三角形内接圆定理-三角形内接圆定理

三角形内接圆定理这事儿，实际上有点意思，别整那些虚的理论，咱们就直说，看着心算图就懂了。 画个最好办的正三角形吧，边长两，高就有点高了。它的外心、重心、垂心、内心，这四个点四舍五入全重合在一起，像个铁钉钉在正中间。
这个点叫外心，是三条高线的交点。
要是这个三角形是个直角三角形，外心就在斜边的中点，这就好比你拿个跷跷板，支点就定在半路。
那直角三角形的斜边，既是直径，也是外接圆的直径。 再换个极端，要是它是等腰三角形，顶角是个锐角，外心就在底边的垂直平分线上了；要是顶角是个钝角，外心就算跑到三角形外面去了，像个后视镜看着来的。
这时候呢，外心、内心、重心、垂心都在一起了，这是个超级特殊的地方。 说到内接圆，就是那个圆，它包住三角形的三个顶点，并且圆心就是那个外心。
这就好比你盖房子，地基是三角形，上面盖个圆，三个角刚好碰到圆上，这就是内接圆。并且这个圆，是三角形里半径最小、面积最大的圆，半径就是外接圆半径的一半。 计算这玩意儿，实际上不难。
要是是直角三角形，外接圆直径就是斜边。
要是是一般/平平三角形，得用余弦定理算三边，然后算半周长，最终用那个面积公式塞进去。
话说回来，面积公式里那个半周长，实际上就是三角形周长的一半。 举个例子，假设有个三角形，边长分别是 3、4、5。
这正好是个直角三角形，算一下就出来了。外接圆直径就是斜边 5，半径就是 2.5。面积呢，直接用 1/2 乘以底乘以高。底是 4，高是 3，面积是 6。
那内切圆，也就是内接圆的半径，等于（3+4+5）除以 2 除以...不对，公式是 a+b+c 除以 2 除以 3。
那就是 12 除以 6，也就是 2。
这个内切圆半径是 2，正好是外接圆半径的一半。 再比如一个等边三角形，边长为 6。外接圆半径是 2√3，内接圆半径是 √3。
这俩数值能直接看出来，根号 3 乘以 2 和根号 3 除以 2 呗。
这数据挺整，说明这类三角形确实规律性强。 实际上啊，内切圆半径和外接圆半径，在三角形里有一个挺美的比例关系。记作 r 和 R 的比，一般等于 1/2 加上 1/（周长除以 2 除以 3）... 哎呀，背这个公式好办晕。
不如看图讲话。 画一个三角形 ABC，内切圆切三边于 D、E、F。连接 OD 吧，OD 就是内切圆半径，垂直于 BC。利用相似三角形要么面积法，你会发现 r 的分子正好是半周长减去边长，分母就是半周长。
故此 r = (s-a) / s，其中 s 是半周长。 再看外接圆半径 R。R 的公式是 a / (2 sin A)。换一种方式，反正弦定理也能够写成 a = 2R sin A。
那把 a 代入面积公式，面积 S = abc / 4R。
与此同时面积也是 rs。
这俩相等，把 s 换掉，就会拿到一个 R 的表达式。R = abc / 4S。 这两个公式，一个是 r，一个是 R。把它们一结合起来，你会发现 r = (s-a) / s。
这个公式一出来，感觉就顺眼多了。
你看啊，内接圆半径等于半周长减去边长，再除以半周长。
这解释得通为啥内切圆一直小于外接圆，出于 s-a 肯定小于 s。 再来讲讲垂心、外心、重心、内心的关系，这可是四大名星聚首的戏码。在直角三角形里，外心就是直角顶点对面的那个点。在等腰三角形里，它们四个点重叠。在一般三角形里，它们不在一起，但有个投影关系。垂心、外心、重心、内心，这四个点，随意取一个点往外引垂线，交外接圆于两点，这两点把外心分成的两段，和重心、内心分成的两段... 哎不对，是外心在垂心投影的延长线上，垂心在外心投影的延长线上，重心在内心投影的延长线上，内心在垂心投影的延长线上。
这四个点共线，并且顺序是 H 在 O 的延长线上，O 在 G 的延长线上，G 在 I 的延长线上，I 在 H 的延长线上。 这就挺有意思了。
比如直角三角形，外心 O 就是斜边中点。重心 G 把中线分成 2:1。内心 I 呢？在直角三角形里，内心切三边。
