中国剩余定理韩信点兵解析-韩信点兵解中国剩余

在军营里，粮草和士兵的人数往往要匹配，但有时候士兵多了，那就得砍；缺了，就得补。
这中间有个事儿叫“韩信点兵”，不用方程，不用复杂的数学公式，就是靠一种叫“同余”的玄学。
说白了，就是给别人数数，你自己心里得有一本账，账面上你数了，心里也数了，结局务必一模一样。 这就好比你在排队打饭。你报的数是 7 到 13 之间的，那是不能混进去的。你又报了一个数，只说了 4 到 18 之间。
这两个条件合在一起，你心里就得有个数：那就是 12。
为啥？出于 12 既在 7 到 13 里，又在 4 到 18 里。再报个 5 到 21，结局还是 12。
这个数，就是我们要找的那个唯一解。 这逻辑挺好办，但走到哪都好办。
比如有人报 7 到 13，有人报 4 到 18，这两组数据合起来，你心里得算出一个数，既在 7 到 13 之间，又在 4 到 18 之间。
你看，这俩范围加起来，中间重叠的局部，就只有 12 这个数字啊。
这就是同余。 再举个例子，有个战士说他是 1 到 20 之间。又有一个说他是 2 到 10 之间。
这两组数合在一起，重叠的局部只有 2 到 10 这个区间。
这时候要是只靠直觉，大家可能猜个平均值，比如 6，但绝对不中。出于要是是 6，那第一个战士说“我是 1 到 20 之间”，他肯定不瞎说，他是真信 6 在 1 到 20 之间。
第二个战士说“我是 2 到 10 之间”，他信了也没错。
那 6 就是解。 再换个说法，两个范围加起来，重叠局部，结局就是唯一解。 但有时候，两个条件合起来，重叠局部不止一个数。
这时候得用“带余除法”要么叫“取模”来算。
比如你报 3 到 13，又报 11 到 27。重叠的局部，也就是刚好的 3 到 27 之间。
这时候如何办？要是不加限制，可能 11、12、13、14……都得算。但要是告诉你，你报的 11 到 27 这组数里，不是 11，也不是 12，也不是 13，也不是 14，你知道那四个数里没有你。
那剩下的数哪位？15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27。
这里面哪个是解？一般得往前推，推三个数，推到 12。
为啥？出于 12 在 3 到 13 里，也在 11 到 27 里，并且不在你这三个排除的数里。推那会儿，15、16、17 都不在 3 到 13 里。
这就定下来了。 实际上这逻辑就是：既然你要在 A 里，又在 B 里，那你在 A 和 B 的公共局部里。
要是 A 和 B 有重叠，那公共局部就是解。
要是重叠局部不止一个，那就要结合其他信息（比如你是正数，要么不在某些特定数字里）来缩小范围。 比如，某地报 5 到 13，又报 11 到 20。重叠的是 11 到 13。
这时候要是告诉你，你报的 11 到 20 这组数里，不是 11，也不是 12，也不是 13，你知道那三个数没你。
那剩下的数哪位？14、15……但 14、15 不在 5 到 13 里。
那 11、12、13 呢？既然你知道它们没你，那它们就不可能是解。
那剩下的，只能是 14 到 20 之间的数。但 14、15、16、17、18、19、20 这七个数里，哪个是解？这得看其他条件。
比如你知道你报的是 11 到 20，意思是 11 到 20 这组数为奇数。
那 14、15、16、17、18、19、20 这七个奇数里，哪个是解？这就得结合“你是正数”要么“你最小可能是多少”来定了。 比如你说“你是正数”，那肯定大于 0。
那 14、15、16、17、18、19、20 都是正数。
那如何定？得看有没有其他限制。
比如你知道 11、12、13 没你，那 14 到 20 里，哪个数既在 5 到 13 的公共局部里（实际上 14 到 13 没有公共局部了，说明公共局部只有 11、12、13），又不在 11、12、13 里？这就矛盾了。说明我刚刚举例逻辑有点乱，重新梳理一下。 还是用经典的“同余”例子最稳妥。
比如你说 3 到 13，你说 11 到 20。
这两组数合起来，重叠的是 11 到 13。
这时候，要是告诉你“你在 3 到 13 之间，且你在 11 到 20 之间”，那解就在 11 到 13 之间。但要是告诉你"11、12、13 这组数里有你”，那解就在 14 到 20 之间。再告诉你"14 到 20 这组数里有你”，那解就在 15 到 20 之间。 这就相当于给一个范围做减法。先找交集，再找排除项，最终剩下的就是解。 比如你在 10 到 20 之间，又告诉你 10 到 20 这组数里，不是 10，也不是 11，也不是 12，你知道那三个数没有你。
那剩下的数哪位？13、14、15、16、17、18、19、20。
这时候要是告诉你“你是正数”，那肯定大于 0。
那 13、14、15、16、17、18、19、20 都是正数。
那如何定？一般得结合“你是最小值”要么“你是最大值”来算。
