平面向量基底定理-平面向量基底定理

先不说别的，你脑子里那个关于“基底”的画面，是不是总把自己想象成啥超本事，要么啥高科技配置？实际上这玩意儿，就俩字：两个向量。在数学卷子考试的时候，老师一说到基底定理，你立马就能想到“不共线”、“线性无涉”，生怕自己搞错了符号。但咱不整那些虚头巴脑的学术名词，咱就讲点实在的。 这就好比你在玩那个一维的版游戏，比如你手里有两个箭头，想拼出一个全新的方向。
要是你这两个箭头本来就已经拼成了一条直线（比如都指向正北），那你能干嘛？你连转个弯都费劲。务必得把其中一个箭头给砍掉，让它有点“软弱无力”，变成随意一个方向，这样你才能握着它，把另一个箭头往新方向推，拼出个彻底不在直线上的新箭头。 这逻辑在向量空间里就是一模一样的。
要是有两个向量 $vec{u}, vec{v}$，要是它们能拼出所有可能的方向（包含零向量），那它们就是一组基底。
如何个拼法？就是得去掉那个“富余”的向量。
比如 $vec{u} = (1, 0)$，$vec{v} = (0, 1)$，这两个随意推都能出个 $(2, 1)$，那它们俩就是基底。但要是 $vec{u} = (1, 0)$，$vec{v} = (2, 0)$，那俩实际上指的方向彻底一样，就连能够说 $vec{v}$ 就是 $vec{u}$ 的复制品。
这时候选哪个都能算，但选 $vec{u}$ 再用 $vec{u}$ 去搞运算就好办碰撞，选 $vec{v}$ 再算就乱套了。
这时候看看能不能用 $vec{u}$ 和 $vec{v}$ 的某种组合，能凑成 $vec{v}$？能凑成的，那 $vec{u}$ 就是富余的基底，它就是能生成的那个，我们要去掉它，保留 $vec{v}$，剩下的 $vec{v}$ 才是真正好用的基底。 这就有点意思了。
要是你在二维平面上画个坐标图，随意拿两个点，比如 $A(0,0)$ 和 $B(1,1)$。
要是你选这两点作为基底，那这只是两条线。真正的基底得是两条“非平行”的线。在教材里，最经典的例子就是 $vec{e_1} = (1, 0)$ 和 $vec{e_2} = (0, 1)$，它们是正交的，互相垂直，彻底独立。
那我想证明一个结论，比如要算 $vec{a} = (3, 4)$ 到底等于多少个 $vec{e_1}$ 加多少个 $vec{e_2}$，我直接写式子 $vec{a} = 3vec{e_1} + 4vec{e_2}$ 就行了。出于只要这两个基底不共线，$vec{e_1}$ 和 $vec{e_2}$ 就能唯一确定平面上任意一点，这个点的位置向量 $vec{OA}$ 就能够写成 $xvec{e_1} + yvec{e_2}$ 的形式。 那在具体的数据上咋搞？咱就不整那些抽象的“任意实数”，拿一组具体的数字试试。
比方说，设 $vec{u} = (1, 2)$，$vec{v} = (3, 4)$。
这时候咱得先判断它们共线吗？用叉乘要么行列式，$1times4 - 2times3 = -2 neq 0$，故此它们确实不共线，这就构成了一个合法的基底。
那目前要算 $vec{w} = (5, 11)$ 是等于多少个 $vec{u}$ 加多少个 $vec{v}$ 呢？设 $vec{w} = xvec{u} + yvec{v}$，也就是 $vec{w} = x(1, 2) + y(3, 4) = (x + 3y, 2x + 4y)$。
这就建立起了两个方程组：$x + 3y = 5$ 和 $2x + 4y = 11$。
如何解？第一行乘 2 减去第二行，消去 $x$：$(2x + 6y) - (2x + 4y) = 10 - 11$，得 $2y = -1$，故此 $y = -0.5$。把 $y$ 代回第一行：$x + 3(-0.5) = 5$，得 $x = 5 + 1.5 = 6.5$。
