=AB$。 在 $3,4,5$ 三角形中，$BC=5, AC=4, AB=3$。 $A=90, B=30, C=60$。 $a/sin A = 5/1 = 5$。 $b/sin B = 4 / 0.5 = 8$。 $c/sin C = 3 / 0.866 approx 3.46$。 还是不对。 哦，$sin B = sin 30 = 0.5$。 $b/sin B = 4/0.5 = 8$。 $c/sin C = 3/sin 60 = 3/0.866 = 3.46$。 这里 $a/sin A = 5$。 $8 neq 5$。 说明 $a,b,c$ 和 $sin A, sin B, sin C$ 的对应关系不是 $a/sin A$。 应当是 $a/sin A$ 等于常数。 难道我 $3,4,5$ 的边长对应角搞错了？ $3^2 + 4^2 = 5^2$。$c^2 + b^2 = a^2$。 $c=3, b=4, a=5$。 $A$ 对 $a=5$，$A=90$。 $B$ 对 $b=4$，$B=60$（出于 $sin B = b/a = 4/5 = 0.8$）。 $C$ 对 $c=3$，$C=30$（出于 $sin C = c/a = 3/5 = 0.6$）。 检查：$a/sin A = 5/1 = 5$。 $b/sin B = 4/0.8 = 5$。 $c/sin C = 3/0.6 = 5$。 对了。我刚刚算错了角度。 $b/sin B = 4 / (sqrt{3}/2)$ 是错的，$sin 60 = sqrt{3}/2 approx 0.866$。 $sin 60 = cos 30$。 在 $3,4,5$ 中，$A=90, B=60, C=30$ 是错的。 应当是 $A=90, B=60, C=30$ 时，$a=5, b=4sqrt{3}, c=2$。 对，$a=5$ 是斜边。 那 $b=4, B=60$ 不对，$b$ 应当是对边。 要是是 $3,4,5$，$a=5, b=4, c=3$。 $sin A = a/a = 1$。 $sin B = b/a = 4/5 = 0.8$。 $sin C = c/a = 3/5 = 0.6$。 $b/sin B = 4 / 0.8 = 5$。 $c/sin C = 3 / 0.6 = 5$。 $a/sin A = 5 / 1 = 5$。 对了。我之前把 $B$ 算成 $60$ 度了，实际上 $B$ 的对边是 $4$，斜边 $5$，故此 $sin B = 4/5$。 $sin 60 = sqrt{3}/2 approx 0.866$。 $sin B = 0.8$。 故此 $sin 60 neq sin B$。
这意味着 $B$ 不是 $60$ 度。 在 $3,4,5$ 中，$B$ 对应的角 $sin B = 0.8$。 $cos B = 3/5 = 0.6$。 $tan B = 4/3$。 $B approx 53.13^circ$。 $C approx 36.87^circ$。 故此 $a/sin A = b/sin B = c/sin C = 5$。 这个例子数据是对的。 写作时注意：
1.不用“起初、其次”。
2.段落长短不一。
3.口语化。
4.数据举例。
5.总字数1500字以上。 目前启动写作。