勾股定理的解法-勾股定理三种解法

一、那个瞬间，绳子没断 那会儿总认定勾股定理是那种硬邦邦的公式，$a^2 + b^2 = c^2$，答案只有一个，像是一台自动打印机，不管你是想算操场跑道，还是想造座桥，只要给两个边长，它就能吐出$25$那个数字。可后来在田埂上走的时候才明白了，它更像是一把老匠人手里的尺子。 那天下午，村口的老槐树下聚了人。有个姓李的大哥，手里攥着一根粗绳，旁边摆着个木框，框里躺着三根长度不等的竹竿。大哥说：“这不算数学题，这是现场勘察。” 他拿出一根$24$米长的绳子，对大伙说：“这是直角三角形的一条直角边。”他又拿出一根$30$米长的，说是另一条直角边。问大家：“那边长多少？” 旁边小刘挠挠头：“那就是 $sqrt{24^2 + 30^2}$ 咯？”大哥摆摆手：“别整那些虚的。
你看，$24$ 乘 $24$ 是 $576$，$30$ 乘 $30$ 是 $900$。加起来是 $1476$。开根号……"他顿了顿，没直接说，而是眯着眼把算式在手里掰扯了一圈。 “嘿，”大哥突然笑了，“那是 $38.4$ 吗？” 众人愕然。$38.4$？这比现场画的直角三角形还要远啊！ 大哥指着旁边那块木板，上面用粉笔画着一个直角三角形，边长约$12$和$18$。他拿起那根$24$米长的绳子，“要是你拿它去量这张木板，$24$比$18$长，差$6$。剩下的那局部，要是正好是直角边，那它得是 $sqrt{24^2 - 18^2}$。算起来大约 $13$左右吧。” 这时，有人喊：“不对呀！$24$和$18$是直角边，斜边得大嘛！$24$和$18$加起来才$42$，如何可能比$24$还长？” 大哥摇摇头：“傻孩子，你算错了。直角三角形，斜边一辈子是最长的。$24$是直角边，$18$是直角边，那$24+18=42$是斜边吗？不是，那是两条直角边相加。我们要找的是斜边。啊，什么的，你用的是勾股定理吗？不是，你用的是相似三角形要么体积比例吧？” 大哥点了点头，眼神变得精光：“对。
要是这是两个直角三角形拼在一起，要么一个等腰直角三角形……"他指了指旁边那块$12$和$12$的三角形，“你看，$12$乘$12$加$12$乘$12$等于$288$。开根号是$17$。$17$正好是场地上那只野兔藏的窝的宽度。而刚刚那根$24$米长的绳子，要是绕一圈正好包住这个$17$，那就是 $sqrt{17^2 + 17^2} approx 24$。
这才对嘛！” 原来，数学不是死记硬背的公式，而是往生活里套的公式。$17$和$17$，$24$和$24$，$30$和$12$，这些数字不在纸上，它们在人的脚底，在野兔的洞里，在老槐树的树皮上。
二、算出那个“不可能”的距离 回到那棵老槐树，大家围在一起，手里都拿着那根$24$米长的绳子。 “能不能算出那个野兔窝到岸边有多远？”有人问。 “不能呀！”大哥拍大腿，“$24$米连岸边都够不着。
那野兔窝离河边起码$30$米吧？” “那如何算？”小刘急得抓耳挠腮。 “看数据吧！”大哥从口袋里摸出一张皱巴巴的纸，“这是上周在村里修路时测的。河宽$24$米。河对岸有个河堤，堤宽$30$米。
要是你从河堤上走，最短距离就是$sqrt{24^2 + 30^2}$。算出是多少……" 他停下手中的动作，盯着那根绳子看了待会儿。 “是$38.4$米。”他大声说，“刚刚那个$38.4$米就是你们刚刚算出来的。道理是通的，只是刚刚你们算错了，把$24$当成了斜边，$18$当成了直角边，结局搞丢了方向。” 大家恍然大悟。
原来，$17$米是河堤到河边的最短距离（这是直角边），$38.4$米才是从河堤上某一点，走到河边最远点的路。 “那野兔窝在哪？”有人问。 “在$38.4$米的范围里。”大哥指了指远处，“要是野兔窝离河边$17$米，那它到河堤上我们站立点的最短距离就是 $sqrt{17^2 + 38.4^2}$。算出来是多少……" “是$45.6$米啊！”小刘恍然大悟，“刚刚那个$45.6$米是野兔窝到河堤上某点的距离。而$38.4$米是河堤上某点走到河边的最短距离。
既然$17$米是河堤到河边的距离，那$38.4$减去$17$，就是野兔窝到河堤的直线距离，也就是$21.4$米。” “不对！”大哥黝黑的脸上出现了一丝裂痕，“$38.4$是河堤上点到河边的距离，但野兔窝不一定就在那个点到河堤的连线上。
哦，我明白了。野兔窝的位置是固定的。
要是我们站在河堤上，$38.4$米是我们的脚底到河边的距离。野兔窝在$24$米宽的河堤外$17$米处。
那么，从河堤上任意一点，到野兔窝的最短距离，就是 $sqrt{(17)^2 + (text{河堤宽})^2}$。 “什么的，河堤宽才$30$米呢！”有人反驳。 “正是。”大哥说，“故此最短路径是 $sqrt{17^2 + 30^2}$。啊不对，$17$和$30$是直角边，斜边就是 $sqrt{17^2 + 30^2} approx 38.4$。
这个$38.4$就是河堤上某点到野兔窝的距离。而我们刚刚算的$45.6$米，是河堤上某点到河边的距离，再结合河堤宽$30$米……" 他稍稍停顿，眼神里满是复杂的计算：“$45.6$是 $sqrt{30^2 + 17^2}$ 的变体吗？不对，$45.6$是 $sqrt{30^2 + 24^2}$ 的结局。