那从直角顶点引的角平分线，长度就是 (b+c - a) / 2。而外接圆半径 R 是 c/2。
这两个量能直接算出来吗？ 举个例子，设三边为 3, 4, 5。直角边是 3 和 4，斜边是 5。 外心 O：斜边中点，距离直角边 2.5。 重心 G：高是 3，中线是 5/2=2.5。重心到底边中点的距离是 2.5 / 3 = 5/6。重心到底顶点的距离是 2.5 2 / 3 = 5/3。 内心 I：r = (3+4-5)/2 = 1。
故此 I 到底边的距离是 1。 那这四个点共线的比例是多少呢？从上往下数： I 到顶点的距离是 1。 I 到 G 的距离是 5/3 - 1 = 2/3。 G 到 O 的距离是 5/3 - 5/6 = 5/6。 O 到底边的距离是 2.5 = 5/2。 最终 H 到底边的距离，也就是 1/2 (5/3 + 5/6) = 5/3 1/2 = 5/6。 哇，这数字真是整。5/6 除以 1/6 等于 5。
故此 H、O、G、I 的顺序是 H, O, G, I，距离底边的距离分别是 5/6, 5/6, 5/6, 5/3, 1。
不对，顺序反了，从上往下：H(5/6), O(5/6), G(5/6), I(1)。啊，这如何一样大？ 什么的，我算错了。H 到顶点的距离是 (a+b+c - 2a)/2 = (b+c-a)/2。 直角三角形，a=3, b=4, c=5。H 到顶点的距离是 (4+5-3)/2 = 5/2 = 2.5。 O 到顶点的距离，也就是斜边的一半，是 2.5。 故此 H 和 O 重合了？不对，那是直角三角形。直角三角形的垂心就是直角顶点。
故此 H 就是 C 点。
那 H 到 C 的距离是 0。
那我上面的公式算错了。 重新算一下直角三角形的垂心。直角三角形，直角在 C。垂心 H 就是 C。 重心 G 到 C 的距离是高 h_c = 6/4 = 1.5。 内心 I 到 C 的距离是 r = 1。 外心 O 到 C 的距离是斜边的一半 = 2.5。 故此从上往下：C(H), I, G, O。距离分别是 0, 1, 1.5, 2.5。 比例是 0 : 1 : 1.5 : 2.5 = 0 : 2 : 3 : 5。 这数据挺整，没毛病。 故此啊，内接圆定理这事儿，不光涉及计算，还涉及到这四个点的几何排列。内接圆半径 r 和 外接圆半径 R 的比，在直角三角形里是 1 : 2。在等边三角形里，r = R/2 = (√3)/3。
一般三角形里，这个比值就没如此整了，但依然存有。 内切圆是给三角形穿上一件外衣，外接圆是给三角形戴上一顶帽子。内切圆是最紧的，外接圆是最宽松的。两个圆相切，那是啥情况？内切圆和外接圆相切于内心和外心的中点，要么啥叫外心在内切圆上，内切圆在外接圆上？ 不对，内切圆和外接圆是内含的。内切圆彻底在外接圆里面。它们相切的条件是啥？当且仅当三角形是直角三角形且某两边之和等于第三边？不可能。 是当且仅当三角形是直角三角形时，外心在内心引出的角平分线上，且距离是 1 : 2。 当且仅当三角形是等边三角形时，外心在内心引出的中垂线上，且距离是 1 : 2。 当且仅当三角形是... 啥？当且仅当... 啊，当且仅当三角形是直角三角形时，H 和 O 重合。 当且仅当三角形是等边三角形时，H, O, G, I 重合。 故此，内接圆定理（四个点共线或重合），内切圆和外接圆的位置关系，这些，都如此回事。 总结下来，三角形内接圆定理，实际上就是讲三个顶点的圆，跟四个心的位置关系。
这个定理在几何里算核心，但在中学里不算多难。
关键是要把手头的图画准，把四个点的位置搞清楚。画错图，后面全乱套。画对了，内切圆那个圆，外接圆那个圆，再加上四个心，四个点，根本就搭好了。 最终再唠叨一句，数学有时候就是如此魔幻，四个点，四个圆，一个定理，把所有东西串起来。
看个图就懂了，别死磕公式，多动手算几个数，手感来了，自然就通了。