牛顿二项式定理是什么-牛顿二项式定理解释

老张在墙上挂了一幅古老的算盘，那头皮珠子滚来滚去，最终停在了一个算数题上：$100$ 年后的钱数是多少，要是按照复利滚爆算的？老张是个老会计，喜爱往账本里倒腾那些陈年旧事。今天他盯着那串数字看，眉头皱得像条老泥鳅，嘴里嘟囔着：“这玩意儿，当初哪位发明的？”他想起年轻时在图书馆瞎翻书，看到个公式就头大，认定那是哪位脑子里蹦出来的鬼东西，没法理解。
实际上啊，这玩意儿叫牛顿二项式定理，但老张不认定它高大上，认定它就是数学界那群家伙为了凑数字，硬生生结出的一个瓜，瓜皮裂了无数口子，里面塞满了各种各样的解释。 数学这东西，有时候就像老张在集市上挑的黄瓜，看着挺新鲜，咬一口却全是水。
牛顿二项式定理，说白了，就是把 $(a+b)^n$ 这种式子拆开了，让个 $a+b$ 变成等比数列，再摞几层上去，算出结局。老张在电脑上敲代码的时候，发现这个公式长得倒挺像 $(1+x)^n$ 这种形式，就像个老哥们儿打招呼：“嗨，今天天气如何样？”然后呢，你给他算一算，结局就是 $(1+x)^n$。
这算盘珠子，老张就把它当成了个老哥们儿。
比如老张讲他创业那年，自己把本金 $10$ 万，分成 $100$ 份，每月给员工发 $1000$ 块，那是 $x=0.01$。
要是给员工发 $10$ 个月，$n=10$，那每个月给的钱，就是 $(1+0.01)^{10}$ 再乘 $1000$。
这数字老张背得滚瓜烂熟，但他总认定啥也没形成，就像在等个看不见的人突然从后面炸出一把锤子。 实际上啊，这玩意儿最早是牛顿发明的，但老张认定，他可能是个天才，却也是个不务正业的投机分子。他看到 $(a+b)^n$ 这种式子，感觉就像在等电梯，电梯没来，他就想“要是有人让我算出个值，我就能发财”。便他就启动瞎琢磨，把 $(a+b)^n$ 拆成 $(a+b)^{n-1}(a+b)$，再拆成 $(a+b)^{n-2}(a+b)^2$，一直拆到没法拆为止，最终凑出个 $frac{(a+b)^n}{n!}$，再乘 $n!$，嘿，出来个 $sum binom{n}{k} a^k b^{n-k}$。老张这时候才明白，这公式实际上就是把 $(a+b)^n$ 这种式子，拆成一个个小项，再一个个加起来。小项就是 $binom{n}{k} a^k b^{n-k}$，这 $k$ 就代表啥，代表把 $a+b$ 拆成 $k$ 份 $a$ 和 $n-k$ 份 $b$。 比如老张讲个具体的例子，他家的书价是 $300$ 块，$n=5$，买 $5$ 本，每本便宜 $10$ 块，$a=10$，$b=-200$。
那第五本便宜多少？就是 $10^5 + binom{5}{1} 10^4 (-200) + binom{5}{2} 10^3 (-200)^2 + binom{5}{3} 10^2 (-200)^3 + binom{5}{4} 10^1 (-200)^4 + binom{5}{5} 10^0 (-200)^5$。老张算的，挺累，但结局出来是 $30000$ 块。
这结局老张认定特别俗气，就像个老会计在算账，一坨算出个数字，心里乐开花。但他也发现，这个公式里的 $binom{n}{k}$ 就是“从 $n$ 个东西里选 $k$ 个”的概率，就像老张在赌场里，从 $5$ 张牌里摸 $3$ 张，摸出的概率就是 $binom{5}{3}$。
这概率老张都搞明白了，但为啥数学界要把它叫二项式定理？老张有点懵，认定这名字忒像算命先生，看着像人在算老天爷给的卦。 实际上啊，牛顿可能一启动也没想那么多，他就是一个爱凑数字的怪人。他看到 $(a+b)^n$，就想着能不能把这式子拆开，拆成一个个小项，加起来就是答案。
这就像老张把一堆散乱的石头，一个一个拿起来，数数有多少，加起来就是一袋石头。
牛顿二项式定理，就是如此个事儿，它把 $(a+b)^n$ 这种式子，拆成个等比数列，再摞几层上去，算出结局。老张在讲课时，时常把 $(a+b)^n$ 比作 $(1+x)^n$，认定这像那个啥啥公式。 比如老张讲公司扩张难题，$a=1$，$b=1$，$n=10$。
那第 $10$ 年公司的总规模就是 $2^{10}$，也就是 $1024$ 块。老张在算这 $1024$ 的时候，发现差不多等于 $1000$ 块，多出来的 $24$ 块老张认定挺滑稽，就像个老会计在瞎凑数。他总认定这公式是个黑箱，里面塞满了啥没说的东西。
实际上啊，这公式里的 $binom{n}{k}$ 就是“从 $n$ 个东西里选 $k$ 个”的概率，就像老张在赌场里，从 $5$ 张牌里摸 $3$ 张，摸出的概率就是 $binom{5}{3}$。
这概率老张都搞明白了，但为啥数学界要把它叫二项式定理？老张有点懵，认定这名字忒像算命先生，看着像人在算老天爷给的卦。 实际上啊，牛顿可能一启动也没想那么多，他就是一个爱凑数字的怪人。他看到 $(a+b)^n$ 这种式子，感觉就像在等电梯，电梯没来，他就想“要是有人让我算出个值，我就能发财”。便他就启动瞎琢磨，把 $(a+b)^n$ 拆成 $(a+b)^{n-1}(a+b)$，再拆成 $(a+b)^{n-2}(a+b)^2$，一直拆到没法拆为止，最终凑出个 $frac{(a+b)^n}{n!}$，再乘 $n!$，嘿，出来个 $sum binom{n}{k} a^k b^{n-k}$。老张这时候才明白，这公式实际上就是把 $(a+b)^n$ 这种式子，拆成一个个小项，再一个个加起来。小项就是 $binom{n}{k} a^k b^{n-k}$，这 $k$ 就代表啥，代表把 $a+b$ 拆成 $k$ 份 $a$ 和 $n-k$ 份 $b$。 比如老张讲个具体的例子，他家的书价是 $300$ 块，$n=5$，买 $5$ 本，每本便宜 $10$ 块，$a=10$，$b=-200$。