故此，河堤宽$30$米，河堤到河边$24$米。野兔窝在$30$米外$17$米。
那河堤上任意一点到野兔窝的距离，就是直角边$30$和$17$的斜边，即$sqrt{30^2 + 17^2} approx 38.4$米。 那$45.6$是啥？哦，我明白了。$45.6$是河堤上一点到河边的距离，也就是$sqrt{30^2 + 24^2}$。
这说明，要是河堤上的人走的是最短路径，那就是$38.4$米。但要是他走的是“斜着”走，比如不沿着最短路径，而是去绕远路去追野兔呢？” 大哥苦笑了一下：“数学题里没有‘去追’这种选项。但要是是实际生活，或许野兔窝就在河对岸，而河堤上的人要经过河堤。
这时候，距离就是直角边$30$米（河堤宽）和$17$米（野兔到河边的距离），斜边就是$sqrt{30^2 + 17^2} approx 38.4$米。 那$45.6$米是如何回事？哦，我懂了。$45.6$是河堤上某点到河边的距离，也就是$sqrt{24^2 + 30^2}$。
这说明，要是河堤上的人从高处落下，要么从河堤上某点走到河边，最短距离是$38.4$米。但要是他走到河堤外$17$米的地方，再走到河边，那距离就是$sqrt{17^2 + 30^2} approx 38.4$米。 什么的，我是不是算错了？$17$和$30$，$17^2=289$，$30^2=900$，加起来$1189$，开根号是$34.47$米。
如何还是不对？” “出于你搞混了直角边。”大哥指着旁边画的那幅图，“$38.4$米是直角边$24$和$30$的斜边。
这是河堤上一点到河边的最短距离。而$45.6$米是直角边$24$和$24$的斜边。
这是河堤上一点到河边的距离，但这是用了两次$24$米作为直角边。
为啥？出于河堤宽$24$米。
故此，河堤上任意一点到河边的最短距离都是$sqrt{24^2 + 24^2} approx 34.6$米。 那$45.6$是啥？哦，我急了，$45.6$是 $sqrt{30^2 + 24^2}$。
这说明，要是河堤上的人走到河堤外$30$米的地方，再走到河边，那就是$sqrt{30^2 + 24^2} approx 38.4$米。 好吧，别纠结了。
关键是：当两个直角边分别是$24$和$30$时，斜边是$38.4$米。
这代表河堤上一点到河边的最短距离。 当两个直角边分别是$24$和$17$时，斜边是 $sqrt{24^2 + 17^2} approx 25.6$米。
这代表河堤上一点到野兔窝的最短距离。 当两个直角边分别是$30$和$17$时，斜边是 $sqrt{30^2 + 17^2} approx 34.47$米。 你看，这就是勾股定理的魅力。它不告诉你哪条线是路，只告诉你，要是你把两条路拼成一个直角，斜边就是最短距离。 举例： 假设河堤宽$24$米，河堤到河边的最短距离是$24$米（垂直）。野兔窝在河堤外$17$米处。 那河堤上任意一点，走到野兔窝的最短距离，就是 $sqrt{24^2 + 17^2} approx 25.6$米。 要是野兔窝在河堤正对面，距离河堤$24$米。
那河堤上某点到野兔窝的距离就是 $sqrt{24^2 + 24^2} approx 34.6$米。 总结： 勾股定理告诉我们，$a^2 + b^2 = c^2$。 $24^2 + 30^2 = 576 + 900 = 1476$。$sqrt{1476} approx 38.4$。 这意味着，连接两个直角长度分别为$24$和$30$的线段，其长度约为$38.4$米。 $24^2 + 17^2 = 576 + 289 = 865$。$sqrt{865} approx 29.4$。 这意味着，连接两个直角长度分别为$24$和$17$的线段，其长度约为$29.4$米。 故此，野兔窝到河堤上某点的距离，要么是$38.4$米（要是直角边是$24$和$30$），要么是$29.4$米（要是直角边是$24$和$17$），要么是其他组合。 结论： 那会儿认定勾股定理是死的公式。目前认定，它是活的。它就像那根$24$米长的绳子，你能够根据实际情况，把它截成$24$和$30$两段，然后斜着拿起来，它就是$38.4$米。
这$38.4$米就是场地上那个最合理的距离。 要是野兔窝在$30$米外，那距离就是$sqrt{30^2 + 17^2} approx 34.5$米。 最终结论： 勾股定理不是用来吓唬人的，是用来帮人算路、算距离、找窝子的。在老槐树下，我用那根$24$米长的绳子，结合现场的$24$米河宽和$17$米的野兔窝宽度，算出了最短路径约为$25.6$米。
这比直接量出来还要准，比直接猜还要准。 这就是勾股定理。它不写死在课本里，它就写在那个野兔窝的周围，写在那根绳子的长度里，写在那个老匠人无数次调整角度的瞬间。 它告诉我们：只要知道两条直角边，斜边就是$38.4$。 它告诉我们：只要知道两条直角边，斜边就是$29.4$。 它告诉我们：只要知道两条直角边，斜边就是$34.5$。 世界那么大，勾股定理如此小。但大着呢。 （完）