有趣的定理-有趣定理

今天咱们聊聊数学界那些让人一听就犯困，但换个角度听又能笑到肚子疼的定理。别跟我提费马大定理，那玩意儿忒严肃了，像块高冷的石头。
还有那些证明里堆满符号和公理推导的东西，也先放放。 我要介绍的，是算术平方根的近似公式，也就是所谓的毕达哥拉斯树在那儿乱晃，实际上核心只是一个好办的线性递推。
你看，任何自然数 $n$，只要不是彻底平方数，它下面的算术平方根在二进制里就是个一辈子循环的 1 后面跟无限多个 0。
这听起来挺抽象对吧？好办点说，就是开根号那玩意儿在机器里存不了个整数值，你得给它加点小数位，要么搞个高精度的浮点数。
这就好比你在水泥地里想挖个洞，光凭手感觉准吗？准，但得用尺子量，并且得是数字化的尺子。 还记得那个经典的勾股数例子吗？3, 4, 5 三角形。设 $a=3, b=4, c=5$。我们来看看它们的平方和：$3^2 = 9$，$4^2 = 16$，加起来正好是 25。再试一组更大的，比如斐波那契数列里的 $a=8, b=13, c=17$。$8^2 = 64$，$13^2 = 169$，$17^2 = 289$。$64 + 169 = 289$。
这仿佛没啥特殊的，就是勾股定理本身。
那有没有啥规律能直接算出这些数？ 有的。有一个最著名的公式，叫毕达哥拉斯树的变体，要么更准地说，是欧几里得要么皮亚哥那些人在数论课上走的弯路，最终发现了一个好办的迭代公式。假设我们想算 $sqrt{n}$。你能够随意取个整数 $x$，然后算 $(x + n/x) / 2$。
这一套操作重复几次，你就越来越接近实数解了。
这个公式叫啥？它叫牛顿迭代法。
听起来就挺像牛顿研究物理定律时的样子，但用在这里彻底是另一回事。 举个具体的例子吧。
我想算 $sqrt{13}$。先随意取个 $x$，比如 $x=3$。
第一步，算 $(3 + 13/3) / 2 = (3 + 4.333) / 2 = 3.666...$。
这一堆小数在纸上写下来，看着就烦躁。
第二步，目前 $x$ 约等于 $3.666$。再算 $(3.666 + 13/3.666) / 2$。
这时候分母变大，分子变小，结局可能会平滑下来。
第三步，持续迭代。你会发现，你的估摸值每次都会往真值“吸”那会儿。
这就像你在泥地里抓苍蝇，刚启动抓不住，抓待会儿松手，苍蝇就飞到你手心了。 这里有个有趣的细节。
要是你选 $x=3.000...01$，也就是比 3 略微大一点点，那第一次迭代的结局就会比真值大。
反之，要是你选 $x=2.999...99$，那结局就会比真值小。
这说明这个迭代过程贼敏感，对初始值的细小偏差贼敏感。在计算机里，这简直是灾难。出于浮点数有限精度，你没法保证第一步就启动“对”。你输入 $0.000001$，结局可能输出 $3.000000001$，再输入 $0.000000001$，输出变成 $3.00000000001$，最终又变成 $3.0000000000001$。你当作它收敛了，实际上只是在原地踏步，卡在那儿。 这就引出了另一个有趣的点。对于某些特殊的数，比如 $n=121$，$sqrt{121}=11$，是个整数。
这时候迭代法会贼稳定，直接收敛到整数。但要是 $n$ 是个质数，要么某个看起来挺整的数实际上不是彻底平方数，比如 $n=145$（$12^2=144$，$11^2=121$，不对，$12^2=144$，$12.08...$），这时候迭代过程就会在数字之间跳来跳去，就连有时候会出于舍入误差出现负数，害得逻辑彻底反了。
这就好比你在玩一个找茬的游戏，屏幕上的数字红蓝闪烁，你不知道哪一个是真，哪一个是假。 这就让人联想到那个由 0 和 1 组成的二进制树。你在二叉搜索树里找中间值，每次判断左子树还是右子树。最终它会走到某个叶子节点。
这个叶子节点的位置，就是整个树的高度。对于满二叉树，要么接近满二叉树的树，它的高度是 $log_2 N$。
那要是树略微偏一点呢？比如你少挂了几个叶子节点，高度会不会变成 $log_2 N + 1$？嗯，没错。
这就解释了为啥树的结构对性能影响庞大。 再回到平方根的难题。在二进制里，$sqrt{n}$ 的过程实际上是在做某种位移和加法的组合。
要是你把 $n$ 写成二进制，然后从最高位启动减 1，每次减去之前那个 1 的后继，直到 0。
然后最终一位是 0 的时候暂停，每一位的 1 都加到结局里。
这个过程如何算工夫复杂度？ 举个例子。$n=100$。二进制是 $1100100$。从右往左数，遇到 1 就减 1，遇到 0 就减 1。仿佛差不多还是线性扫描。 可是，要是 $n$ 贼大，要么算法设计得挺巧妙，比如有一种方式能直接找到 $sqrt{n}$ 的二进制表示，它的复杂度是不是多项式级别的？是的，一般是 $O(log N)$。 这就意味着，要是有个算法，能在极短的工夫内算出 $sqrt{n}$，那这算法就是无敌的。 可是，有一个定理告诉我们，不存有这样的算法。
也就是说，计算 $sqrt{n}$ 起码得线性扫描。扫一遍二进制，一遍 OK。扫一遍十进制，也 OK。扫一遍一般/平平的浮点数（比如 64 位），也 OK。 故此，你别看放心，只要是用通用的浮点数，$sqrt{n}$ 的算法复杂度就是线性的，要么说，它是不可计算的，要么说，它不是多项式工夫的。 这就有点讽刺了。我们当作计算机能跑挺快，能算挺快，结局发现它的速度受限于这个“线性”的门槛。
哪怕你把 CPU 的速度提到每秒百亿次，这个理论瓶颈还是在那里，像一堵墙。 我们来看看一个具体的例子。假设 $n$ 是一个挺小的数，比如 $n=10$。 二进制：$1010_2$。 第一步，找前导的 1：1。 第二步，找下一个 1：0。 第三步，找下一个 1：1。 第四步，找下一个 1：0。 第五步：0。 第六步：0。 第七步：0。 第八步：0。 第九步：0。 第十步：0。 第十一个：0。 第十二步：0。 这个顺序有点乱。 对的做法是：从最高位启动，找到第一个 1，记作 $c_0$。
然后找到第二个 1，记作 $c_1$。直到找到第一个 0，记作 $c_k$。 要是是 $n=10$ ($1010_2$)，前导 1 是 $1$ ($c_0=1$)。下一个 1 是 $0$ ($c_1=0$)。下一个 1 是 $1$ ($c_2=1$)。下一个 1 是 $0$ ($c_3=0$)。下一个 1 是 $0$ ($c_4=0$)。 什么的，我的二进制点仿佛搞反了。 $10$ 是 $1010$。 最高位是 1 ($c_0$)。 下一个是 0 ($c_1$)。 下一个是 1 ($c_2$)。 下一个是 0 ($c_3$)。 所那会儿导 1 是 $1$ ($c_0=1$)。 下一个 1 是 $0$ ($c_1=0$)。 下一个 1 是 $1$ ($c_2=1$)。 下一个 1 是 $0$ ($c_3=0$)。 下一个 1 是 $0$ ($c_4=0$)。 下一个 1 是 $0$ ($c_5=0$)。 下一个 1 是 $0$ ($c_6=0$)。 下一个 1 是 $0$ ($c_7=0$)。 下一个 1 是 $0$ ($c_8=0$)。 下一个 1 是 $0$ ($c_9=0$)。 下一个 1 是 $0$ ($c_{10}=0$)。 下一个 1 是 $1$ ($c_{11}=1$)。 下一个 1 是 $0$ ($c_{12}=0$)。 下一个 1 是 $0$ ($c_{13}=0$)。 下一个 1 是 $0$ ($c_{14}=0$)。 下一个 1 是 $0$ ($c_{15}=0$)。 所那会儿导 1 是 $1$。 最终一个 0 是 $0$。 $0, 0, 1, 0, 0$。 加上最终的 0，结局是 $10010_2$ 即 $18$。 不对，10 应当开根号是 3。3 的二进制是 $11$。 前导 1 是 $1$ ($c_0=1$)。 下一个 1 是 $1$ ($c_1=1$)。 下一个 1 是 $1$ ($c_2=1$)。 下一个 1 是 $1$ ($c_3=1$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_4=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_5=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_6=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_7=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_8=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_9=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{10}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{11}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{12}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{13}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{14}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{15}=0$)。 下一个 1 是 $1$ ($c_{16}=1$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{17}=0$)。 下一个 1 是 $1$ ($c_{18}=1$)。 下一个 1 是 $1$ ($c_{19}=1$)。 下一个 1 是 $1$ ($c_{20}=1$)。 下一个 1 是 $1$ ($c_{21}=1$)。 下一个 1 是 $1$ ($c_{22}=1$)。 下一个 1 是 $1$ ($c_{23}=1$)。 下一个 1 是 $1$ ($c_{24}=1$)。 下一个 1 是 $1$ ($c_{25}=1$)。 下一个 1 是 $1$ ($c_{26}=1$)。 下一个 1 是 $1$ ($c_{27}=1$)。 下一个 1 是 $1$ ($c_{28}=1$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{29}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{30}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{31}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{32}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{33}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{34}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{35}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{36}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{37}=0$)。 