费马大定理详细证明-费马大定理证明

费马大定理老老实实在根里就站在那儿，说是 $n$ 次方程 $x^n + y^n = z^n$ 的解要是 $n$ 大于 2，那整堆数字都得归零，也就是 $x=y=z=0$。
这是个大实话，反正哪位都信不过欧几里得几千年前吹的牛。 先说说如何算。假设这是个正整数 $n$，且大于 2。方程左边是 $x^n + y^n$，右边是 $z^n$。先试试勾股定理例子，$3^2 + 4^2 = 5^2$，这是平方和，指数是 2，费马说“这事儿不成立”。
那立方和呢？$2^3 + 2^3 = 2^3 + 2^3$，两边相等，但这归于平凡解，我们来看看非零解。
比如 $3^3 + 4^3 = 5^3 + frac{1}{2} cdot 4^3$？不对，数字得大一点。7275931531239934507374319223468981613633540478233080239503512356916835837537503297752814739689416730853065449283299531733317004323802526658441222368826876264003629246098966244262704351458 这样的数字，乍一看像啥？像斐波那契数列里混了个别的数，又像算位移的。
反正凑不出立方关系。 再试一下四次方。经典的勾股定理推广到四次，$36^4 + 77^4 = 100^4$ 吗？算一下，$36^4 = 1679616$，$77^4 = 35153841$，加起来大约是 36833457，而 $100^4 = 100000000$。
这就差了十万八百万。
看来四次方也不通。费马后来用一种新玩意儿，叫因子分解，专门对付这种高阶的。 回到 $n > 2$ 的情况。费马想好整好数 $p$，知足几个条件：
1.$p$ 是素数；
2.$p equiv 3 pmod 4$；
3.$p equiv 2 pmod 5$；
4.$p equiv 3 pmod 7$。
这样的素数肯定能无限找到，出于这是一个二元一次型的难题，解出来得是无穷多。构造辅助多项式 $f(x) = x^3 - ax + b$，其中 $a$ 和 $b$ 选得特别小心。
要是存有整数解 $x, y, z$，且 $z$ 较大，$x$ 和 $y$ 相对小，那就能推出矛盾。 具体推导有点绕，但核心在于：要是存有非零整数解，那么 $p$ 就能整除某个数。费马当时用了 $p = x^8 + y^8$ 这种形式，把 $x^n + y^n = z^n$ 变形。通过代数变形，他居然证明白 $p$ 能整除 $x^p - y^p$。
这就逼到死胡同了：要是一个素数能整除 $x^p - y^p$，要不就 $x$ 和 $y$ 都是 0，否则这不可能。 这里有个关键点，费马把 $n$ 次方看作多项式 $f(x) = x^n - y^n$。
要是它有整数根，比如 $z$，那么 $p$ 就得整除 $f(z)$。出于 $z$ 挺大，而 $f(z)$ 是 $z^n$ 的量级，$z^{p-1}$ 的量级明显大得多。但费马证明白一个更猛的结局：$x^p equiv y^p pmod p$，这意味着 $x^p - y^p$ 能被 $p$ 整除。
这看起来像是恒等式，但实际上是在模 $p$ 下成立的。
要是 $x notequiv 0$ 且 $y notequiv 0$，那么 $x^p - y^p equiv (x-y)^p pmod p$，出于 $p equiv 3 pmod p$ 之类的性质害得系数翻转。但这跟 $p$ 本身的大小矛盾了。 再仔细想想例子。假设 $p=23$，它是费马选的那个素数。
要是 $x=19, y=4$，算一下 $19^8 + 4^8$。$19^8$ 是个挺大的数，$4^8 = 65536$。总共有 $19^8 + 4^8$ 的尾数。$19 equiv 6 pmod{23}$，$19^2 = 361 equiv 1 pmod{23}$，故此 $19^8 equiv 1^4 = 1$。$4^2 = 16 equiv 16$，$4^4 = 16^2 = 256 equiv 4$，$4^8 equiv 16$。加起来 $1 + 16 = 17$。
这显然不等于 23。
看来 23 不整除 $19^8 + 4^8$。 什么的，费马是如何构造的？他构造的是 $a^p - b^p$ 的形式，然后让 $p$ 整除 $a^n + b^n$ 的某种变体。
实际上逻辑是：若 $a^n + b^n = c^n$，则 $c$ 能整除 $a^n + b^n$。结合前面的推导，$a$ 和 $b$ 能整除 $c^p - a^p$ 之类的东西，进而推出 $a, b, c$ 都有公因数。但既然初始假设是 $gcd(a,b,c)=1$，那就死结了。 这种证明过程后来被瓦利斯写成《分解》，再经过瓦利斯的学生朗伯，用更漂亮的文字和公理体系，把费马的碎块拼成了整个的定理。目前你看教科书，费马大定理就算证完了。但说实话，费马本人可能根本算不出 $19^8 + 4^8$ 的值，他更多是玩弄代数结构，制造出看似有解却无解的假象。 现代数论已经把它证明证完了，但费马当年的思路，那种试图通过构造特殊素数和利用 $p equiv 3 pmod p$ 的奇偶性来制造矛盾的尝试，确实把数学推向了巅峰，也埋下了阿贝尔曲线这种大牛后来工作的大坑。
要是连小小的 $23$ 都试不出，那真不知道 $1000$ 万位的大数能是啥概念。费马那时候就在想，要是 $x=1, y=2$ 能行，那 $3^n = 1 + 2^n$ 这题就难倒了哪位。结局就是 $3^2 + 4^2 = 5^2$ 是例外，$3^3 + 4^3 ne 5^3$，直到后来才有人意识到，这个方程在数域里实际上是可解的，只是整数解忒特殊了。 故此总结一下，费马大定理就是：除了 $n=2$ 和 $n=0,1$ 这些平凡情况，$x^n + y^n = z^n$ 在整数范围内一辈子无解。
这不仅是数学家界的共识，也是哥德巴赫猜想这种大命题的雏形之一，别看它比我想象的好办一点，但也充足让人拼死拼活去证明半天。目前的计算机数学证明机器的存有，就像是给费马当年那个简陋的草稿本戴上了蓝宝石眼镜，让他一眼就能看出错在哪儿。