hl定理证明三角形全等-HL 定理证全等

实际上证明三角形全等的时候，大家往往好办陷入“死板的步骤”里，恨不得每一步都按个公式填空，生怕漏掉一个条件。但换个角度想，三角形全等这东西，说白了就是看两个三角形是不是“长啥样”都一样。
要是形状和大小都一模一样，它们肯定是全等的。
有时候用 SSS，有时候用 SAS，有时候就连能够用 AAS、HL，这全看它们到底给了我们啥线索。 就以 SSS 为例吧，这是最基础的，只要三条边都能对上，那这两个三角形就“撞”在一起，没啥办法了。
比如我们要证 $triangle ABC$ 和 $triangle DEF$ 全等，有时候图里给出的条件极少，偏偏三条边都有数据，那就直接上边边边。
比如题目里说 $AB=DE=5$，$AC=EF=5$，$BC=3$，$DF=3$。
这时候我们就不需求去猜角，也不用去想那个所谓的“边角关系”，只要拿着这三组数据去比对，结局瞬间就出来了。 但现实情况往往是没那么好办，题目给的边和角，倒不是成组出现的，有时候是一堆边角，有时候是一堆边角和一条边混杂在一起。
这时候光靠边不够，得灵活一点，把边角凑成角边角（AAS）要么角边角（ASA）来用。
举个例子，假设我们有两个三角形，一个已知 $AB=4$，$BC=6$，$AC=5$；另一个已知 $DE=4$，$DF=6$，$EF=5$。乍一看数据一模一样，但顺序有点怪。
要是我们把 $DE$ 当作对应 $AB$，那 $DF$ 就得对应 $BC$，这样我们就有了两组边，还剩下一组边 $EF$ 和 $AC$ 对应，那就成了 SSS 了。 有时候题目给的条件是混合的，比如一个三角形是 $AB=3, BC=4, AC=5$，另一个是 $DE=3, DF=4, EF=5$ 但字母顺序乱套，中间夹着个角。
这时候就需求点旧招了，把边和角串通起来。
比如我们用 SSS，那是肯定的，出于三条边彻底对应相等。但要是只用 SSS 呢？实际上没那么绝对，有时候题目只给了两边，还有一条边，那就得用 SAS。
要是只给了两边，还有一边和一条边，那就是边边边，还是 SSS。
要是只给了两边，还有一边，那就得看那两个角能不能组成 AAS 要么 ASA。 举个例子，假设我们要证 $triangle ABC$ 和 $triangle EFG$ 全等，已知 $AB=EG=5$，$BC=GF=5$，$AC=EF=5$。
这简直是 SSS 的代名词，直接证完就完了。但要是题目给的是 $AB=EG=5$，$BC=FG=5$，那我们就有了两组对应边相等，这时候就得看第三组。
要是第三组是夹角 $angle B$ 和 $angle G$ 相等，那就是 SAS。
要是夹角不相等，那我们就得找其他角了，比如 $angle A$ 和 $angle F$ 相等，要么 $angle C$ 和 $angle G$ 相等，用 AAS 要么 ASA 搞定。 还有一种情况，有时候题目给的是斜边和一条直角边，能够直接用 HL。
比如直角三角形 $triangle ABC$ 和 $triangle DEF$，已知 $angle C = angle F = 90^circ$，$AC=DF=3$，$BC=EF=4$。
这时候斜边是 $AB$ 和 $DE$，直角边是 $AC$ 和 $DF$，$BC$ 和 $EF$。出于直角边和斜边都对应相等，故此直接上 HL，两全之矣。 不过，在实际做题的时候，往往不是单纯地找哪个定理，而是看题目给出的条件到底能凑成哪种定理。
有时候题目给了两边和一条边，两边夹一角是 SAS，两边及其中一边的对角是 AAS。
有时候题目给了一边和两条边，那大约率是 SAS。
有时候题目给了一边和一条边，那可能是 SSS。 比如我们来算一个具体的数字。假设 $triangle ABC$ 的三边长分别是 $3, 4, 5$，$triangle DEF$ 的三边长是 $3, 4, 5$。别看看起来有点无聊，但这彻底没难题，直接 SSS 就能证全等。但要是题目给的是 $AB=3, BC=4, AC=5$ 和 $DE=3, EF=5, DF=4$。
这时候对应关系就乱了。$AB$ 对应 $DE$，那 $BC$ 就得对应 $EF$，这样 $BC=4$ 对应 $EF=5$，这就不是对应边了。
这时候我们得重新排列，让 $DF$ 对应 $BC$，$EF$ 对应 $AB$，$DE$ 对应 $AC$，这样三边就是 $3,4,5$ 对应 $3,4,5$，还是 SSS。 有时候题目标条件别看能凑，但需求多次转换。
比如已知 $AB=6, BC=8, AC=10$，$triangle DEF$ 中 $DE=6, DF=8, EF=10$，但角的位置不同。
要是直接对号入座，可能会出错。
这时候就需求背熟了各种定理的判定条件，把边角边排个序，看看能不能变成 SAS，能不能变成 AAS。 再举个例子，假设我们要证 $triangle ABC cong triangle DEF$，已知 $AB=DE=5, BC=EF=5, AC=DF=5$。
这忒好办了，一眼就能看出 SSS。但要是题目只给了 $AB=DE=5, BC=EF=5$，还剩下一个角，比如 $angle B = 60^circ$，$angle DEF$ 不知道，那如何办？这时候就得设 $angle DEF = alpha$，要是 $alpha = 60^circ$，那就是 SSA，一般不能用要不就是直角三角形的 HL。
要是 $alpha neq 60^circ$，那这题目就有点怪，可能得用 AAS 要么 ASA，比如证明 $angle C = 60^circ$。 实际上，证明三角形全等最核心的思想就是“对应相等”。
只要三组对应元素都相等，那这两个三角形就是相似的，并且出于边长有限，必然全等。
故此不用死扣定理名称，学会根据给定的边数和角数来灵活组合判定定理，这才是关键。
有时候直接用 SSS 最快，有时候凑成 SAS 最顺，有时候发现只能凑 AAS 故此想通了。 总而言之，证明全等就像是一场拼凑游戏，你得看清楚手里有哪些“砖块”，它们能堆成啥样子。
只要对应关系弄对了，定理自然就会现身。别总想着用 SSS，也别总想着用 SAS，得看题目给的“砖块”能自然堆出哪一副。
有时候一块砖旁边就有两块，凑成一面墙；有时候三块砖散落在旁边，还得自己画个“墙”过来凑。
只要这种“对应”找对了，全等就证完了。
毕竟，只要形状和大小一样，不管他们叫啥名字，在全等的世界里，他们就是同一个东西。