勾股定理北师大版-勾股定理北师大版

咱们今天不整那些书呆子气的定义和公理罗列，直接上点活办法。勾股定理这事儿，说起来好办做起来难，关键就在那个“斜”字。咱们先摆个图，画个直角三角形 ABC，角 C 是直角，然后在那条直角边 AC 上截取一段 CD，让 AD 等于 10 厘米，BC 等于 12 厘米。
这时候，再量一下斜边 AB 的长度，发现它正好是 16 厘米。
这时候我们才发现，10 的平方加 12 的平方，等于 16 的平方，这三个数凑在一起，简直就是个完美的数学公式，像睡着了一样自然。 大量人会认定，这玩意儿是不是靠“勾”和“股”非要凑成 3 和 4 整出来的？实际上不然，这玩意儿是神来之笔，但它得有个前提：务必是直角三角形。
要是你随意画个三角形，把三边加起来算个总面积，那就是海伦公式，那是另一条路，跟勾股定理没关系。勾股定理专门就是说，直角三角形里，两条直角边的长度平方加起来，一辈子等于斜边的长度平方。哪位要是敢骗人说是直角三角形就能用这个公式，那可真算是把数学课搞砸了。 那这公式到底长啥样呢？实际上就是 $a^2 + b^2 = c^2$。
你看啊，这个符号 $a^2$ 读作 a 的平方，$b^2$ 是 b 的平方，$c^2$ 是斜边 c 的平方。
这个符号本身就挺规矩，就像咱们讲话得得有个句号才叫整个一样。
不过要记住，这个公式有个庞大的陷阱，那就是直角。
只要不是直角三角形，这个公式就彻底不管用了。自然，也不是说直角三角形就一定能直接用这个公式，还得知足特定条件，比如直角边务必能量出来，斜边也务必能量出来，要是其中一个边是虚的要么量不出来，那结论就得暂时先搁置，别急着下结论。 说到这儿，你肯定在想，那要是不知道斜边长，只知道两条直角边，该咋办呢？这就得用这个公理了。
要是你知道两条直角边分别是 3 和 4 厘米，那你一眼就能看出 $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$。
这时候，斜边的平方就是 25，那斜边这就等于 5 厘米了。出于 5 的平方 25，跟直角边平方之和彻底吻合，故此这就是勾股定理最经典的例子，中国人叫它“勾三股四弦五”，就是这个理儿。 再换个角度想，咱们不用量尺，而是用逻辑推理。
要是你假设斜边比直角边长，那让两条直角边拼起来，应当能把斜边从点 A 带到点 C。可你仔细看看，拼上去的那条边，如何可能比原来的斜边还长呢？这就存有矛盾了。
故此，斜边务必是最长的边。
那要是直角边比斜边长呢？那让两条直角边拼起来，两条边肯定能把斜边送那会儿了，结局又不合逻辑。
故此，直角边务必比斜边短。
既然斜边最长，直角边最短，那在拼图的时候，肯定要尽量把直角边往斜边上靠，让直角边和斜边重合，这样拼出来的图形才能完美契合。 再往深处琢磨，这个定理背后实际上藏着一种挺妙的对称美。
你看，两条直角边，两边都是长度平方，它们相等，故此把这两边都推一下，它们就会重合。而斜边，两边都是长度平方，它们也相等，故此把斜边也推一下，它也会和另一个斜边重合。
这样一来，三条边就都重合在一起了，把三角形拼成一个正方形。
这时候，剩下的那个小正方形，它的边长正好是直角边。
要是直角边是 3，那小正方形边长就是 3，面积就是 9。两个 3 的平方加起来，就是 18。而那一个大正方形的面积，就是斜边的平方。
这两个面积自然得相等，否则就不对了。
这就好比在没画任何线条之前，两个图形就已经偷偷地互相比较过了。 实际上啊，勾股定理这东西，名字里带个“定理”二字，实际上挺反感的。它忒朴素了，忒随意了。
不是你想想就能推出来的，也不是你死记硬背就能套用的，它得靠实践，得靠“做”出来的。你拿个卷尺去量，要么拿起计算器去算，把数据扔进去，看看能不能对上号，这才是真正的学习。别整那些虚头巴脑的名词，数学就是给现实生活找规律，找规律的过程就是理解的过程。 最终再说说实际应用，别总当作学这个就是为了考试。生活中的例子忒多了。
比如装修房子，给你个房间，让你算算铺地毯得多少钱，得先算出房间周长的一半再乘以地毯宽度，这实际上是勾股定理的变种。再比如航海，要确定两站之间的距离，也得用这个公式。就连你做饭切菜，有时候折个角还能用这个定理算出刀要切多深。
这玩意儿不仅不枯燥，反而能让人感觉到数学就在身边，随时预备着帮你解决难题。 故此啊，下次再遇到勾股定理，别拿着教科书在那念课文了。
看看这张图，量量这个数，算算这个等式，你会发现，原来真理就是如此好办，就如此直白，就如此让你忍不住想信。