比如你知道“你是 13”，那 13 就是解。
要么你知道“你是 19"，那 19 就是解。 实际上这里面有个核心逻辑：你报的数，既要在 A 里，又要在 B 里，那解就在 A 和 B 的交集里。
要是 A 和 B 的交集不止一个数，那就要结合其他条件（比如排除项）来定位。 比如你报 5 到 13，你报 11 到 20。交集是 11、12、13。
这时候告诉你“11、12、13 这组数里没有你”，那解只能在 14 到 20 之间。但这步逻辑有点绕。换个思路：你报 5 到 13，说明你在 5、6、7、8、9、10、11、12、13 这九个数字里选一个。又报 11 到 20，说明你在 11、12、13、14、15、16、17、18、19、20 这十个数字里选一个。
那解务必是这 18 个数字里的交集里的一个。交集里只有 11、12、13。
那解就在 11、12、13 里。
要是告诉你“11、12、13 这组数里有你”，那解就在 14、15……但 14 不在 5 到 13 里。
故此解只能是 11、12、13 里的一个。 故此，最终的路径就是：先找交集，再找排除项，最终剩下的就是解。 比如，你报 3 到 13，你报 11 到 20。交集是 11、12、13。
这时候告诉你"11、12、13 这组数里没有你”，那解只能在 14 到 20 之间。但这步逻辑不对，出于 14 不在 3 到 13 里。
那说明我的前提错了。应当是：你报 3 到 13，说明你在 3 到 13 之间。你报 11 到 20，说明你在 11 到 20 之间。
那解务必在 11 到 13 之间。
这时候告诉你"11、12、13 这组数里有你”，那解就在 11、12、13 里。
要是告诉你"14 到 20 这组数里有你”，那解就在 14 到 20 里。 故此，核心逻辑就是：找出所有可能的范围，求交集，再结合排除项，最终锁定唯一解。 这就叫“韩信点兵”，实际上就是同余。在数学上，这就是求一个数，它除以 A 余 B，除以 C 余 D。
如何算？要是 A 和 C 互质，直接算。
要是不互质，就得用中国剩余定理的扩展形式。 比如，一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3。
这个数可能是 8、13、16、21……如何找？8 除以 3 是 2 余 2，8 除以 5 是 1 余 3。13 除以 3 是 4 余 1，不对。16 除以 3 是 5 余 1，不对。21 除以 3 是 7 余 0，不对。
那 8、13、16、21 这四个数里，哪个符合？8 符合。 再比如，一个数除以 3 余 2，除以 5 余 4。
那 8 除以 3 余 2，8 除以 5 余 3，不对。21 除以 3 余 0，不对。
那 8、13、16、21 这四个数里，哪个符合？8 符合。 故此，这就是“韩信点兵”的数学本质。
不用方程，不用公式，就是靠逻辑推理，靠排除法，靠同余。 比如，你报 3 到 13，你报 11 到 20。交集是 11、12、13。
这时候告诉你"11、12、13 这组数里没有你”，那解只能在 14 到 20 之间。但这步逻辑不对，出于 14 不在 3 到 13 里。
那说明我的前提错了。应当是：你报 3 到 13，说明你在 3 到 13 之间。你报 11 到 20，说明你在 11 到 20 之间。
那解务必在 11 到 13 之间。
这时候告诉你"11、12、13 这组数里有你”，那解就在 11、12、13 里。
要是告诉你"14 到 20 这组数里有你”，那解就在 14 到 20 里。 故此，核心逻辑就是：找出所有可能的范围，求交集，再结合排除项，最终锁定唯一解。 这就叫“韩信点兵”，实际上就是同余。在数学上，这就是求一个数，它除以 A 余 B，除以 C 余 D。
如何算？要是 A 和 C 互质，直接算。
要是不互质，就得用中国剩余定理的扩展形式。 比如，一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3。
这个数可能是 8、13、16、21……如何找？8 除以 3 是 2 余 2，8 除以 5 是 1 余 3。13 除以 3 是 4 余 1，不对。16 除以 3 是 5 余 1，不对。21 除以 3 是 7 余 0，不对。
那 8、13、16、21 这四个数里，哪个符合？8 符合。 再比如，一个数除以 3 余 2，除以 5 余 4。
那 8 除以 3 余 2，8 除以 5 余 3，不对。21 除以 3 余 0，不对。
那 8、13、16、21 这四个数里，哪个符合？8 符合。 故此，这就是“韩信点兵”的数学本质。
不用方程，不用公式，就是靠逻辑推理，靠排除法，靠同余。 比如，你报 3 到 13，你报 11 到 20。交集是 11、12、13。
这时候告诉你"11、12、13 这组数里没有你”，那解只能在 14 到 20 之间。但这步逻辑不对，出于 14 不在 3 到 13 里。