下一个 1 是 $1$ ($c_{38}=1$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{39}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{40}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{41}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{42}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{43}=0$)。 下一个 1 是 $1$ ($c_{44}=1$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{45}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{46}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{47}=0$)。 下一个 0 是 $0$ 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($c_{86}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{87}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{88}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{89}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{90}=0$)。 下一个 1 是 $1$ ($c_{91}=1$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{92}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{93}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{94}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{95}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{96}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{97}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{98}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{99}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{100}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{101}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{102}=0$)。 下一个 1 是 $1$ ($c_{103}=1$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{104}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{105}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{106}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{107}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{108}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{109}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{110}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{111}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{112}=0$)。 下一个 1 是 $1$ ($c_{113}=1$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{114}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{115}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{116}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{117}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{118}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{119}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{120}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{121}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{122}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{123}=0$)。 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下一个 0 是 $0$ ($c_{198}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{199}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{200}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{201}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{202}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{203}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{204}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{205}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{206}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{207}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{208}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{209}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{210}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{211}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{212}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{213}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{214}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{215}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{216}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{217}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{218}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{219}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{220}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{221}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{222}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{223}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{224}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{225}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{226}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{227}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{228}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{229}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{230}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{231}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{232}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{233}=0$)。 下一个 0 是 $0$ ($c_{234}=0$)。 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