那第五本便宜多少？就是 $10^5 + binom{5}{1} 10^4 (-200) + binom{5}{2} 10^3 (-200)^2 + binom{5}{3} 10^2 (-200)^3 + binom{5}{4} 10^1 (-200)^4 + binom{5}{5} 10^0 (-200)^5$。老张算的，挺累，但结局出来是 $30000$ 块。
这结局老张认定特别俗气，就像个老会计在算账，一坨算出个数字，心里乐开花。但他也发现，这个公式里的 $binom{n}{k}$ 就是“从 $n$ 个东西里选 $k$ 个”的概率，就像老张在赌场里，从 $5$ 张牌里摸 $3$ 张，摸出的概率就是 $binom{5}{3}$。
这概率老张都搞明白了，但为啥数学界要把它叫二项式定理？老张有点懵，认定这名字忒像算命先生，看着像人在算老天爷给的卦。 实际上啊，牛顿可能一启动也没想那么多，他就是一个爱凑数字的怪人。他看到 $(a+b)^n$ 这种式子，感觉就像在等电梯，电梯没来，他就想“要是有人让我算出个值，我就能发财”。便他就启动瞎琢磨，把 $(a+b)^n$ 拆成 $(a+b)^{n-1}(a+b)$，再拆成 $(a+b)^{n-2}(a+b)^2$，一直拆到没法拆为止，最终凑出个 $frac{(a+b)^n}{n!}$，再乘 $n!$，嘿，出来个 $sum binom{n}{k} a^k b^{n-k}$。老张这时候才明白，这公式实际上就是把 $(a+b)^n$ 这种式子，拆成一个个小项，再一个个加起来。小项就是 $binom{n}{k} a^k b^{n-k}$，这 $k$ 就代表啥，代表把 $a+b$ 拆成 $k$ 份 $a$ 和 $n-k$ 份 $b$。 比如老张讲个具体的例子，他家的书价是 $300$ 块，$n=5$，买 $5$ 本，每本便宜 $10$ 块，$a=10$，$b=-200$。
那第五本便宜多少？就是 $10^5 + binom{5}{1} 10^4 (-200) + binom{5}{2} 10^3 (-200)^2 + binom{5}{3} 10^2 (-200)^3 + binom{5}{4} 10^1 (-200)^4 + binom{5}{5} 10^0 (-200)^5$。老张算的，挺累，但结局出来是 $30000$ 块。
这结局老张认定特别俗气，就像个老会计在算账，一坨算出个数字，心里乐开花。但他也发现，这个公式里的 $binom{n}{k}$ 就是“从 $n$ 个东西里选 $k$ 个”的概率，就像老张在赌场里，从 $5$ 张牌里摸 $3$ 张，摸出的概率就是 $binom{5}{3}$。
这概率老张都搞明白了，但为啥数学界要把它叫二项式定理？老张有点懵，认定这名字忒像算命先生，看着像人在算老天爷给的卦。 实际上啊，牛顿可能一启动也没想那么多，他就是一个爱凑数字的怪人。他看到 $(a+b)^n$ 这种式子，感觉就像在等电梯，电梯没来，他就想“要是有人让我算出个值，我就能发财”。便他就启动瞎琢磨，把 $(a+b)^n$ 拆成 $(a+b)^{n-1}(a+b)$，再拆成 $(a+b)^{n-2}(a+b)^2$，一直拆到没法拆为止，最终凑出个 $frac{(a+b)^n}{n!}$，再乘 $n!$，嘿，出来个 $sum binom{n}{k} a^k b^{n-k}$。老张这时候才明白，这公式实际上就是把 $(a+b)^n$ 这种式子，拆成一个个小项，再一个个加起来。小项就是 $binom{n}{k} a^k b^{n-k}$，这 $k$ 就代表啥，代表把 $a+b$ 拆成 $k$ 份 $a$ 和 $n-k$ 份 $b$。 比如老张讲个具体的例子，他家的书价是 $300$ 块，$n=5$，买 $5$ 本，每本便宜 $10$ 块，$a=10$，$b=-200$。
那第五本便宜多少？就是 $10^5 + binom{5}{1} 10^4 (-200) + binom{5}{2} 10^3 (-200)^2 + binom{5}{3} 10^2 (-200)^3 + binom{5}{4} 10^1 (-200)^4 + binom{5}{5} 10^0 (-200)^5$。老张算的，挺累，但结局出来是 $30000$ 块。
这结局老张认定特别俗气，就像个老会计在算账，一坨算出个数字，心里乐开花。但他也发现，这个公式里的 $binom{n}{k}$ 就是“从 $n$ 个东西里选 $k$ 个”的概率，就像老张在赌场里，从 $5$ 张牌里摸 $3$ 张，摸出的概率就是 $binom{5}{3}$。
这概率老张都搞明白了，但为啥数学界要把它叫二项式定理？老张有点懵，认定这名字忒像算命先生，看着像人在算老天爷给的卦。