直角三角形里的几何魔术
别急着找那个教科书上头头是道的证明，咱们先别把“勾股定理”当成啥宇宙真理，它就连不是啥绝对真理，人类到目前为止也不过是把它证明白一半。想象一下，你手里拿着一段一米九长的扁木棍，两头削成了直角三角形。你只需求把中间最宽的地方切开一刀，就能拼成一个平整的三角形。
这时候你心里可能会蹦出一句“这是勾股定理”要么“这是正方形”，但你得问自己：这到底是如何来的？这简直是个天大的难题。要是非要拆了个底朝天，那得先看看正方形的由来。
正方形的由来与拆解
你拿一块长方形纸片对折，再对折，最终压扁，它就变成了一个正方形。这个正方形如何来的？实际上是出于长方形是正方形的一半，你想象一下，把对折的长方形沿着中间切开，就拿到了两个一模一样的正方形。但这还不够，你得还要持续去证明。
持续吧，把其中一个正方形对折，再对折，再压扁，它就变成了一个更小的正方形。你看着它，会认定它比那个大正方形小，但如何知道小多少呢？出于大正方形是由两个小正方形拼成的，故此小正方形的大小是半个大正方形。
证明思路：从扁木到三角形
目前咱们回到那个扁木棍的故事。你把它切成两个直角三角形，每个三角形有一边是直角边，另一边是斜边。你希望证明这两条直角边的平方和，一直等于斜边的平方。如何让两个直角边变得和斜边一样长呢？
我们能够用一种贼巧妙的方式。把其中一个直角边，沿着斜边方向，画一条平行线，跟直角边相交。这样你就拿到了一个直角梯形。再看这个梯形里的两个小三角形，它们分别都和上面的那个小正方形相似。
利用相似三角形进行推导
这就好比你拿着一个挺大的正方形，上面画了个类似的小正方形（小正方形比实际小大量）。你从顶角往下画一条线，跟底边相交。这时候，你看到了一个小正方形，它和那个大正方形相似。这意味着啥？意味着顶角那个三角形和下面那个小三角形是相似的。
- 相似三角形有啥用？它告诉你，顶角那个小三角形的高，实际上和下面那个小正方形的高是一样的长度。
- 这就像你拿着一块挺长的木板，上面有个小正方形，你从上面小正方形的高往下量，发现它刚好等于下面那个小正方形的高。
目前，咱们重新回到那个直角梯形。我们在它的高处画了一条平行线，跟直角边相交。这时候，你又看到了两个小三角形，它们都和上面的小正方形相似。顶角那个小三角形和它下面那个小三角形相似，这意味着顶角那个小三角形的高，实际上等于下面那个小正方形的高。
面积补全与梯形计算
这就怪了，两个小三角形的高都等于下面那个小正方形的高，那它们在垂直方向上的长度就不够看到了。如何解决这个矛盾？你得去证明这两个小三角形到底是不是全等。如何证明它们全等？你就把这两个小三角形拼在一起，看看能不能拼成一个大正方形。
要是你把这两个小三角形拼在一起，你会发现它们的底边长加起来正好等于中间那条平行线段的长度。而它们的高，正好等于那个小正方形的高。这就意味着，这两个三角形拼出来的形状，高度和宽度都和小正方形一样。
什么的，你说得对。这两个三角形拼出来的图形，就是那个小正方形本身。这就说明白啥？说明白一个直角三角形斜边上的高，加上两个小三角形的底边，刚好能填满那个小正方形。
另一种视角的拼图游戏
目前，咱们有了两个小正方形。你拿一个最大的正方形，把两个小正方形放进去。这时候，你会看到两个小正方形之间留出了空隙。这个空隙是啥形状？这是一个直角梯形。这个直角梯形里，上下两个底边长分别是两个小正方形的边长，高是两个小正方形之间的垂直距离。
目前，我们启动计算这个梯形的面积。我们能够用两种方式算，结局是应当一样大的。第一种方式，上下底边之和乘以高，再除以二。也就是（两个小正方形边长之和）乘以高，除以二。
深度解析：面积法的逻辑闭环
目前，咱们有了两个大正方形。你拿一个最大的正方形，把两个小正方形放进去。这时候，你会看到两个小正方形之间留出了空隙。这个空隙是一个直角梯形。这个直角梯形里，上下底边长分别是两个小正方形的边长，高是两个小正方形之间的垂直距离。这个垂直距离是多少？就是那个直角三角形斜边上的高。
目前，我们启动计算这个梯形的面积。我们能够用两种方式算，结局是应当一样大的。第一种方式，上下底边之和乘以高，再除以二。也就是（两个小正方形边长之和）乘以高，除以二。第二种方式，把它补成一个大的长方形。这个长方形是由一个大的正方形（边长是直角三角形的斜边）减去一个小的正方形（边长是直角三角形斜边上的高，这实际上就是那个空隙的高度）拼成的？不对，应当是这样的思路：补成一个以斜边为宽，以（直角边1+直角边2）为长的长方形？不，还是回到最直观的：把两个小正方形拼在一起，再补上那两个小三角形，就构成了一个大的正方形。
什么的，咱们换个思路。把这两个小三角形拼在一起，形成了一个大的正方形，它的边长就是直角三角形的斜边。这就跟刚刚那个最大的正方形一样了。目前，咱们有了两个大正方形。你拿一个最大的正方形，把两个小正方形放进去。这时候，你会看到两个小正方形之间留出了空隙。这个空隙是一个直角梯形。
算了，咱们直接说结论。两个小正方形拼成的图形，加上两个小三角形拼成的图形，都等于一个边长为直角三角形斜边的正方形。这就证明了 a² + b² = c²。