故此结论是 $vec{w} = 6.5vec{u} - 0.5vec{v}$。
你看，这个系数里出现了小数，这在初等数学里是最正常的，彻底没毛病。
要是强行要求 $x$ 和 $y$ 都是整数，那这就出难题了，说明这个 $vec{w}$ 在这个基底下的表示不是唯一确定的，要么说这个基底“不够好”，出于它把 $vec{w}$ 给“压缩”了。 再举个例子，在物理里的动量守恒。设 $vec{p_1} = (1, 0)$，$vec{p_2} = (0, 1)$ 是基向量。目前两个粒子碰撞，总动量 $vec{p_{total}} = (3, 4)$。
如何算？直接算 $x$ 和 $y$ 就行了。$x=3, y=4$。
这时候要是 $vec{p_1}$ 和 $vec{p_2}$ 变成 $(1, 1)$ 和 $(1, 0)$，那 $vec{p_1}$ 和 $vec{p_2}$ 就不共线了，它们还是基底。
那总动量 $(3, 4)$ 如何表示？还是得解方程组，结局会有小数。
这说明不管基向量如何变，只要不共线，总存有唯一的线性组合。 有意思的是，这个“唯一性”实际上是个挺强大的工具。
比如在三角形里，要是知道两条边 $vec{AB}$ 和 $vec{AC}$ 不共线，那第三条边 $vec{BC}$ 就唯一确定了。
要是你知道 $vec{AB}$ 的模长，$vec{AC}$ 的模长，夹角是多少，那 $vec{BC}$ 的模长就唯一确定了。
这就是基底定理在几何里的影子。
要是你换了基底，比如 $vec{AB}$ 变成 $(1, 0)$，$vec{AC}$ 变成 $(0, 1)$，那夹角是 90 度。
要是你换成 $vec{AB}$ 变成 $(1, 1)$，$vec{AC}$ 变成 $(1, 0)$，那夹角就变了，算出来的 $vec{BC}$ 模长自然也会变。同一个三角形，不同的基底算出来结局不一样，但这没啥，出于基底变了，坐标系的“尺子”不一样，量出来的数值不一样是必然的。 故此说，基底定理说白了，就是一个“换元法”的终极版。你手里握着一个坐标系，两个轴互相垂直要么平行，这是你的工具。想解开一个复杂的方程要么证明一个几何关系，你就得把这个坐标系拆开，拆成两条互不相关的线，再把你要算的东西，强行塞进这两条线上去。
这时候你会发现，只要你这两条线不共线，你就一定能把目标算出来，并且结局一定唯一。
哪怕算出来是小数，哪怕中间过程有点乱，只要逻辑通顺，那就是真理。 最终再唠两句，这玩意儿在应用题里特别有用。
比如你有两块木板，长度分别是 $(3 cos theta, 3 sin theta)$ 和 $(1, 0)$，夹角是 $theta$。
你想算这两块木板拼起来的总长。
这时候基底就是这两个向量。直接计算模长平方根就行，$sqrt{(3 cos theta)^2 + (3 sin theta)^2 + 1^2 + 2 times 3 cos theta times 1 times cos theta}$。
这时候你会发现 $cos theta$ 和 $sin theta$ 消不掉，就得用公式。
要是基底不相关，你就连能够直接用余弦定理。
故此基底定理，实际上就是一种“降维打击”，把高维要么复杂的坐标难题，强行压扁到二维平面里，用好办的加减乘除和两点间距离公式给它解决。 不用非得记住那些定理名称，不用死记硬背线性无涉的定义。
只要记住一件事：不共线的两个向量，就是你的万能钥匙。
只要这把钥匙不坏，平面上任意一点的位置，总能用一把钥匙的长短和方向，被唯一“插”进去。
这大约就是数学最迷人的地方吧，一个好办的规则，能hold住所有复杂的计算。