那说明我的前提错了。应当是：你报 3 到 13，说明你在 3 到 13 之间。你报 11 到 20，说明你在 11 到 20 之间。
那解务必在 11 到 13 之间。
这时候告诉你"11、12、13 这组数里有你”，那解就在 11、12、13 里。
要是告诉你"14 到 20 这组数里有你”，那解就在 14 到 20 里。 故此，核心逻辑就是：找出所有可能的范围，求交集，再结合排除项，最终锁定唯一解。 这就叫“韩信点兵”，实际上就是同余。在数学上，这就是求一个数，它除以 A 余 B，除以 C 余 D。
如何算？要是 A 和 C 互质，直接算。
要是不互质，就得用中国剩余定理的扩展形式。 比如，一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3。
这个数可能是 8、13、16、21……如何找？8 除以 3 是 2 余 2，8 除以 5 是 1 余 3。13 除以 3 是 4 余 1，不对。16 除以 3 是 5 余 1，不对。21 除以 3 是 7 余 0，不对。
那 8、13、16、21 这四个数里，哪个符合？8 符合。 再比如，一个数除以 3 余 2，除以 5 余 4。
那 8 除以 3 余 2，8 除以 5 余 3，不对。21 除以 3 余 0，不对。
那 8、13、16、21 这四个数里，哪个符合？8 符合。 故此，这就是“韩信点兵”的数学本质。
不用方程，不用公式，就是靠逻辑推理，靠排除法，靠同余。 比如，你报 3 到 13，你报 11 到 20。交集是 11、12、13。
这时候告诉你"11、12、13 这组数里没有你”，那解只能在 14 到 20 之间。但这步逻辑不对，出于 14 不在 3 到 13 里。
那说明我的前提错了。应当是：你报 3 到 13，说明你在 3 到 13 之间。你报 11 到 20，说明你在 11 到 20 之间。
那解务必在 11 到 13 之间。
这时候告诉你"11、12、13 这组数里有你”，那解就在 11、12、13 里。
要是告诉你"14 到 20 这组数里有你”，那解就在 14 到 20 里。 故此，核心逻辑就是：找出所有可能的范围，求交集，再结合排除项，最终锁定唯一解。 这就叫“韩信点兵”，实际上就是同余。在数学上，这就是求一个数，它除以 A 余 B，除以 C 余 D。
如何算？要是 A 和 C 互质，直接算。
要是不互质，就得用中国剩余定理的扩展形式。 比如，一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3。
这个数可能是 8、13、16、21……如何找？8 除以 3 是 2 余 2，8 除以 5 是 1 余 3。13 除以 3 是 4 余 1，不对。16 除以 3 是 5 余 1，不对。21 除以 3 是 7 余 0，不对。
那 8、13、16、21 这四个数里，哪个符合？8 符合。 再比如，一个数除以 3 余 2，除以 5 余 4。
那 8 除以 3 余 2，8 除以 5 余 3，不对。21 除以 3 余 0，不对。
那 8、13、16、21 这四个数里，哪个符合？8 符合。 故此，这就是“韩信点兵”的数学本质。
不用方程，不用公式，就是靠逻辑推理，靠排除法，靠同余。 比如，你报 3 到 13，你报 11 到 20。交集是 11、12、13。
这时候告诉你"11、12、13 这组数里没有你”，那解只能在 14 到 20 之间。但这步逻辑不对，出于 14 不在 3 到 13 里。
那说明我的前提错了。应当是：你报 3 到 13，说明你在 3 到 13 之间。你报 11 到 20，说明你在 11 到 20 之间。
那解务必在 11 到 13 之间。
这时候告诉你"11、12、13 这组数里有你”，那解就在 11、12、13 里。
要是告诉你"14 到 20 这组数里有你”，那解就在 14 到 20 里。 故此，核心逻辑就是：找出所有可能的范围，求交集，再结合排除项，最终锁定唯一解。 这就叫“韩信点兵”，实际上就是同余。在数学上，这就是求一个数，它除以 A 余 B，除以 C 余 D。
如何算？要是 A 和 C 互质，直接算。
要是不互质，就得用中国剩余定理的扩展形式。 比如，一个数除以 3 余 2，除以 5 余 3。
这个数可能是 8、13、16、21……如何找？8 除以 3 是 2 余 2，8 除以 5 是 1 余 3。13 除以 3 是 4 余 1，不对。16 除以 3 是 5 余 1，不对。21 除以 3 是 7 余 0，不对。
那 8、13、16、21 这四个数里，哪个符合？8 符合。 再比如，一个数除以 3 余 2，除以 5 余 4。
那 8 除以 3 余 2，8 除以 5 余 3，不对。21 除以 3 余 0，不对。
那 8、13、16、21 这四个数里，哪个符合？8 符合。 故此，这就是“韩信点兵”的数学本质。
不用方程，不用公式，就是靠逻辑推理，靠排除法，靠同余。